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高考新结构二十一大考点汇总
高考数学全国卷的考查内容、考查范围和考查要求层次与比例均与课程标准保持致注重考查内容的全面
性的同时，突出主干、重点内容的考查，通过依标施考，引导中学教学依标施教。
调整布局，打破固化模式。高考数学坚持稳中有变，通过调整试卷结构，改变相对固化的试题布局优化
试题设计，减少学生反复刷题、机械训练的收益，竭力破除复习备考中题海战术和题型套路，发挥引导作
用。
【题型1 集合新考点】【例1】（2024·浙江温州·高三期末）设集合U=R， ， ，则图中
−2
= 2 <1 = =ln(1− )
阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2} C．{x|00
i
【变式2-1】（多选）（2024上·云南·高三校联考阶段练习）若复数 ，则（ ）
1 3 6 9
2023i
i
A． 的共轭复数 B． =1−2
2+ 5
C．复数 的虚部为 i D．复数 在复平面内对应的点在第四象限
= 5 | |= 5
1
−5 【变式2-2】（多选）（2024上·江西宜春·高三上高二中校考阶段练习）设 为复数，则下列命题中正确的是
（ ）
A． B．若 i ，则复平面内 对应的点位于第二象限
2 2
C． D．若 ，则 i 的最大值为2
= =(1−2)
2 2
【变式2-3】（多选）（2024上·云南德宏·高三统考期末）已知 是复数 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
= =1 +
A． B．若 ，则
2
C． D．若 ，则 的最小值为1
⋅ = | |=1 =±1
【变式2-4】（多选）（2024上·河南南阳·高三统考期末）设复数 i的共轭复数为 ，则下列结论
| ⋅ |= | |⋅| | | +1|=1 | −1|
1 3
正确的有（ ）
=−2− 2
A． i B．
2 2 1
C． D．2
=cos 3 + sin 3 =2
2 2
【题型3 函数选图题新考点】
=1 + =2
【例3】（2024·浙江·高三期末）已知函数对任意的 有 ，且当 时， ln ，
∈ ( )+ (− )=0 >0 ( )= ( +1)
则函数 的图象大致为（ ）
( )
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2024·浙江宁波·高三期末）函数 在 上的图象大致为（ ）
5sin
| |
( )= e + cos [−2 ,2 ]
A． B．C． D．
【变式3-2】（2024·安徽省·高三模拟）函数 的图象不可能是（ ）
1
= ln +
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2024·安徽·高三期末）若将 确定的两个变量y与x之间的关系看成
ln =ln +ln − =
，则函数 的图象大致为（ ）
=
A． B．C． D．
【变式3-4】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，满足
．当 时 ，则 的大致图象为（ ）
−∞,0 ∪ 0,+∞ =
1 2
<0 = − ln
A． B．
C． D．
【题型4 比较大小新考点】
【例4】（2024·辽宁重点高中·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
1
= cos0.1 =10sin0.1 =10tan0.1
A． B． C． D．
< < < < < < < <
【变式4-1】（2024·江苏四校联合·高三期末）设 ln sin cos ln ，则（ ）
1 1 1 5 5
=4, =2 8+ 8 , =4 4
A． B．
< < < <
C． D．
< < < <
【变式4-2】（2024·吉林·高三期末）已知 sin cos ln ，则（ ）
1 1 1 3
= 3, =3 3, = 2
A． B．
< < < <
C． D．
< < < < π π
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知 e ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
10 9 6
A． B． C． D．
= =1+sin10 =1.1
【变式4-4】（2023·山东临沂·统考一模）已知 ，则（ ）
> > > > > > > >
1
1
A． B． =C．2 ,log2 = , =loDg ．
【题型5 数列小题新考点 】
< < < < < < < < 【例5】（2024上·北京房山·高三统考期末）数学家祖冲之曾给出圆周率 的两个近似值：“约率” 与“密
22
率” .它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.
7
355
由于 ，取3为弱率，4为强率，计算得 ，故 为强率，与上一次的弱率3计算得
113
3 4 3+4 7 3+7
，故
1<
为
<
强
1
率，继续计算，….若某次得到的
近1似
=
值
1+
为
1=
强
2
率，
与1 上一次的弱率继续计算得到新的近
2似
=
值
1+
；
2
若
=
10
某
3
次得
到2 的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知 ，则 （ ）
25
A．8 B．7 C．6 D．5 = 8 =
【变式5-1】（2023·山东烟台·统考二模）给定数列A，定义A上的加密算法 ：当i为奇数时，将A中各
奇数项的值均增加i，各偶数项的值均减去1；当i为偶数时，将A中各偶数项 的值均增加 ，各奇数项的
值均减去2，并记新得到的数列为 ．设数列 ：2，0，2，3，5，7，数列 ，
2
∗ ∗
则数列 为 ；数列 的 所 ( 有 ) 项 ∈ 的 和为 0 ． = −1 , ∈
【变式 52-2】（2024江西省九 师2 联盟）在1，3中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3为数
列1，3的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，
， ，…， ，3为数列1，3的第n次扩展数列，令 ，则数列
1 2 2 −1 =log3 1× 1× 2×⋯× 2 −1×3
的通项公式为 .
【变式5-3】（2023上·广东深圳·）若系列椭圆 （ ， N*）的离心率 ，
2 2 1
则 （ ） : + =1 0< <1 ∈ = 2
=
A． B． C． D．
1 1 1 1
【变1式−5-
4
4】（2024上·浙江温1州−·高
2
三）汉诺塔（又称河1内−塔
2
）问题是源于印度1一−个古
4
老传说的益智玩具.
