2006年湖南高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_湖南

2006 年湖南高考理科数学真题及答案 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 函数y  log x2的定义域是 2 A．(3,) B．[3,) C．(4,) D．[4,) 1 2. 若数列{a }满足: a  , 且对任意正整数m,n都有a  a a , 则 n 1 3 mn m n lim(a a  a )  1 2  n n 1 2 3 A． B． C． D．2 2 3 2 3. 过平行六面体ABCD A BC D 任意两条棱的中点作直线, 其中与平面DBB D 平行 1 1 1 1 1 1 的直线共有 A．4条 B．6条 C．8条 D．12条 4. “a 1”是“函数 f(x) | xa|在区间[1,)上为增函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知|a| 2|b| 0, 且关于x的方程x2|a| xab 0有实根, 则a与b的夹角的 取值范围是    2  A．[0, ] B．[ ,] C．[ , ] D．[ ,] 6 3 3 3 6 6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2 个, 则该外商不同的投资方案有 A． 16种 B．36种 C．42种 D．60种 y2 7. 过双曲线M :x2  1的左顶点A作斜率为1的直线l, 若l与双曲线M 的两条渐 b2 近线分别相交于点B,C , 且| AB|| BC |, 则双曲线M 的离心率是 10 5 A． 10 B． 5 C． D． 3 2 xa 8. 设函数 f(x)  , 集合M {x| f(x)0},P {x| f (x) 0}, 若M  P, x1 则实数a的取值范围是 第1页 | 共15页A．(,1) B．(0,1) C．(1,) D．[1,) 9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1, 图1 则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 2 3 A． B． C． 2 D． 3 2 2 10. 若圆x2  y2 4x4y100上至少有三个不同的点到直线l:axby 0的 距离为2 2,则直线l的倾斜角的取值范围是    5    A． [ ， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[0， ] 12 4 12 12 6 3 2 注意事项： 请用0.5毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分. 把答案 填在答题卡中对应题号后的横线上。 11. 若（ax1)5的展开式中x3的系数是80, 则实数a的值是__________. x 1  12. 已知x y10 则x2  y2的最小值是_____________.  2x y20  1 13. 曲线y  和y  x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是 x ___________.   14. 若 f(x)  asin(x )bsin(x )(ab  0)是偶函数, 则有序实数对(a,b)可以 4 4 是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可) 15. 如图2, OM // AB, 点P在由射线OM , 线段OB及AB的延长线围成的区域内 1 (不含边界)运动, 且OP  xOA yOB,则x的取值范围是__________; 当x   2 时, y的取值范围是__________. 第2页 | 共15页P B M A O 图2 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分12分） 如图3, D是直角ABC斜边BC上一点, AB  AD,记CAD ,ABC . (Ⅰ)证明: sincos20; (Ⅱ)若AC  3DC,求的值. A B D C 图3 17. （本小题满分12分） 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤 矿整改前合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8, 计算(结果精确到0.01); (Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 . 18. （本小题满分14分） 如图4, 已知两个正四棱锥P ABCD与Q ABCD的高分别为1和2, AB  4 (Ⅰ) 证明: PQ 平面ABCD ; (Ⅱ) 求异面直线AQ与PQ所成的角; (Ⅲ) 求点P到平面QAD的距离. 第3页 | 共15页P D C A B Q 图4 19．（本小题满分14分） 已知函数 f(x)  xsinx, 数列{a }满足: 0 a 1, n 1,2,3, n 1  1 证明 (Ⅰ) 0 a  a 1 ; (Ⅱ) a  a3 . n1 n n1 6 n 20．