2006年湖北高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_湖北

2006 年湖北高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3 至4页，共4页。全卷共150分。考试用时120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。      1．已知向量a( 3,1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a b 3，则b  3 1 1 3 1 3 3 A．（ , ） B．（ , ） C．（ , ） D．（1,0） 2 2 2 2 4 4 2.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a3bc10，则a  A．4 B．2 C．－2 D．－4 2 3.若ABC的内角A满足sin2A ，则sin AcosA 3 15 15 5 5 A. B． C． D． 3 3 3 3 2x x 2 4．设 f(x)lg ，则 f( ) f( )的定义域为 2x 2 x A．(4,0) (0,4) B．(4,1) (1,4)   C．(2,1) (1,2) D．(4,2) (2,4)   1 5．在(x )24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有 3 x A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 6．关于直线m,n与平面,，有以下四个命题： ①若m//,n//且//，则m//n； ②若m,n且，则mn； ③若m,n//且//，则mn； ④若m//,n且，则m//n； 其中真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 7．设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P     关于y轴对称，O为坐标原点，若BP2PA且OQ AB1，则点P的轨迹方程是  3 3 A．3x2  y2 1(x0,y 0) B．3x2  y2 1(x0,y 0) 2 2 第1页 | 共11页3 3 C． x2 3y2 1(x0,y 0) D． x2 3y2 1(x0,y 0) 2 2 8．有限集合S 中元素的个数记做card(S)，设A,B都为有限集合，给出下列命题： ①A B的充要条件是card(A B)card(A)card(B)；   ②A B的充要条件是card(A)card(B)； ③AÚ B的充要条件是card(A)card(B)； ④A B的充要条件是card(A)card(B)； 其中真命题的序号是 A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 9．已知平面区域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z  xmy取得最小值，则m A．－2 B．－1 C．1 D．4 10．关于x的方程(x2 1)2  x2 1k 0，给出下列四个命题： ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 注意事项： 第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。 x y 5 11．设x,y为实数，且   ，则x y  。 1i 12i 13i 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0．80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出 现发热反应的概率为 。（精确到0．01） 13．已知直线5x12ya0与圆x2 2x y2 0相切，则a的值为 。 14．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙 必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工 程的不同排法种数是 。（用数字作答） 1 15．将杨辉三角中的每一个数Cr都换成 ，就得到一个如右图所示的分数三角形， n (n1)Cr n 1 1 1 成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出   ，其中 (n1)Cr (n1)Cx nCr n n n1 1 1 1 1 1 1 x 。令a        ，则lima  。 n 3 12 30 60  nC3 (n1)C3 n n n1 n 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第2页 | 共11页16．（本小题满分12分）      设 函 数 f(x)a (bc)， 其 中 向 量 a(sinx,cosx)， b(sinx,3cosx)，   c(cosx,sinx)，xR。 （Ⅰ）、求函数 f(x)的最大值和最小正周期；  （Ⅱ）、将函数 f(x)的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，  求长度最小的d 。 17．（本小题满分13分） 已知二次函数y  f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为 f '(x)6x2，数列{a }的前n n 项和为S ，点(n,S )(nN)均在函数y  f(x)的图像上。 n n （Ⅰ）、求数列{a }的通项公式； n 1 m （Ⅱ）、设b  ，T 是数列{b }的前n项和，求使得T  对所有nN都成立 n a a n n n 20 n n1 的最小正整数m； 18．（本小题满分12分） 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDABC D 中，P 1 1 1 1 是侧棱CC 上的一点，CPm。 1 D 1 C 1 （Ⅰ）、试确定m，使直线 AP与平面BDDB 所成角 1 1 的正切值为3 2； A 1 B 1 （Ⅱ）、在线段AC 上是否存在一个定点Q，使得对任意 1 1 的m，DQ在平面APD 上的射影垂直于AP，并证明尼 1 1 的结论。 D C 20．（本小题满分10分） 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近 A B 似服从正态分布 N(70,100)。已知成绩在 90 分以上 （含90分）的学生有12名。 （Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？ （Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 可共查阅的（部分）标准正态分布表(x ) P(x x ) 0 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1.2 0.8849 0.8869 0.888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 第3页 | 共11页21．（本小题满分14分） x2 y2 设A,B分别为椭圆  1(a,b0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x4 a2 b2 为它的右准线。 （Ⅰ）、求椭圆的方程； （Ⅱ）、设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆相交于 异于A,B的点M、N ，证明点B在以MN 为直径的圆内。 （此题不要求在答题卡上画图） 22．