如图所示目标柱起始柱辅助柱的汉诺塔模型，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，
三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现
把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的
圆盘不能放在较小的圆盘上面.规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将 个圆盘从起
始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为 ，则 . .
( ) (3)= =1 ( )=
【变式5-5】（2024上·上海·）已知等差数列 （公差不为0）和等差数列 的前 项和分别为 、 ，
如果关于 的实系数方程 有实数解，那么以下 1003 个 方程
2 2
, , 中，有实 1 数 0 解 03 的 方 − 程 1至00少3 有 + （ 100）3 = 个 0 . − + =
0 =12…1003A．499 B．500 C．501 D．502
【题型6 排列组合小题新考点】
【例6】（2023·贵州·校联考模拟预测）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围： π
，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小
3.1415926< <
学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字 进行随机排列，整数部分
3.1415927
3不变，那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有（ ）
1,4,1,5,9,2,6
A．240 B．360 C．600 D．720
【变式6-1】（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种
状态，按其中一个开关 次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按 将导致 ， ，
， ， 改变状态．如果要求只改变 的状态，则需按开关的最少次数为（ ）
1 2,2 1,2 2,1
2,2 2,3 3,2 1,1
1,1 1,2 1,3
2,1 2,2 2,3
A3．,1 3,2 3,3 B． C． D．
【变式6-2】（2023·高三课时练习）小于300的所有末尾是1的三位数的和等于 ．
5 6 7 8
【变式6-3】（2024·辽宁重点高中·高三模拟）在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连
结它们，则连结方式有 种.
【变式6-4】（2024· 江苏省四校联合·高三模拟）（多选）若 ， 为正整数且 ，则（ ）
> >1
A
A．C C B．C
3
3 5 3 7
8 = 8 7 = 4!
C． C C D．A A A
−1 −1
=( −1) −1 + = +1
【题型7 圆锥曲线小题新考点】
【例7】（2023上·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知圆锥曲线 ： 关于坐标原点
对称，定点 的坐标为 .给出两个命题：①若 ，则曲线 上必存在两点 ，使得
Γ , =1
为线段 的中 点；②若 0, 0 ，则对曲线 上任 0 一 < 点 ，0, 上0必 < 定 1 存在另外一 Γ 点 ，使得 , .其
中（ ） 0, 0 =0 Γ Γ =
A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①②都是假命题 D．①②都是真命题
【变式7-1】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他
在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，
这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法错误的是（ ）
2 2
: 6 + 4 =1A．椭圆 的离心率为 B．椭圆 的蒙日圆方程为
3 2 2
C．若 为正方形，则 的边长为 D．长方形 的面积的最大值为18
3 + =10
【变式7-2】（多选）（2023·广东茂名·统考二模）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基
2 5
米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使
后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反
射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线 ，
2
是抛物线 上的动点，焦点 ， ，下列说法正确的是（ ）
: =2 >0
1
2,0 4,2
A． 的方程为 B． 的方程为
2 2
C． 的最小值为 D． 的最小值为
= =2
5 9
【变式7-3】（2024江西九师联盟）阿波罗尼斯（约公元前262年~约公元前190年），古希腊著名数学家，
+ 2 + 2
主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等，尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高
水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质，其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线
的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点，已知双曲线C：
2 2
2 2
的左、右焦点分别为 ， ，其离心率为 从 发出的光线经过双曲线C的右 支−上 一=
1点 E>的0反, 射>，0反射光线为EP，若反射 1光线 2与入射光线垂直 =，则5, ∠ 2
A. B. C. D. 2 1E=
5 5 4 2 5
【6变式7-4】（52024·浙5江宁波·高三5期末）（多选）已知 为坐标原点，曲线 ： ， ，
2 2 2 2 2
Γ + = 3 − >0
为曲线 上动点，则（ ）
0, 0 Γ
A．曲线 关于y轴对称 B．曲线 的图象具有3条对称轴
Γ Γ
C． D． 的最大值为
9
0 ∈ − ,16 3
【题型8 导数周期与对称新考点】
【例8】（2024·陕西西安·统考一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 ，若
' '
为偶函数， ，且 ，则 （ ）
( ) ( ) ( )= ( ) (1−
1 5
2 )+4 ( +2)= ( −4) −2 =0 2 + (4)=A．4 B．6 C．8 D．10
【变式8-1】（2023上·四川·高三校联考阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且
'
为奇函数， ， ，则 （ ）
−1
' ' ' 27 '
A． B． C． D．
2− + =−2 −1 =−2 =1 2 −1 =
