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数 学
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A D C C D A B AD BCD BC
1.B 解析： ∵ 解得 -1＜x≤2 ，
∴A∩B={x|-1＜x 2}
2.A 解析：由已知得 ，化简得
3.D 解析：由已知得： ， ，所以
解得
4.C 解析：由已知得： ，解得 ， ，故 S =81
9
5.C 解析：
6.D 解析：∵直线可化为： ∴直线过定点（1，-1），易知该点为
圆上一点，所以直线 l 与圆相交或相切。
7.A 解析：做 的图像大致如下：当 时， = ，∵ 在 R 上单调递减，
∴当 时， 解得 ，又已知 ，所以选 A
x
8. B 解析:设 ，则
,因为 ,所以
,又 ，所以 恒成立,所以 在定义域 上单调递增.故原不等式可转化为 ，又 ，所以 ,
所以 ,所以 .故选 .
二、多选题:
9.AD
解析：A 选项：∵E（X）=np=30，D（X）=npq=20，∴p= ，A 正确
B 选项：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C 选项：随机变量 服从正态分布 N（0，1），若 P（ ＞1）=p,则 .
D. 对于回归分析，相关系数 r 的绝对值越大，说明拟合效果越好
10． BCD
解析：A：2π是 f（x）的周期，∴A 正确．
B：当 f（x）=1 时，2x+ = +2kπ，k∈Z，∴x= +kπ，k∈Z，∴B 正确．
C：把 y=sin2x 的图象上所有点向左平移 个单位长度得到:
y=sin[2（x+ ）]=sin（2x+ ），∴C 正确．
D：∵x∈[ ， ]，∴2x+ ∈[ ， ]，∴f（x）在区间[ ， ]上单调递减，∴D 正确．故选：
BCD．
11. BC
解析：因为 ，所以 是奇函数；
因为 ，所以 的图象关于 对称，
所以 ，则 ，
因而 ，所以 的最小正周期 ，故 A 错误；
由 ，则 的一个对称中心为 ，故 B 正确；
，故 C 正确；
当 时， 单调递增且值域为 ，
因为 的图象关于 对称，所以 在 单调递减且值域为 ，又因为 是奇函数，所以 在 的图象关于 对称且值域为 ，
所以函数 在区间 上有两个零点，且所有零点之和为 ，故 D 错误
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.
13. 6π
解析:在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D 为 BC 的中点，则 AB⊥CD，
，
∵平面 A′CD⊥平面 BCD，平面 A′CD∩平面 BCD=CD，A′D⊂平面 A′CD，且 A′D⊥CD，
∴A′D⊥平面 BCD，又 CD⊥BD，
取 BC 的中点 E，连接 DE，则 DE=1，
过 E 作 EF∥A′D，则 EF⊥平面 BCD，
设三棱锥 A′-BCD 的外接球球心为 O，则球心 O 必位于 EF 上，如图：
设其半径为 R，则 ，
∴OD2=DE2+OE2， ，解得 ，
∴三棱锥 A′-BCD 的外接球的表面积为 ．
故答案为：6π．
14. 0.1(2 分) 0.3(3 分)
解析：记 为事件“零件为第 i（i=1，2，3）台车床加工”，则 ， ，
，B 为事件“任取一个零件为次品”，
∴由全概率公式得：
0.1
由贝叶斯公式得：
四、解答题:15. (13 分) 解析：（1）
，由正弦定理得 ………………………………3 分
， ………………………………………………………………………5 分
，………………………………6 分
（2）由（1）知 ， ，…………7 分
……………10 分
， ，
故 ……………………………………………………………………………………13 分
16. (15 分) 解析：（1）依题意: ，解得 ,
所以 b=1 …………………………………4 分
所以椭圆的方程为 = 1 . ……………………………………………5 分
(2)依题意可得直线 l 的斜率存在且不为 0，设 l: x=my+6, M( ， ) , N( ， ). ……7
分
由 得（ +4） + 12my + 32 =0 ………………………………………………9 分
则 + = - ， = …………………………………………………………………10 分
已知 B(2,0)， = ， ……………………………………………………………12 分
所以 . = = =
= = = ………………………………………………………15 分