（本小题满分14分） 对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 污物质量 1 ）为0.8, 要求清洗完后的清洁度为0.99. 有两种方案可供选 物体质量（含污物） 择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其 质 量 变 为 a(1 a 3). 设 用 x单 位 质 量 的 水 初 次 清 洗 后 的 清 洁 度 是 x0.8 yac (x  a1), 用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 , x1 ya 其中c (0.8c 0.99)是该物体初次清洗后的清洁度. (Ⅰ)分别求出方案甲以及c 0.95时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当a为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水 量最小? 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 21．（本小题满分14分） x2 y2 已知椭圆C :  1, 抛物线C :(ym)2  2px(p 0), 且C ,C 的公共弦 1 4 3 2 1 2 AB过椭圆C 的右焦点 . 1 第4页 | 共15页(Ⅰ) 当AB  x轴时, 求m,p的值, 并判断抛物线C 的焦点是否在直线AB上; 2 (Ⅱ) 是否存在m,p的值, 使抛物线C 的焦点恰在直线AB上? 若存在, 求出符合条件 2 的m,p的值; 若不存在, 请说明理由 . 2006年湖南高考理科数学真题参考答案 1—10 DADAB DACCB 3 1 3 11. 2 12. 5 13. 14. (1,1) 15. (,0)，( , ) 4 2 2 1．函数y  log x2的定义域是log x2≥0，解得x≥4，选D. 2 2 1 1 2．数列{a }满足: a  , 且对任意正整数m,n都有a  a a a a a a  ， n 1 3 mn m n 2 11 1 1 9 1 1 1 a a a  a ， ∴ 数 列 {a }是 首 项 为 ， 公 比 为 的 等 比 数 列 。 n1 n 1 3 n n 3 3 a 1 lim(a a  a )  1  ，选A. n 1 2  n 1q 2 D 1 C 1 A 3．如图，过平行六面体ABCD A BC D 任意两条棱的中点作直线, 1 B1 1 1 1 1 D C 其中与平面DBB D 平行的直线共有12条，选D. A 1 1 B 4．若“a 1”，则函数 f(x) | xa|=|x1|在区间[1,)上为增函数； 而若 f(x) | xa|在区间[1,)上为增函数，则 0≤a≤1，所以“a 1”是“函数 f(x) | xa|在区间[1,)上为增函数”的充分不必要条件，选A.    5．|a| 2|b| 0, 且关于x的方程x2|a| xab 0有实根，则|a|2 4ab≥0，设 1    |a|2   ab 4 1  向量a,b的夹角为θ，cosθ= ≤  ，∴θ∈[ ,]，选B.   |a||b| 1  2 3 |a|2 2 6．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2 个，则有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有C1A2 36种 3 4 方案，二是在三个城市各投资1个项目，有A3 24种方案，共计有60种方案，选D. 4 第5页 | 共15页y2 7．过双曲线M :x2  1的左顶点A(1，0)作斜率为1的直线l：y=x－1, 若l与双曲 b2 y2 线M 的两条渐近线x2  0分别相交于点B(x ,y ),C(x ,y ), 联立方程组代入消元 b2 1 1 2 2  2 x x    1 2 1b2 得(b2 1)x2 2x10，∴  ，x+x=2xx ，又| AB|| BC |,则B为AC 1 1 2 1 2  x x   1 2 1b2  1 x    1 4 c 中点，2x=1+x，代入解得 ，∴ b=9，双曲线M 的离心率e=  10 ，选A. 1 2 1 2 a  x   2 2 xa 8．设函数 f(x)  , 集合M {x| f(x)0}，若a>1时，M={x| 10，∴ a>1 (x1)2 时，P=R，a<1时，P=； 已知M  P,所以选C. 9．棱长为2的正四面体ABCD 的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球 心的一个截面如图为△ABF，则图中AB=2，E 为AB 中点，则EF⊥DC，在 △DCE 中，DE=EC= 3，DC=2，∴EF= 2 ，∴三角形ABF的面积是 2 ， 选C. 10．圆x2  y2 4x4y100整理为(x2)2 (y2)2 (3 2)2， ∴圆心坐标为(2，2)，半径为3 2 ，要求圆上至少有三个不同的点到直线 l:axby 0的距离为2 2，则圆心到直线的距离应小于等于 2 ， |2a2b| a a a ∴ ≤ 2，∴ ( )2 4( )1≤0，∴ 2 3≤( )≤2 3， a2 b2 b b b a  5 k ( )，∴ 2 3≤k≤2 3，直线l的倾斜角的取值范围是[ ， ]， b 12 12 选B. 