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辽宁省辽西重点高中 2025~2026 学年度上学期高二期中考试
数学试题
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在棱长为 的正四面体 中，若 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基底法结合空间向量数量积的运算律可求 的值.
【详解】设正四面体的棱长为 .
由正四面体结构性质可知 ，
而
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
故选：B.
2. 设空间向量 ．若 不能构成空间向量的一组基底，则（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可设 ，利用坐标运算得出方程组，根据其解的情况来判断.
【详解】当 时， ，
假设 ，显然无解，
则 不共面，A不符合题意；
假设 ，
则 ，
当 时，方程组为 ，，解得 ，
故 ，则 共面，B符合题意；
当 时，方程组为 ，无解，
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学科网（北京）股份有限公司故 不共面，可构成空间向量的一组基底，C不符合题意；
当 时，方程组为 ，无解，
故 不共面，可构成空间向量的一组基底，D不符合题意.
故选：B．
3. 已知空间向量 ， ， 共面，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量的共面定理，代入计算，即可得到结果.
【详解】由 共面可知，存在实数 使得 ，
即 ，
所以 ，解得 .
故选：A
4. 如图所示，已知直四棱柱 中，底面 是边长为2的菱形，且 ，
， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则异面直线 ， 所成角的余弦值为（
）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系求异面直线 ， 所成角的余弦值即可.
【详解】解：连接 ， ， ，并且 ， 的中点为 ，
因为底面 是菱形，所以 ，
又因为四棱柱 为直四棱柱，
所以 底面 ，
又因为 ，所以 底面 ，
所以 ， .
以点 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（如图所示）.
则 ， ， ， ， ，
于是 ， ， ，
所以 ， ，
设异面直线 ， 所成角为 ，
则 .
故选：D
【点睛】
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学科网（北京）股份有限公司5. 直角坐标系 中直线 上的横坐标分别为 的两点A、B，沿 轴将坐标平面 折成大小
为 的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出点 的坐标，利用空间向量基本定理可得 ，再结合模长及数量积
运算律求出 的余弦值即可.
【详解】直线 上的横坐标分别为 的点 ，
给定的图形中， 轴于点C， 轴于点D，则 ，
又 ， ，
，则
，解得 ，而 ，所以 .
故选：A.
6. 若直线 在 轴上的截距为 ，且它的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，则
的值为（ ）
.
A B. 1 C. D. 7
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据给定条件，利用截距求出 ，再利用倾斜角的关系，结合斜率与二倍角公式列式求出 即可.
【详解】由直线 在 轴上的截距为 ，得 ，解得 ，
由直线 的倾斜角为 ，得 ，直线 的倾斜角为 ，
因此 ，解得 ，
所以 .
故选：A
7. 已知直线 与圆 交于不同的两点 ，若 存在最小
值且最小值不大于 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据 存在最小值分析出 ，再根据 最小值不大于 列出关于 的不等式即
可求解.
【详解】将直线 变形为 ，
则可知直线恒过定点 ，且 ，
若 ，则直线可和圆 相切，如图所示，此时 重合，若直线与圆 交于不同的两点 ，
则 可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故 ，
即 在圆 内，直线与圆 一定交于两点 ，此时对于任意给定的半径 ，
根据圆的性质，当 时，弦 最短， 最小，此时弦长 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，当 时，此时 ，
由题意，已知 最小值不大于 ，则最小值对应的弦 满足 ，
即 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .
故选：C.
8. 已知双曲线 ， 、 为双曲线上关于原点对称的两点， 为双曲线上的点，
记直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线的对称性和直线的斜率公式，结合已知条件 ，可得出 与 的关系，进而
求出双曲线的离心率.
【详解】设 ， ，又 、 为双曲线上关于原点对称的两点，则 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又点 、 在双曲线上，得 ，两式相减得 ，
可得 ，因为 ，所以 ，
因此 .