【变式8-2】（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知函数 的定义域为 ，且
−28 −26 −24 −22
， ，则 （ ）
+ = +
2024
A．2024 B． C． D．0
− − 1 = 3 =1 =
【变式8-3】（2024上·山东淄博·高三统考期末）已知函数 ， 的定义域都为R， 为 的导函
1012 3 3
'
数， 的定义域也为R，且 ， ，若 为偶函数，则下列结论中一
' ' '
定成立的个数为（ ）
+ =2 − 4− =2
① ② ③ ④
'
A．1 B．2 C．3 D．4
4 =2 2 =0 1 = 3 −1 + −3 =4
【变式8-4】（多选）（2024上·河南漯河·高三统考期末）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若
函数 为奇函数，函数 为偶函数， ，则（ ）
( ) '( )
1
A． B．
= (3−2 ) =3 − ( +2) ( )= '( )
2 1
C． D．
(0)= 3 (4)= 3
2 2
【题型9 抽象函数类新考点】
(0)+ (2)= 3 (4)− (6)= 3
【例9】【2024九省联考第11题】已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，
1
2 ≠0 + + =4
则（ ）
A． B．
1 1
−2 =0 2 =−2
C．函数 是偶函数 D．函数 是减函数
1 1
−2 +2
【变式9-1】（2022•新高考Ⅱ）已知函数 的定义域为R，且 ，
( ) ( + )+ ( − )= ( ) ( ), (1)= 1
则 （ ）
22
=1 ( )=
A． B． C．0 D．1
−3 −2
【变式9-2】（2023•玉林三模）函数 对任意x， R总有 ，当 时， ，
∈ + = + <0 <0
，则下列命题中正确的是（ ）
1
1 =3
A． 是偶函数 B． 是R上的减函数
C． 在 上的最小值为 D．若 ，则实数x的取值范围为
−6,6 −2 + −3 ≥−1 3,+
∞【变式9-3】已知函数 的定义域 为 ， 在 上单调递减，且对任意的 ，
−∞,0 ∪ 0,+∞ −∞,0 1, 2 ∈
都有 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则
1 2 = 1 + 2 −1 ∈ 1,+∞ − ln > 1 −1实数 的取值范围是 ．
【变式9-4】（2024· 江苏南通·高三模拟）（多选）已知函数 的定义域为R，且
2
+ − = −
为偶函数，则（ ）
2 3
, 1 = 3, 2 +2
A． B． 为偶函数
(0)= 0
C． D．
2023
(3+ )=− (3− ) =1 ( )= 3
【题型10 函数导数新考点】
【例10】（多选）（2022·山东菏泽·统考一模）对圆周率 的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基
米德（公元前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值： ．我国数学家祖冲之（430—501）
22
得出近似值 ，后来人们发现 ，这是一个“令人吃惊的好结果” ．随着科技的发展，计算
7
355 355 −6
的方法越来越多．已知 ，定义 的值为 的小
113 −113 <10
数点后第n个位置上的数字，如 ， ，规定 ．记 ，
=3.141592653589793238462643383279502⋯ ∈
1 +1
，集合 为函数 的值域，则以下结论正确的有（ ）
1 =1 4 =5 0 =3 = = ∈
∗
A． ∈ B．
C．对 1 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 D．对 中至少有两 3个 = 元 1 素 ,2,3,4,5,6,9
∗ ∗
【变式 ∀ 1 0 ∈ -1 】（ ,1 2 ∈ 02 4 ·高三·期末） ∀ （ 多 ∈ 选 ） , 在 平面直角坐标系中，将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转
( )
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 为“ 旋转函数”.那么（ ）
(0< ≤ 90°) ( )
A．存在 旋转函数
90°
B． 旋转函数一定是 旋转函数
80° 70°
C．若 为 旋转函数，则
1
( )= + 45° =1
D．若 为 旋转函数，则 e
e
2
ℎ( )= 45° − ≤ ≤ 0
【变式10-2】（2024·辽宁重点高中·高三模拟）为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识
设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最
有可能是（ ）
A． B． C． D．
2 1
2
= −sin =sin − cos = − =
3
sin + 【变式10-3】（2024·辽宁重点高中·高三模拟）如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦
码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图
中，每根弦都垂直于 轴，左边第一根弦在 轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线（又称为雁
柱曲线）方程为 ，第（ N，第0根弦表示与 轴重合的弦）根弦分别与雁柱曲线和直线
=1.1 ∈ : = +1
交于点 和 ，则 （ ）参考数据： ．
' ' 20 ' 22
, , =0 = 1.1 =8.14
A．814 B．900 C．914 D．1000
【变式10-4】（2024· 江西省吉安市·高三模拟）（多选）定义：对于定义在区间I上的函数 和正数
( ) (0<
，若存在正数M，使得不等式 对任意 恒成立，则称函数
≤ 1) 1 − 2 ≤ 1− 2 1, 2 ∈ ( )
在区间I上满足 阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ）
A．函数 在 上满足 阶李普希兹条件
1
( )= [1,+∞) 2
B．若函数 在 e 上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为e
( )= ln [1, ]
C．若函数 在 上满足 的一阶李普希兹条件，且方程 在区间 上有解 ，
( ) [ , ] = (0< <1) ( )= [ , ] 0
则 是方程 在区间 上的唯一解
0 ( )= [ , ]
D．若函数 在 上满足 的一阶李普希兹条件，且 ，则对任意函数 ， ，
( ) [0,1] =1 (0)= (1) ( ) ∀ 1, 2 ∈[0,1]
恒有
1
1 − 2 ≤2
【题型11 不等式新考点】
【例 11】（2020 下·浙江温州·高三温州中学校考阶段练习）已知正实数 ，则
1
的最小值为 ； 的最小值 ,为 , >0 . = max , +
2 1 2 3
m【a变x式 ,1 1-1】【2024九省联考】 以=mmaaxxM , 表+示m数a集x M , 中+最m大a的x 数 ,. 设 ，已知 或
0< < < <1 ≥2 +
，则 的最小值为______.