二．填空题： 3 1 3 11． 2 12．5 13． 14． (1,1) 15．(,0)，( , ) 4 2 2 11．（ax1)5的展开式中x3的系数C3(ax)3(1)210a3x3=80x3， 则实数a的 5 第6页 | 共15页值是－2. x 1  12．已知x y10 ，如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则x2  y2的最  2x y20  小值是5. 1 13．曲线y  和y  x2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x x 3 －1，它们与x轴所围成的三角形的面积是 . 4 14 ． ab ≠ 0 ，   2 2 2 2 f(x)asin(x )bsin(x )a( sinx cosx)b( sinx cosx)是 4 4 2 2 2 2 偶函数，只要a+b=0即可，可以取a=1，b=－1. 15．如图, OM // AB, 点P在由射线OM , 线段OB及AB的延 长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且OP  xOA yOB，由向量 加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以 OB和OA的反向延长线为两邻边，∴ x的取值范围是(－∞，0)； 1 当x   时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上， 2 1 3 1 3 CD= OB，CE= OB，∴ y的取值范围是( ， ). 2 2 2 2 三、解答题：本大题共6个小题，共80分，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD, 记∠CAD=,∠ABC=. A α (1)．证明 sincos20; β B D C （2）．若AC= 3DC,求的值. 图3    解：(1)．如图3，  (2)2 ,sinsin(2 )cos2，  2 2 2 即sincos20． 第7页 | 共15页（2）．在ABC中，由正弦定理得 DC AC DC 3DC  ,  .sin 3sin sin sin() sin sin 由(1)得sincos2，sin 3cos2 3(12sin2), 3 3 即2 3sin2sin 3 0.解得sin 或sin ． 2 3  3  0 ,sin , .  2 2 3 17.（本小题满分12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若 安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检 是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的 概率是0.8,计算(结果精确到0.01): (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率. 解：（Ⅰ）．每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 5 P C2(10.5)20.53  0.31. 1 5 16 （Ⅱ）．由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,0.5).从而的数学期望是 E＝50.52.5，即平均有2.50家煤矿必须整改. (Ⅲ)．某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤 矿被关闭的概率是P (10.5)(10.8)0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9. 2 由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是 P 10.95 0.41 3 18. （本小题满分14分）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1 和2,AB=4. (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角; (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离. 第8页 | 共15页P z P D C D C A B O B A x y Q Q 图 解法一： （Ⅰ）．连结AC、BD，设AC BDO.由P－ABCD与Q－ABCD  1 都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD. 1 从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD. 2 （I I ）由题设知，ABCD 是正方形，所以 AC BD．