（本小题满分14分） 设x3是函数 f(x)(x2 axb)e3x(xR)的一个极值点。 （Ⅰ）、求a与b的关系式（用a表示b），并求 f(x)的单调区间； 25 （Ⅱ）、设a 0，g(x)(a2  )ex。若存在, [0,4]使得 f()g() 1成立， 4 1 2 1 2 求a的取值范围。 2006年湖北高考理科数学真题参考答案 一、选择题: 1--5、BDABC；6--10、DDBCB；  1 3 1．解：设b＝（x，y），则有 3x y  3且x2  y2 1(y 0)解得x＝ ，y＝ ，选 2 2 B 2.解：由互不相等的实数a,b,c成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由a3bc10可得 b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又c,a,b成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D 3. 解 ： 由 sin2A ＝ 2sinAcosA0 ， 可 知 A 这 锐 角 ， 所 以 sinA ＋ cosA0 ， 又 5 (sin AcosA)2 1sin2A ，故选A 3 x 2 4．解：f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2 2且－2 2解得－4x－1或1x4 2 x 故选B 1 72－4r 5．解：T ＝Cr x24－（r - ）r＝(-1)rCr x 3 ，当r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24 r＋1 24 3 x 24 时，x的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2 的整数次幂，故选C 6．解：用排除法可得选D 7．解：设 P（x，y），则 Q（－x，y），又设 A（a，0），B（0，b），则 a0，b0，于是 第4页 | 共11页    3 BP＝（x，y－b），PA＝（a－x，－y），由BP＝2PA可得a＝ x，b＝3y，所以x0，y0 2  3   3 又AB＝（－a，b）＝（－ x，3y），由OQ•AB＝1可得 x2 3y2 1(x 0,y 0) 2 2 故选D 8．解：①A B集合A与集合B没有公共元素，正确  ②A B集合A中的元素都是集合B中的元素，正确 ③AÚ B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多 于B中元素的个数，错误 ④A B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不 意味着它们的元素相同，错误 选B 1 9．解：依题意，令z＝0，可得直线x＋my＝0的斜率为－ ，结合可行域可知当直线x＋my m ＝0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z＝x＋my取得最小值，而直 线AC的斜率为－1，所以m＝1，选C 10 ． 解 ： 关 于 x 的 方 程  x2 1 2  x2 1k 0可 化 为  x2 1 2 （x2－1）k （0 x1或x－1）…………（1） 或  x2 1 2 ＋（x2－1）k 0（－1x1）…………（2） ① 当k＝－2时，方程（1）的解为 3，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根 1 6 2 ② 当k＝ 时，方程（1）有两个不同的实根 ，方程（2）有两个不同的实根 ， 4 2 2 即原方程恰有4个不同的实根 ③ 当k＝0时，方程（1）的解为－1，＋1， 2 ，方程（2）的解为x＝0，原方程恰有5 个不同的实根 2 15 2 3 3 6 ④ 当k＝ 时，方程（1）的解为 ， ，方程（2）的解为 ， ，即原 9 3 3 3 3 方程恰有8个不同的实根 选A 二、填空题： 11、4； 12、0.94; 13、8或－18； 14、20； 15、r＋1，1/2。 x y x(1i) y(12i) x y x 2y 11．解：    (  )(  )i， 1i 12y 2 5 2 5 2 5 5 5(13i) 1 3 x y 1 x 2y 3 而    i 所以   且   ，解得x＝－1，y＝5， 13i 10 2 2 2 5 2 2 5 2 所以x＋y＝4。 12．解：P＝C3（0.80）3（0.20）2＋C4（0.80）40.20＋（0.80）5＝0.94 5 5 13．解：圆的方程可化为(x1)2  y2 1，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可 得 第5页 | 共11页|5a| a 1|5a|13，所以 的值为－18或8。 13 14．解：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可 得有A2＝20种不同排法。 5 14、解法二：考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定；据题 意由于丁必需在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它限制条件使其 与其他四人进行排列共有A5种排法，在所在的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有A3种， 5 3 A5 故满足条件的排法种数共有 5 20。 A3 3 1 15． 1 1 1 2 2 1 1 1 3 6 3 1 1 1 1 4 12 12 4 1 1 1 1 1 5 20 30 20 5 1 1 1 1 1 1 6 30 60 60 30 6 1 1 1 1 1 1 1 7 42 105 140 105 42 7 … 解：第一个空通过观察可得。 1 2 1 1 1 ＝ ＝ （ － ） （n＋1）C2 n（n＋1）（n－1） n n－1 n＋1  n   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ＝  －  ＝ － － ＋ ＝ ＋ － n n－1 n n＋1 n－1 n n n＋1 n－1 n＋1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 a        ＝（1＋ －1）＋（ ＋ － ）＋（ ＋ n 3 12 30 60  nC2 (n＋1)C2 3 2 4 3 3 n1 n 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 － ）＋（ ＋ － ）＋…＋（ ＋ － ）＋（ ＋ － ） 5 4 4 6 5 n－2 n n－1 n－1 n＋1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝（1＋ ＋ ＋…＋ ）＋（ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ）－2（ ＋ ＋…＋ ） 2 3 n－1 3 4 5 6 n＋1 2 3 n 第6页 | 共11页1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝〔（1＋ ＋ ＋…＋ ）－（ ＋ ＋…＋ ）〕＋〔（ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ） 2 3 n－1 2 3 n 3 4 5 6 n＋1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 －（ ＋ ＋…＋ ）〕＝1－ ＋ － ＝ ＋ － 2 3 n n n＋1 2 2 n＋1 n 1 所以lima  n n 2 部分试题解析： 15、解法二：本题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质通过观 察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，故此 时xr1，第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即 1 1 1 1 1 a       根据第一问所推出的结论只需在原式 n 3C0 4C1 5C2  nCn3 n1Cn2 2 3 4 n1 n 1 基础上增加一项 ，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给 n1Cn1 n 1 1 1 出的数表可逐次向上求和为 ，故a   ，从而 2 n 2 n1Cn1 n 1 1  1 lima lim    。 