≤ 1 max − , − ,1−
【变式11-2】（2024·浙江宁波·高三期末）设实数x，y满足 ， ，不等式
3 3 3
>2 >3 2 −3 −3 ≤8 + −
恒成立，则实数k的最大值为（ ）
2 2
12 −3 A．12 B．24 C． D．
2 3 4 3
【变式11-3】（2018·河南·高三竞赛）已知 、 、 均为正数，则 的最大值为 ．
1 2 4 3
【变式11-4】（2018·全国·高三竞赛）设非负实数 、 、 满足 ．则
min , , ,
的最小值为 ． 2 2
+ + =1 = 9+ + 4+ +
【变式211-5】（2023·全国·高三专题练习）设 ， 其中 、 、 ，且
1+
2 − 2 − 2 −
．求 的最大值和最小值． , , =1+ +3 +1+ +3 +1+ +3 ≥ 0
【题型12 立体几何小题新考点】
+ + =1 , ,
【例12】（2024·浙江省温州·高三）（多选）“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种
用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为
“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值．南北朝时期祖暅提
出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，
并算出了“牟合方盖”和球的体积．其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为 的正方体截得的“牟
2
合方盖”的八分之一，图2为棱长为 的正方体的八分之一，图3是以底面边长为 的正方体的一个底面
2
和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（ ）
A．若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形
B．图2中阴影部分的面积为
2
ℎ
C．“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为π
:4
D．由棱长为 的正方体截得的“牟合方盖”体积为
16 3
2 3
【变式12-1】（2024·高三期末）如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为 ，每个四棱锥的体积为 ，则该正四棱台的体
3 1
积为（ ）
A． B．
36 32
C． D．
28 24
【变式12-2】（2024·高三期末）已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，
=
，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则（ ）
=1
A．有且仅有一点P使二面角 取得最小值
− −
B．有且仅有两点P使二面角 取得最小值
− −
C．有且仅有一点P使二面角 取得最大值
− −
D．有且仅有两点P使二面角 取得最大值
− −
【变式12-3】（2024·辽宁重点高中·高三模拟）表面积为 π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值
4
为（ ）
A． π B． π C． π D． π
4 8 12 16
【变式12-4】（2024·辽宁重点高中·高三模拟）（多选）在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点 ，且以 为方向向量的空间直线l的方程为 ；
− 0 − 0 − 0
0 0, 0, 0 = , , ≠ 0 = =
（2）过点 ，且 为法向量的平面 的方程为
0, 0, 0 = , , ≠0 − 0 + − 0 + −
．
0 =0
现已知平面 ， ， ， （ ）
−1
2 − =1
: +2 +3 =6 1: 2: = =2− 3: 5 =−4=1
A． // B． // 3 −2 =1 C． // D．
1 2 3 1 ⊥
【题型13 统计概率小题新考点】
【例13】（2024·浙江省温州）在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（ ，单
1
位：m）与制动距离（ ，单位：m）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的
2初速度（单位：km/h）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述 ， 与 的函数关系的是（ ）
1 2
A． ， B． ，
2
1 = 2 = 1 = 2 =
C． ， D． ，
2
1 = 2 = 1 = 2 =
【变式13-1】（2024·河北省·高三模拟）现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的
平均数为 ，方差为 ，乙组数据的平均数为 ，方差为 ．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据
3 5 5 3
的方差为（ ）
A． B． C． D．
3.5 4 4.5 5
【变式13-2】（2022下·山西运城·高二校联考阶段练习）已知 为满足 C C C
1 2 3
C 能被 整除的正整数 的最小值，则 的展开式中含 的项的系数为 ．
= + 2022+ 2022+ 2022+⋯+
【 20 变 22 式 13-3】（2022·贵州·高二统考竞赛） 2 如图，“爱心 ”是由曲线 10 : 2+ 2=2| |( 0)和
2022 ≥3 9 − +2 −1 1
-1
2 :| |=cos +1(0 )所围成的封闭图形，在区域Ω= ( , ) -2≤ ≤2 内任取一点 A， 则 A取自 “ 爱⩽心”
⩽ ⩽
内的 概率 = ⩽． ⩽
【变式13-4】（2018·全国·高三竞赛）设n为正整数.从集合 中任取一个正整数n恰为方程
的解的概率为 （ 表示不超过实数x的最大整数）.
1,2,⋯,2015 2 =
【题型14 三角函数小题新考点】
3 + 6 π
【例14】（2024浙江省温州高三）已知函数 sin cos 的图象关于直线 对称，
= 2 + 2 ≠0 = 6
若存在 ，满足 ，其中
1, 2,⋯, 1 − 2 + 2 − 3 +⋯+ −1 − = 24 ≥2, ∈
，则 的最小值为（ ）
+
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式14-1】（2024·辽宁重点高中·高三模拟）（多选）已知对任意角 ，均有公式
sin2 +sin2 =2sin +
.设△ABC的内角A，B，C满足 .面积S满足
1
cos − sin2 +sin − + =sin − − +2 1≤ ≤
.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( )
2
A． B．
1
sin sin sin =4 2≤sin ≤2 2
C． D．
8≤ ≤16 2 + >8
【变式14-2】（2024· 江苏南通·高三模拟）（多选）若函数 sin log sin cos log co ，
2 2
=2 ⋅ 2 +2 ⋅ 2
则（ ）
A． 的最小正周期为π
π
B． 的图像关于直线 对称
= 4
C． 的最小值为-1
π
D． 的单调递减区间为 π Z
2 ,4+2 , ∈
【变式14-3】（2024· 江苏南通·高三模拟）函数 R 的最小值 ．
3 8
2 2
( )= 2sin +1+3cos +2( ∈ )
【变式14-4】（2024·河北省·高三模拟）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.