由（I）， PQ平面 4 ABCD， 故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系 4 （如上 4 图），由题设条件，相关各点的坐标分别是 P(0,0,1)， Q(0,0,2)， 4 B(0,2 2,0)      AQPB 3 所以AQ(2 2,0,2),PB(0,2 2,1),于是cos AQ,PB  .   AQ  PB 9 3 从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos . 9 (Ⅲ)．由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－2 2 ，0），AD(2 2,2 2,0)，  PQ(0,0,3)，设n(x,y,z)是平面QAD的一个法向量，  nAQ0  2xz0 由 得 . nAD0 xy0 取x=1，得n(1,1, 2). 所以点P到平面QAD的距   PQn 3 2 P 离d   ..  n 2 解法二： （Ⅰ）．取AD的中点M，连结PM，QM.因为P－ABCD D C O 与Q－ABCD M B A 都是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而 AD⊥平面PQM. 第9页 | 共15页 Q又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD. （Ⅱ）．连结AC、BD设AC BDO，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在  PQ上，从而P、A、Q、C四点共面. 取OC的中点N，连结PN． PO 1 NO NO 1 PO NO 因为  ,   ，所以  ， OQ 2 OA OC 2 OQ OA 从而AQ∥PＮ.∠BPＮ（或其补角）是异面直线AQ 与PB所成的角.连接BN， 因为PB OB2OP2  (2 2)213． PN  ON2OP2  ( 2)21 3 BN  OB2ON2  (2 2)2( 2)2  10 PB2 PN2 BN2 9310 3 所以cosBPN    ． 2PBPN 23 3 9 3 从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos ． 9 (Ⅲ)．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PＱM，所以平面PＱM⊥平面QAD. 过Ｐ作ＰＨ⊥ＱＭ 于Ｈ，则ＰＨ⊥平面QAD，所以ＰＨ的长为点P到平面QAD的距离． 1 连结OM，则OM  AB2OQ.所以MQP45， 2 3 2 又ＰＱ＝ＰＯ＋ＱＯ＝３，于是PH  PQsin45  . 2 3 2 即点P到平面QAD的距离是 . 2 19. （本小题满分14分）已知函数 f(x) xsinx, 数列{a }满足:0a 1,a  f(a ),n1,2,3, . n 1 n1 n  证明: （I）．0a a 1; n1 n 1 （II）．a  a 3. n1 6 n 证明: （I）．先用数学归纳法证明0a 1，ｎ＝1,2,3,… n (i).当n=1时,由已知显然结论成立. 第10页 | 共15页(ii).假设当n=k时结论成立,即0a 1.因为00成立.于是g(a )0,即sina a  a 3 0． n n n 6 n 1 故a  a 3． n1 6 n 20. （本小题满分14分）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体 污物质量 的清洁度定义为:1 )为 0.8,要求洗完后的清洁度是 0.99.有两 物体质量(含污物) 种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因 素影响,其质量变为 a(1≤a≤3).设用 x单位质量的水初次清洗后的清洁度是 x0.8 yac (xa1), 用 y质 量 的 水 第 二 次 清 洗 后 的 清 洁 度 是 , 其 中 x1 ya c(0.8c0.99)是该物体初次清洗后的清洁度. (Ⅰ)分别求出方案甲以及c0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少? 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响. x0.8 解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有 =0.99,解得x=19. x1 由c0.95得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程: y0.95a 0.99,解得y=4a,故z=4a+3.即两种方案的用水量分别为19与4a+3. ya 第11页 | 共15页因为当1a3时,xz 4(4a)0,即x z,故方案乙的用水量较少. （II）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（I）得 5c4 x ，ya(99100c)（*） 5(1c) 5c4 1 于是x y +a(99100c)  100a(1c)a1 5(1c) 5(1c) 1 当a为定值时,x y2 100a(1c)a1a4 5a 1, 5(1c) 1 当且仅当 100a(1c)时等号成立.