17．(15 分)解析：（1）∵底面 为直角梯形，BC//AD， 为直角，BC=2，AB=AD=PC=PD=1,
∴ ， ，得 ，所以 ，……………………………………………2
分
又∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则 平面
PCD，..……4 分又 平面 PCD，∴BD ，……..…………………………………………………………………………5 分
又∵侧面 PCD 为等腰直角三角形，PC=PD=1，∴ ，………………………………………………6 分
又 ，∴ 平面 ，又 PB 平面 ，所以, . ………………………………7
分
（2）∵平面 平面 ，平面 平面 ，可过点 作 垂足为 ，由题意
知
为等腰直角三角形，故点 为线段 的中点，且 ，分别
以过点 与直线 ， 平行的直线为 轴， 轴，以 所在直线为 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，……………………………………9 分
则 ， ， ， ，
，
所以 ， ，
，…………………………………………………10 分
设平面 PCD 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，所以 ，………………………………
12 分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则
，………………14 分
设平面 PCD 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 PCD 与平面 夹角的余弦值为 ．…………………………………………………………15 分
18．(17 分)
解析：（1）根据题意可得（0.01+0.02+0.03+2 +0.01）×10=1，解得 =0.015；……2 分
因为前几组的频率依次为 0.1，0.2，0.3，所以中位数在 50 和 60 之间，设中位数为 x,则 0.3+（x-50）×0.03=0.5，解得 x=56.7，
即该市群众每天慢跑时长的中位数约为 56.7．………………………………………5 分
（2）慢跑时长在[30，40）内有 10 人，
因为男生数与女生数之比为 3：2，所以其中男生 6 人，女生 4 人 ………………7 分
记“随机抽取 2 人进行采访，2 人均为男生”为事件 A，
所以 ………………………………………………………………10 分
（3）因为用样本估计总体，所以任取 1 人时长在[50，60）的概率为 ，随机变
量 X 服从二项分布，即 ，X 的可能取值为 0，1，2，3，……………………12 分
所以 X 的分布列如下表
…………………………………………………………
X 0 1 2 3
………………………………………15 分
P
…………………………
……………………………………………17 分
19．(17 分) 解析（1）解：函数 y= 的定义域为（ 1，+∞）．
当 =1 时， ，所以 ，…………………………………2 分
易知 在（ 1，+∞）上单调递增，且 =0．…………………………………………3 分
则在（ 1，0）上 ＜0，在（0，+∞）上 ＞0，
从而 在（ 1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．……………………………5 分
（2）证明： ，所以 ，且 ≥1．
设 = ，则 ，…………………………………………………6 分
所以 在（ 1，+∞）上单调递增，即 在（ 1，+∞）上单调递增，
由 ，得 ，………………………………………………………8 分
设 =（x+1）ex， =（x+2）ex＞0，则 在[ 1，+∞）上单调递增且 =0．则当 ∈[1，+∞）时，都恰有一个 ＞ 1，使得 ，
且当 ∈（ 1， ）时 ＜0，当 x∈（x ，+∞）时 ＞0，
0
因此 总有唯一的极小值点 ．……………………………………………………………11 分
所以 ，从而 = ln（ +1） ，
极小值 ……………………………………13 分
由 ln = ln（ +1） ，可得当 ∈[1，+∞）时， ln（ +1） ≥ 0，
即 ln（ +1）+ ≤0，ln（ +1）+ 随 增大而增大，易得 ∈（ 1，0]．………14
分
令 t= +1，则 t ∈（0，1]，设 ，φ（1）=1， ，
所以φ（t）在（0，1]上单调递减，且φ（1）=1，从而φ（t）≥1．
即 ≥1．……………………………………………………………………………………17 分