如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 ，作一个
等边三角形 ，然后以点B为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点D（第一段圆弧），
再以点C为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点E，再以点A为圆心， 为半径逆时针
画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）A． π B． π C． π D． π
44 64 70 80
【变式14-5】（2024·浙江·高三期末）已知 π，函数 在点
0< 1 < 2 < 3 <4 =sin ,sin =1,2,3
处的切线均经过坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
tan 1 tan 3 tan 1 tan 3
1 < 3 1 > 3 1+ 3 <2 2 1+ 3 >2 2
【题型15 实际应用相关新考点】
【例15】（2024·浙江温州·高三）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始
温度为 ，空气温度为 ，则 分钟后物体的温度 （单位： ）满足： ．若常
∘ ∘ ∘ −
1 0 = 0+ 1− 0
数 ，空气温度为 ，某物体的温度从 下降到 ，大约需要的时间为（ ）（参考数据：
∘ ∘ ∘
=0.05 30 90 50 ln3≈
）
1.1
A． 分钟 B． 分钟 C． 分钟 D． 分钟
16 18 20 22
【变式15-1】（2024上·河南·高三校联考期末）据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y与其花朵凋零时
间t（分钟）（在植物学上t表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数
关系式： （b为常数），若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新鲜程度为 ，则当该种玫瑰花
10 1
新鲜程度为 时，其凋零时间约为（参考数据： ）（ ）
= ⋅2 10
1
A．3分钟 B．30分钟 C．33分钟 D．35分钟
2 lg2≈0.3
【变式15-2】（2024上·北京房山·高三统考期末）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自
然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤
过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为 e
−
，其中 为常数， ，
为原污染物数量.该工厂某次
过滤废气时，若前9个小时废气
中
=
的
0污
⋅
染物
(
恰
≥
好
0被)过滤掉 ，那么 再>继0续 过 0 滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据： 1 ）
1 3
（ ）
80% 5 ≈0.585
A． B． C． D．
【变式15-3】（2023上·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考阶段练习）“开车不喝酒，喝酒不开车．”，饮
12% 10% 9% 6%
酒驾驶和醉酒驾驶都是根据驾驶人员血液、呼气酒精含量来确定，经过反复试验，一般情况下，某人喝一
瓶啤酒后血液中的酒精含量值 随着时间 x（小时）的变化规律，可以用函数模型
π
来拟合 ， 则该人喝一瓶啤酒至少经过多少小时后才可以驾车？（ ）（参 考 数=
e
40sin 3 +13, 0≤ <2
据： −0.5 ， ）
90⋅ +14, ≥ 2
驾驶行ln1为5类≈别2.71酒l精n3含0量≈值3.4（0mg/100mL）
饮酒驾驶
≥20,<80
醉酒驾驶
≥80A．5 B．6 C．7 D．8
【变式15-4】（2024·山东青岛·高三期末）1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首
次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该
锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则csc
∘
10 −
sec （ ）
∘
3 10 =
A． B． C．4 D．8
3 2 3
【题型16 三角函数解答题新考点】
π
【例16】（2024·高三·期末）设 .
0< < 2
(1)若 ，求 ；
1 cos4 −4cos2 +3
tan =2 cos4 +4cos2 +3
(2)证明： ；
tan −
−sin >2
(3)若 ，求实数 的取值范围.
tan +2sin − >0
【变式16-1】（2024·河北省·高三模拟）已知定义域为 的函数 满足：对于任意的 ，都有 π
ℎ ∈ ℎ +2 =
π ，则称函数 具有性质 .
ℎ +ℎ 2 ℎ
(1)判断函数 cos 是否具有性质 ；（直接写出结论）
=2 , = π
(2)已知函数 sin ，判断是否存在 ，使函数 具有性质 ？若存在，
3 5
= + 2< <2, < 2 ,
求出 的值；若不存在，说明理由；
,
(3)设函数 具有性质 ，且在区间 π 上的值域为 π .函数 sin ，满足 π
0,2 0 , 2 = +2 =
，且在区间 π 上有且只有一个零点.求证： π π.
0,2 2 =2
【变式16-2】（2024·安徽省·高三模拟）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
2 2 2
△ sin +sin =sin +
．
sin sin
(1)若 的面积 ， ，求a的值；
△ =2 3 + =6
(2)若函数 在区间 上有零点，求t的取值范围．
2 ln
=3 −4 −cos +1 0, π
【变式16-3】（浙江省杭州第二中学2021-2022学年高三上学期调研考试数学试题）在 中， ，
D为 边上一点且 ．
△ ∠ = 2
+
（１）证明： 和 的内切圆半径相等；
= +
（２）若 的三边长构成等差数列，求 的大小．
△ △
【变式16-4】（2021·上海普陀·统考二模）如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点
△ ∠
分别为 （ ）， 米， ， 为对角线 和 的交点．他以 、 为圆
∘
=1,2,3,4 1 2 =30 ∠ 2 1 4 =120 2 4 1 3 2 4心分别画圆弧，一段弧与 相交于 、另一段弧与 相交于 ，这两段弧恰与 均相交于 ．设
． 1 2 1 3 4 3 2 4
∠ 1 2 =
（1）若两段圆弧组成“甬路” （宽度忽略不计），求 的长（结果精确到 米）；
（2）记此园地两个扇形面积之和为 ，其余区域的面积为 ．对于条件（1）中的 ，当
1
1
时，则称其设计“用心”，问此人的 设1 计是否“用心”？并 说2明理由． 1 3− 2 <0.12
【题型17 立体几何解答题新考点】
【例17】（2024·江西省九师联盟）如图，在△ABC中， ，D为△ABC外一点， ，
= =2 =2 =4
记 ， .