x n x 2 n1C n n1  2 三、解答题： 16、点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像 的基本知识，考查推理和运算能力。 解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx) 3 ＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+ 2sin(2x+ ). 4 2 所以，f(x)的最大值为2+ 2，最小正周期是 ＝. 2 3 3 k 3 （Ⅱ）由sin(2x+ )＝0得2x+ ＝k.，即x＝  ,k∈Z， 4 4 2 8 k 3 k 3 于是d＝（  ，－2）， d  (  )2 4,k∈Z. 2 8 2 8  因为k为整数，要使 d 最小，则只有k＝1，此时d＝（― ，―2）即为所求. 8 17． 点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的 运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 第7页 | 共11页又因为点(n,S )(nN)均在函数y  f(x)的图像上，所以S ＝3n2－2n. n n   当n≥2时，a＝S－S ＝（3n2－2n）－（3 n1)2 2(n1) ＝6n－5. n n n－1 当n＝1时，a＝S＝3×12－2＝6×1－5，所以，a＝6n－5 （nN） 1 1 n 3 3 1 1 1 （Ⅱ）由（Ⅰ）得知b  ＝ ＝ (  )， n a a (6n5)  6(n1)5  2 6n5 6n1 n n1 n 1  1 1 1 1 1  1 1 故T＝b ＝ (1 )(  )...(  ) ＝ （1－ ）. n i 2   7 7 13 6n5 6n1   2 6n1 i1 1 1 m 1 m 因此，要使 （1－ ）< （nN）成立的m,必须且仅须满足 ≤ ，即 2 6n1 20 2 20 m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10. 18、点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力 和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。 解法1：（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面BDDB 相交于点，,连结OG， 1 1 因为 PC∥平面BDDB ，平面BDDB ∩平面APC＝OG, 1 1 1 1 D1 C1 1 m 故OG∥PC，所以，OG＝ PC＝ . 2 2 P A1 B1 又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDDB ， 1 1 G D C 故∠AGO是AP与平面BDDB 所成的角. 1 1 O A B 2 OA 2 1 在Rt△AOG中，tanAGO＝  3 2，即m＝ . GO m 3 2 1 所以，当m＝ 时，直线AP与平面BDDB 所成的角的正切值为3 2. 3 1 1 （Ⅱ）可以推测，点Q应当是AC 的中点O，因为 I I 1 DO⊥AC, 且 DO⊥AA ，所以 DO⊥平面ACCA， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又AP平面ACCA，故 DO⊥AP. 1 1 1 1 那么根据三垂线定理知，DO 在平面APD 的射影与AP垂直。 1 1 1 解法二：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0， 1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B(1，1，1)，D(0，0，1) 1 1     所以BD(1,1,0),BB (0,0,1),AP(1,1,m),AC (1,1,0). 1 第8页 | 共11页     又由 ACBD0, ACBB 0知， AC为平面 1 BBDD的一个法向量。 z 1 1 设 AP 与平面 BBDD所成的角为，则 D 1 j C 1 1 1   O 1 P APAC  2 sincos( )  。依题意 A B 1   1 2 AP  AC 2 2m2 D 2 3 2 1 C y 有  ,解 得 m 。故 当 2 2m2 1(3 2)2 3 1 A B m 时，直线AP与平面BBDD所成的角的正切值为 3 1 1 x 3 2。 （Ⅱ）若在 AC 上存在这样的点 Q，设此点的横坐标为 x，则 Q(x，1－ x，1)， 1 1  DQ(x,1x,0)。依题意，对任意的m要使DQ在平面APD 上的射影垂直于AP，等价于DQ 1 1 1 1   1 ⊥AP APDQ0 x(1x)0 x .即Q为AC 的中点时，满足题设要求。 1 2 1 1 19． 点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查 运用概率统计知识解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知， 9070 P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－ ( )＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228. 10 这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此， 12 参赛总人数约为 ≈526（人）。 0.0228 （Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则 x70 50 P(≥x)＝1－P（0，∴BM ·BP>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角， 0 故点B在以MN为直径的圆内。 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x，y），N（x，y）， 1 1 2 2 x  x y  y 则－23＝x，则 2 1 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 当a>－4时，x<3＝x，则 2 1 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4） 上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 25 又g(x)(a2  )ex在区间[0，4]上是增函数， 4 25 25 且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋ ，（a2＋ ）e4]， 4 4 25 1 1 由于（a2＋ ）－（a＋6）＝a2－a＋ ＝（a ）2≥0，所以只须仅须 4 4 2 25 3 （a2＋ ）－（a＋6）<1且a>0，解得0