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若空间三个向量 ，满足 ，则向量 共面
B. 若向量 是空间一组基底，则 也是空间的一组基底
C. 在四面体 中，若 ，则
D. 已知 四点共面，对空间任意一点 ，若 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用空间向量共面的基本定理判断A、B；应用向量数量积的运算律转化已知条件判断C；由空
间向量共面的推论判断D.
【详解】A：由题设 ，根据空间向量的共面定理知向量 共面，对；
B：由 ，即 共面，故不能构成基底，错；
C：由 ，
又 ，则 ，对；
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学科网（北京）股份有限公司D：由 四点共面，对空间任意一点 ，则有 ，
所以 ，则 ，错.
故选：AC
10. 关于曲线 ，下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 关于直线 对称
B. 曲线 围成的区域面积小于2
C. 曲线 上的点到 轴、 轴的距离之积的最大值是
D. 曲线 上的点到 轴、 轴的距离之和的最大值是
【答案】ABC
【解析】
【分析】代入对称点判断曲线对称判断A,找到曲线围成的面积小于 围成的面积判断B,根据基
本不等式得出乘积的最大值判断C,应用基本不等式求和的最大值判断D.
【详解】对于方程 ，以 代替 ，同时以 代替 方程不变，所以曲线 关于 对
称，故A正确；
对于B，设 分别为 与 图象上第一象限内的点， ，
则 ，所以 在 的下方，
所以曲线 围成的面积小于 围成的面积， 围成的面积为 ，故B正确；
对于C，因为 ，等号仅当 时成立，
所以曲线 上的点到 轴、 轴的距离之积 ，故C正确;
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学科网（北京）股份有限公司对于D，因为 ，所以 ，
等号仅当 时成立，所以曲线 上的点到 轴、 轴的距离之和的最小值为 ，故D错误.
故选:ABC.
11. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，上顶点 ，且 °．
为椭圆 上任意一点（异于左，右顶点），直线 分别与椭圆 交于 ，则（ ）
A. 椭圆 的离心率为
B. 内切圆的半径为
C. △ 的外接圆方程为
D. △ 与△ 内切圆半径之和的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知条件直接求得 得离心率判断A，得椭圆标准方程，解方程组求出交点 坐标得直角
的边长后可求得其内切圆半径判断B，同样由三点坐标求出外接圆方程判断C（可用 点的坐标
代入判断），利用 面积的两种不同计算方法可求得内切圆半径与 点坐标的关系，结合韦达定
理可求出两内切圆半径和的最大值，判断D．
【详解】A选项，由题意 ， 是等腰直角三角形，因此 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司离心率为 ，A正确；
B选项，由上知 ， ，直线 的方程为 ，椭圆方程为 ，
由 ，解得 或 ，∴ ，
， ，而 ，
则 ，即 为直角三角形，
∴△ 内切圆的半径为 ，B正确；
C选项，由题意设△ 的外接圆圆心坐标为 ，则
，解得 ，
即圆心坐标为 ，半径为 ，
圆方程为 ，C错；
D选项，设 ， 的内切圆在三边上的切点分别为 ，如图，
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学科网（北京）股份有限公司一方面， ，
另一方面，记 的内切圆半径为 ， ，
所以 ， ，事实上，不论 点在 轴上方还是下方，都有
与 同号，所以 ，从而 ，
则 的内切圆半径为 ， 内切圆半径为 ，
△ 与△ 内切圆半径之和为 ，
设直线 方程为 ，
由 得 ，
，
，
所以当 ，即 时， 取得最大值 ，D正确，
故选：ABD．
【点睛】结论点睛：设 是椭圆 上的点， 是椭圆焦点， 与 不共线，
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学科网（北京）股份有限公司的内切圆圆心为 ，半径为 ，椭圆离心率为 ，
则 ， ， ，
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，在四面体ABCD中， ， ，若 ， ， ， ，
则平面ABD与平面CBD的夹角为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】由 ，两边平方进行求解．
【详解】设向量 的夹角为 ，则 ，
由题意可得： ，
因为 ，
则 ，
即 ，解得 ，
由 ，可得 ，
因为 ， ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司故平面 与平面 的夹角为 .