∠ = ∠ =
(1)求 的值；
2cos −cos
【变式17-1】（2024·浙江温州·高三）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面
与 全等且所在平面平行， 与 各边表示挡雨棚支架，支架 、 、 垂直于
1 1 1 △ △ 1 π1 1 π 1 1 1
平面 .雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即 ），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形
6 ∠ = 6 1 1
（ 、 分别在 、 延长线上）.
1 1 1
(1)挡雨板（曲面 ）的面积可以视为曲线段 与线段 长的乘积．已知 米， 米，
1 1 1 π=1.5 =0.3
米，小组成员对曲线段 有两种假设，分别为：①其为直线段且 ；②其为以 为圆心的
1 =2 ∠ = 3 圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；
π π π
(2)小组拟自制 部分的支架用于测试（图3），其中 米， ， ，其中 ，
△ =0.6 ∠ = 2 ∠ = 6 < < 2
求有效遮挡区域高 的最大值.
【变式17-2】（2024·浙江·高三期末）如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台
−
，其中 ， ．
⊥ =2 =2
(1)求证： ；
⊥π
(2)若 ，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
∠ = 3
【变式17-3】（2024·辽宁重点高中·高三模拟）如图，在直三棱柱 中， ，点 在棱
− 1 1 1 = 1
上，且 , 为 的中点．
1
1 =3 1 1 1
(1)证明：平面 平面 ；
⊥ 1 1
(2)若 ,求二面角 的余弦值．
= 1 =2, =2 2 − − 1
【变式17-4】（2024· 江西省吉安市·高三模拟）如图，在正三棱锥 中，有一半径为1的半球，其
−
底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点， ．
∠ = (1)用 分别表示线段BC和PD长度；
(2)当 时，求三棱锥的侧面积S的最小值．
∈ 0,2
【题型18 数列解答题新考点】
【例18】（2024·辽宁重点高中·高三模拟）记 为数列 的前n项和，且满足
= + + +
R ．
, , , ∈
(1)若 ，求证：数列 是等差数列；
1
= =0, =2
(2)若 ，设 ，数列 的前n项和为 ，若对任意的 ，都有
+1 ∗
= =0, =2, ≠0 = −1 ∈ 2 −1 <
，求实数 的取值范围．
< 2
【变式18-1】（2024· 江西省吉安市·高三模拟）对于无穷数列 ，“若存在 ，
∗
{ } − = , ∈ , >
必有 ”，则称数列 具有 性质.
+1− +1 = { } ( )
（1）若数列 满足 ，判断数列 是否具有 性质？是否具有 性质？
2 ( =1,2)
{ } = ∗ { } (1) (4)
（2）对于无穷数列 ，设2 −5 ≥ 3, ∈ ，求证：若数列 具有 性质，则 必为有限集；
{ } ={ | = − , < } { } (0)
（3）已知 是各项均为正整数的数列，且 既具有 性质，又具有 性质，是否存在正整数 ， ，
{ } { } (2) (3)
使得 ， ， ，…， ，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
+1 +2 +
【变式18-2】（2024·河北省·高三模拟）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成
功概率为 ．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续
(0< <1)
试验，且最多试验8次．记 为试验结束时所进行的试验次数， 的数学期望为 ．
(1)证明： ；
1
<
(2)某公司意向投资该产品，若 ，每次试验的成本为 元，若试验成功则获利 元，则该公司
=0.2 ( >0) 8
应如何决策投资？请说明理由．
【变式18-3】（2024·安徽省·高三模拟）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a， Z，
∗
∈ ∈ 且 ．若 则称a与b关于模m同余，记作 （modm）（“|”为整除符号）．
>1 ( − ) ≡
(1)解同余方程 （mod3）；
2
− ≡ 0
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列 ，其中 ．
①若 （ *），数列 的 前n项和 1 为 < 2 ， < 求 3 <⋯ ； <
②若 = +1− ∈ （ * ） ，求数列 的前 n项和 2024 ．
=tan 2 +1⋅tan 2 −1 ∈
【变式18-4】（2024·安徽省·高三模拟）已知 为正项数列 的前n项的乘积，且 ， ，数
2 +1
1 =3 =
列 满足 ．
= −
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 为递增数列，求实数k的取值范围；
【题型19 统计概率解答题新考点】
【例19】（2024·浙江宁波·高三期末）某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，
现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为 ；方案二：每次抽卡抽中新
1
皮肤的概率为 ，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤．已知 ，玩家按照一、二
2 0< 2 < 1 <1
两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为X，Y（元）．
(1)求X，Y的分布列；
(2)求 ；
(3)若 ，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．（参考数据： ．）
100
1 =2 2 =0.02 0.99 ≈0.37
【变式19-1】（2024·高三·期末）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为
=
， ， ， ， ．指标 ‖ 可用来刻画
= = = >0 >0 =1,2,⋯, , =1 = =1 =1 ( )
X和Y的相似程度，其定义为 ‖ ．设 ．
( )= =1 ln ~ ( , ),0< <1
(1)若 ，求 ‖ ；
~ ( , ),0< <1 ( )
(2)若 ，求 ‖ 的最小值；
1
=2, ( = −1)= 3, =1,2,3 ( )
(3)对任意与 有相同可能取值的随机变量 ，证明： ‖ ，并指出取等号的充要条件
( )≥0
【变式19-2】（2024·安徽省·高三模拟）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球
自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障
碍物时，向左、右两边下落的概率分别是 ， .设小球向左的次数为随机变量X.
2 1
3 3(1)求随机变量X的概率分布列；
(2)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率.