此时 5(1c) 1 1 c1 (不合题意,舍去)或c1 (0.8,0.99), 10 5a 10 5a 1 将c1 代入（*）式得x2 5a 1a1,y 2 5a a. 10 5a 1 故c1 时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为 10 5a 2 5a 1与2 5a a, 最少总用水量是T(a)a4 5a 1. 2 5 当1a3时,T'(a) 10,故T(a)是增函数(也可以用二次函数的单调 a 性判断).这说明,随着a的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量. x2 y2 21. （本小题满分14分）已知椭圆C:  1,抛物线C:(ym)2 2px(p0), 1 2 4 3 且C、C 的公共弦AB过椭圆C 的右焦点. 1 2 1 (Ⅰ)当AB⊥x轴时,求m、 p的值，并判断抛物线C 的焦点是否在直线AB上； 2 (Ⅱ)是否存在m、 p的值，使抛物线C 的焦点恰在直线AB上？若存在， 2 求出符合条件的m、 p的值；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为： 3 3 x =1，从而点A的坐标为（1， ）或（1，－ ）. 因为点A在抛物线上. 2 2 第12页 | 共15页9 9 9 所以 2p，即 p .此时C的焦点坐标为（ ，0），该焦点不在直线AB上. 2 4 8 16 （II）解法一： 假设存在m、 p的值使C 的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB 2 的斜率存在，故可设直线AB的方程为yk(x1)． yk(x1)  由x2 y2 消去y得(34k2)x28k2x4k2120………………①   1  4 3 y 设A、B的坐标分别为（x,y）, （x,y）, 1 1 2 2 A 8k2 则x,x是方程①的两根，x＋x＝ . 1 2 1 2 34k2 O x (ym)2 2px 由 y k(x1) B 消去y得(kxkm)2 2px. ………………② p 因为C的焦点F( ,m)在直线yk(x1)上， 2 2 p kp kp 所以mk( 1)，即mk  .代入②有(kx )2 2px. 2 2 2 k2p2 即k2x2  p(k2 2)x 0. …………………③ 4 p(k2 2) 由于x,x也是方程③的两根，所以x＋x＝ . 1 2 1 2 k2 8k2 p(k2 2) 8k2 从而 ＝ . 解得 p ……………………④ 34k2 k2 (4k2 3)(k2 2) 又AB过C C的焦点，所以 1、、＼、、 2 p p 1 1 AB (x  )(x  ) x x  p(2 x )(2 x )， 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 3 12k2 4k2 12 则 p 4 (x x )4  . …………………………………⑤ 2 1 2 4k2 3 4k2 3 8k2 4k2 12 由④、⑤式得  ，即k4 5k2 60． (4k2 3)(k2 2) 4k2 3 第13页 | 共15页4 解得k2 6.于是k  6,p . 3 2 2 因为C的焦点F( ,m)在直线y  6(x1)上，所以m 6( 1). 2 3 3 6 6  m 或m ． 3 3 6 6 4 由上知，满足条件的m、 p存在，且m 或m ， p ． 3 3 3 解法二： 设A、B的坐标分别为(x,y )，(x y )． 1 1 2 2 p 因为AB既过C的右焦点F(1,0)，又过C的焦点F( ,m)， 1 2 2 p p 1 1 所以 AB (x  )(x  )x x  p(2 x )(2 x ). 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 即x x  (4 p). ……① 1 2 3 y  y m0 2m 由（Ⅰ）知x  x ,p2，于是直线AB的斜率k  2 1   ， ……② 1 2 x x p p2 2 1 1 2 2m 且直线AB的方程是y  (x1), p2 2m 4m(1 p) 所以y  y  (x x 2) . ……③ 1 2 p2 1 2 3(p2)  3x2 4y2 12 y y 又因为 1 1 ，所以3(x x )4(y y ) 2 1 0. ……④ 3x 2 2 4y 2 2 12 1 2 1 2 x 2 x 1 3(p4)(p2)2 将①、②、③代入④得m2  ． ……………⑤ 16(1 p) (y m)2 2px x x 因为 1 1 ，所以y  y 2m2p 2 1 ． …………⑥  (y 2 m)2 2px 2 1 2 y 2  y 1 3p(p2)2 将②、③代入⑥得m2  . ……………⑦ 1610p 3(p4)(p2)2 3p(p2)2 由⑤、⑦得  .即3p2 20p320 16(1 p) 1610p 4 4 2 解得 p  或p 8(舍去)．将 p 代入⑤得m2  , 3 3 3 第14页 | 共15页6 6  m 或m ． 3 3 6 6 4 由上知，满足条件的m、 p存在，且m 或m ， p 3 3 3 第15页 | 共15页