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襄阳四中 2024 级高二年级上学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 过直线 与 的交点，且与直线 垂直的直线
的方程为 （ ）
A. B. C. D.
3. 一组正数 的平均数为 ，则 的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
4. 若 满足 ，则 的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
5. 若 既在直线 上，又在以 为焦点的椭圆 上，则椭圆 的离心率的最
大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 我们知道，空间中，过点 且一个法向量为 的平面，其方程可以写成
，则点 到平面 的距离 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7. 已知正四棱柱 中， (点E在棱BB 上)， ，则该四棱柱
1
的
被过点 ， ， 平面截得的截面面积为
A. B. 36 C. D.
8. 若 ，向量 满足 ，则 的最大值为 （ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 与 相互独立
B. 若 与 互斥，则
C. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度
D. 数据 的第 百分位数为
10. 设椭圆 的左，右焦点分别为 ，点 是椭圆 上的动点，则下列结论正确的是（
）
A. 离心率
B. 的最小值为
C. 的大小可以是
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学科网（北京）股份有限公司D. 满足 为等腰三角形的点 有 个
11. 如图，在长方体 中， ， 分别是棱 的
中点，点 在侧面 内，且 ，则（ ）
A. 的最小值是
B.
C. 三棱锥 的体积是定值
D. 三棱锥 的外接球表面积的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从集合 中任取两个不相等正数 ，则 成立的概率是__________.
13. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点 ，若 （ 且
的
），则点 轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．
在平面直角坐标系中，已知 ，直线 ，直线 ，
若 为 的交点，则 的最小值为_______．
14. 已知椭圆 ： 两的条弦 相交于点 （点 在第一象限），且
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学科网（北京）股份有限公司轴， 轴.若 ，则椭圆 的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知 顶点 ，边 上中线 所在直线方程为 ，边 上 的高所在直线
方程为 ．
（1）求边 所在直线方程；
（2）求点 和点 的坐标．
16. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊
球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如
图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中 的值，并估计考核得分的第60百分位数:
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分
配)，从得分在 内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自 和
的概率:
（3）现已知直方图中考核得分在 内的平均数为75，方差为6.25，在 内的平均数为85，方
差为0.5，求得分在 内的平均数和方差.
17. 如图，四边形 中， ， ， ， ， ， 分别在 ，
上， ，现将四边形 沿 折起，使 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，在折叠后的线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的
值；若不存在，说明理由.
（2）求三棱锥 的体积的最大值，并求出此时点 到平面 的距离.
18. 在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线 ， 的夹角为 ，斜率分别为
， ，则 .求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆 的左右
焦点分别为 ， ， 为 上一点，则 在 点的切线 的方程为 椭圆的光学
性质：自 发出的光线照射到点 处，被切线 反射，反射光线一定经过点 ．
（1）证明椭圆的光学性质；
的
（2）如图，过 直线交椭圆 于 ， 两点 非左右顶点 求 面积的最大值；
19. 在平面直角坐标系中，定义 为两点 ， 的“切比雪
夫距离”，又设点P及直线 上任意一点Q，称 的最小值为点P到 的“切比雪夫距离”，记作
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（1）已知点 和点 ，直线 ： ，求 和 .
（2）已知圆C： 和圆E： .
（i）若两圆心的切比雪夫距离 ，判断圆C和圆E的位置关系；
（ii）若 ，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且 ，过点M任作一条斜
率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线 为 ，直线 为 ，证明： .
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