【变式19-3】（2024·安徽省·高三模拟）我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019
年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，
共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一
零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造
公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行
质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：
928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近
似服从正态分布 ，并把这10个样本质量分数的平均数 作为 的值．
2
,20
参考数据：若 ，则 ．
2
~ , − ≤ ≤ + ≈ 0.68
(1)求 的值；
(2)估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？
(3)若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有 个零部件的质量分数在 内，则n为何值时，
940,980 =10
的值最大？
【变式19-4】（2024·浙江温州·高三期末）现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子
里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒
子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从 号盒子里取出2个球放入n号盒子
−1
为止．
(1)当 时，求2号盒子里有2个红球的概率；
=2
(2)当 时，求3号盒子里的红球的个数 的分布列；
=3 (3)记n号盒子中红球的个数为 ，求 的期望 ．
【题型20 圆锥曲线解答题新考点】
【例20】（2023·吉林·统考二模）椭圆曲线加密算法运用于区块链．
椭圆曲线 ∣ ． 关于x轴的对称点记为 ．C在点
2 3 3 2
处的切线 = 是指 ( 曲 , 线 ) = + + ,4 在 点 + P 27 处 的 ≠ 切 0 线． 定 ∈ 义 “ ”运算满足：①若 ( ， , 且 ) 直 ( 线 ≠
PQ与C有第三个交点R，则3 ；②若 ，且PQ为C的切线，切点为P，则 ；
0) =± + + ⊕ ∈ , ∈
③若 ，规定 ， 且 ⊕ = ∈ , ． ∈ ⊕ =
∗ ∗ ∗
(1)当 ∈ ⊕ 时 = ， 0 讨论函 数 ⊕0 =0 ⊕ = 零点的个数；
3 2 3
(2)已知“ ”运算满足交换律、结合律，若 ，且PQ为C的切线，切点为P，证明： ；
4 +27 =0 ℎ( )= + +
(3)已知 ⊕ ，且直线 PQ ∈ 与 , C ∈ 有 第三个交点，求 的坐标． ⊕ =
参考公式 ： 1, 1 ∈ , 2, 2 ∈ ⊕
3 3 2 2
【变式20-1】（2024·全国·高三专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，
− =( − ) + +
现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．
(1)圆 上点 处的切线方程为 ?请说明理由.
2 2 2
(2)椭圆
: + =
0上
,
0一点 处的切线方程为 ?
2 2
(3)
2
+
是
椭2
=
圆
1( > >0)
外一点
，0, 过
0点 作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线 的
2
2
方程是 ?这是因为在 ， 两点处，椭圆 的切线方程为 和 ．两切线
( , ) : 3 + =1
1 2
都过 点，所以得到了 1, 1 2, 和 2 ， 由这两个“同构 3 方 + 程 1” 得 = 到 1 了直 3 线 + 2的 = 方 1 程；
1 2
3 + 1 =1 3 + 2 =1
(4)问题（3）中两切线 ， 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为 ，由
，得 ，化简得 − ，=得 ( − )
− = ( − ) 2 2 2 2 2
2 2 ．若(1+3 )， 则+由6这 ( 个−方 程 可) 知+3点( 一−定 在)一−个3圆=上0，这个圆的Δ方=程0为 ?(3− ) +
+3 =3
2
【变式20-2】（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和
2 +1− =0 ⊥
虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆 ： ，双曲线 是椭圆 的“姊妹”
2 2
圆锥曲线， ， 分别为 ， 的离心率，且 1 4 ，+点 2M=，1N0分<别 为<椭2圆 的左、 右2 顶点， 设1过点
15
的动直线l 交1双 曲2 线 右 支1 A 2，B两点，若直 1线 2A = M 4 ，BN的斜率分别为 ， 1 . 4,0
(1)求双曲线 的方程 ；2
(2)试探究
2与 的 是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(3)求 的 取值范围.
2 2
【变式 2 = 0 - 3 】（ + 2 3 0 2 4 ·浙江宁波·高三期末）已知椭圆C： （ ， ）的左、右焦点分别为 、
2 2
2 + 2 =1 >0 >0 1π
，离心率为 ，经过点 且倾斜角为 （ ）的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上
1
2 2 1 0< < 2
方）， 的周长为8．
△ 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面 ）与y轴负半轴和x
1 2
轴所确定的半平面（平面 ）互相垂直．
π 1 2
①若 ，求三棱锥 的体积，
=π3 − 1 2
②若 ，异面直线 和 所成角的余弦值；
= 3 π1 2
③是否存在 （ ），使得 折叠后的周长为与折叠前的周长之比为 ？若存在，求 的值；
15
0< < 2 △ 2 16 tan
若不存在，请说明理由．
【变式20-4】（2024·高三·期末）已知椭圆 ： 的左焦点为 ， 为曲线 ： 上的动
2 2 2 2
+4
25+ 9 =1 25 + 9 =0
点，且点 不在 轴上，直线 交 于 ， 两点.
(1)证明：曲线 为椭圆，并求其离心率；
(2)证明： 为线段 的中点；
(3)设过点 ， 且与 垂直的直线与 的另一个交点分别为 ， ，求 面积的取值范围.
△
【题型21 九省联考类19题】
【例21】（2024·浙江温州·高三）设数阵 ，其中 ．设
11 12
，其中 0 = 21 22 *且 ． 11, 定 1 义 2, 变 21 换 , 22 为 ∈ “ 1 对 ,2, 于 3,4 数 ,5 阵 ,6 的每一 行 = ，若
1, 2,⋯, ⊆ 1,2,3,4,5,6 1 < 2 <⋯< , ∈ ≤6
其中有 或 ，则将这一行中每个数都乘以 ；若其中没有 且没有 ，则这一行中所有数均保持不
− −1 −
变” 表示“将 经过 变换得到 ，再将 经过 变换得到 以此类推，最后
= 1, 2,⋯, . 0 0 1 1 1 2 2,⋯
将 经过 变换得到 ．记数阵 中四个数的和为 ．
−1 0(1)若 ，写出 经过 变换后得到的数阵 ，并求 的值；
1 3
0 = , = 1,3 0 1 1 0
(2)若 3 6 ，求 的所有可能取值的和；
1 3
0 = , = 1, 2, 3 0
(3)对任意确3定的6一个数阵 ，证明： 的所有可能取值的和不超过 ．
0 0 −4
【变式21-1】（2023·浙江宁波·高三期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线
的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C： 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从A沿曲线段
= Δ
运动到B点时，A点的切线 也随着转动到B点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾斜
Δ
角与 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越
小则弯曲程度越大，因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当B越接近A，即 越小，K就越
Δ
= Δ Δ
能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义 （若极限存在）为曲线C在点A
″
Δ
3
= Δl im→0 Δ = '2 2
1+
处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示 在点A处的一阶、二阶导数）
=
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆 在 处的曲率；
2
2 1
4 + =1 3,2
(3)定义 为曲线 的“柯西曲率”．已知在曲线 上存在两点
″
2 2
= ' 3 = = ln −2 1, 1
1+
和 ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 的取值范围．
3 3
2, 2 1+ 2
【变式21-2】（2024· 江苏省四校联合·高三模拟）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有
应用．设 ， ， ， 是直线 上互异且非无穷远的四点，则称 （分式中各项均为有向线段长度，例如
⋅
）为 ， ， ， 四点的交比，记为 ．
=− ( , ; , )
(1)证明： ；
1
1−( , ; , )= ( , ; , )
(2)若 ， ， ， 为平面上过定点 且互异的四条直线， ， 为不过点 且互异的两条直线， 与 ， ，
1 2 3 4 1 2 1 1 2
， 的交点分别为 ， ， ， ， 与 ， ， ， 的交点分别为 ， ， ， ，证明：
3 4 1 1 1 1 2 1 2 3 4 2 2 2 2 ( 1, 1; 1, 1)=；
( 2, 2; 2, 2)
(3)已知第（2）问的逆命题成立，证明：若 与 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，
' ' '
△ △
则 与 对应边的交点在一条直线上．
' ' '
△ △
【变式21-3】（2024· 江苏南通·高三模拟）已知 1,1 1,2 ⋯ 1, 是 个正整数组成
2,1 2,2 ⋯ 2, 2
= ( ≥2)
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
的 行 列的数表，当 时，记 ,1 ,2 ⋯ , ．设 ，
∗
1≤ < ≤ ,1 ≤ < ≤ , , , = , − , + , − , ∈
若 满足如下两个性质：
① ；
, ∈ 1,2,3;⋯, ( =1,2,⋯, ; =1,2,⋯, )
②对任意 ，存在 ，使得 ，则称 为Γ 数表．
∈ 1,2,3,⋯, ∈ 1,2,⋯, , ∈ 1,2,⋯, , =
(1)判断 是否为 数表，并求 的值；
1 2 3
3 = 2 3 1 Γ3 1,1, 2,2 + 2,2, 3,3
(2)若 数表 3满足1 2 ，求 中各数之和的最小值；
Γ2 4 , , +1, +1 =1( =1,2,3; =1,2,3) 4
(3)证明：对任意 数表 ，存在 ，使得 ．
Γ4 10 1≤ < ≤ 10,1≤ < ≤ 10 , , , =0
【变式21-4】（2024· 江苏南通·高三模拟）对于给定的正整数n，记集合
= = 1, 2, 3,⋅⋅⋅, , ∈
，其中元素 称为一个n维向量．特别地， 称为零向量．设 R，
, =1,2,3,⋅⋅⋅, 0 = 0,0,⋅⋅⋅,0 ∈ = 1, 2,⋅⋅
， ，定义加法和数乘： ，
⋅, = 1, 2,⋅⋅⋅, ∈ + = 1+ 1, 2+ 2,⋅⋅⋅, + = 1, 2,⋅⋅⋅
．对一组向量 ， ，…，（ ， ），若存在一组不．全．为．零．的实数 ， ，…， ，使得
, 1 2 ∈ + ≥2 1 2 1 1 + 2 2 +
，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
⋅⋅⋅+ = 0
(1)对 ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
=3
① ， ；② ， ， ；③ ， ， ，
= 1,1,1 = 2,2,2 = 1,1,1 = 2,2,2 = 5,1,4 = 1,1,0 = 1,0,1 = 0,1,1
．
= 1,1,1
(2)已知向量 ， ， 线性无关，判断向量 ， ， 是线性相关还是线性无关，并说明理由．
+ + +
(3)已知 个向量 ， ，…， 线性相关，但其中任意 个都线性无关，证明下列结论：
≥2 1 2 −1
①如果存在等式 （ ， ），则这些系数 ， ，…， 或者全
1 1 + 2 2 +⋅⋅⋅+ = 0 ∈ =1,2,3,⋅⋅⋅, 1 2
为零，或者全不为零；
②如果两个等式 ， （ ， ， ）
1 1 + 2 2 +⋅⋅⋅+ = 0 1 1 + 2 2 +⋅⋅⋅+ = 0 ∈ 1 ∈ =1,2,3,⋅⋅⋅, 同时成立，其中 ，则 ．
1 2
1 ≠0 1 = 2 =⋅⋅⋅=