故答案为： .
13. 直线 关于直线 对称的直线 的方程是________.
【答案】
【解析】
【分析】法1，求出直线 与 的交点坐标 ，利用直线 上的点 到直线 与 的距离相等，列
式计算得解；法2，利用直线关于特殊直线对称结论求解.
【详解】（方法1）联立 ，得两直线的交点为 ，
设直线 的方程为 ，
直线 上的点 到直线 与 的距离相等，即 ，
解得 或 （舍去），故 的方程是 .
故答案为： .
（方法2：直线关于特殊直线对称）利用直线 关于直线 的对称直线为
.
所以 关于直线 对称的直线 为： ，即
.
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知圆 ，椭圆 ，点M，N分别在圆 和椭圆 上，则线段 长
度的最小值为_____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】设点 ，利用两点间距离公式计算 ，代入 ，将其化
成关于 的二次函数，利用其性质求得线段 长度的最小值，代入 计算即得.
【详解】圆 圆的心坐标为 ，半径 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
又点 在椭圆 上，所以 ，即 ， ，
所以 ，
则当 时， 取得最小值 ，结合圆的几何性质可得 .
故答案为： .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 已知向量 ， .
（1）求 的值；
（2）求向量 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解；
（2）根据向量夹角的坐标表示求解.
【小问1详解】
， ，
， ，
.
【小问2详解】
设 与 的夹角为 ，则 ，
， ，
， ，
，
，
向量 与 夹角的余弦值为 .
16. 如图，在三棱柱 中， 是正三角形，侧面 是边长为2的菱形， 是 中
点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）若 平面 ，判断直线 与平面 的位置关系，并加以证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）直线 与平面 相交，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证.
（2）根据给定条件，以点 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用空间位置关系
的向量证明推理得证.
【小问1详解】
在三棱柱 中，连接 ，设 ，连接 ，则 是 的中点，
由 为 的中点，得 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
直线 与平面 相交．
在三棱柱 中，取 的中点 ，连接 ，由 为 的中点，得 ，
由 为正三角形，且 为 的中点，得 ．
由 平面 ，得 平面 ，于是直线 两两垂直，
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学科网（北京）股份有限公司以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，
而 ，且 ，则 ，
由 ，得 与 不垂直，即向量 不平行于平面 ，
因此 平面 ，且 与平面 不平行，
所以直线 与平面 相交.
17. 已知 ，点P在y轴上，满足 ．
（1）求点P的坐标；
（2）若动点Q与 的距离的比为 ，求动点Q的轨迹方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由垂直关系转化为数量积为 ，设出 点坐标 ，由坐标运算求解 可得；
（2）设动点 ，由已知距离比关系，利用两点间距离公式坐标代入化简整理可得轨迹方程.
【小问1详解】
由点P在y轴上，设 ，则 ，
由 ，则 ，
即 ，解得 ，
故点P的坐标为 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
设 ， ，
由 ，得 ，即 ，
则 ，
，
则有
化简得 ，即 .
则动点Q的轨迹方程 .
18. 如图所示，直角梯形 中， ， 垂直 ， ，四边形
为矩形， ，平面 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）存在，线段 的长为
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，利用空间向量证明线面平行；
（2）求平面 的法向量，利用空间向量求面面夹角的余弦值，进而可得正弦值；
（3）设 ，由线面角的向量求法求出 ，得到 坐标，求出 长度.
【
小问1详解】
取 为原点， 所在直线为 轴，过点 且平行于直线 的直线为 轴， 所在直线为 轴建立空
间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
可得 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
设 ，则 ， ，可得 ，
又因为 ，则 ，可得 .
且 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量为 ，则 ，
设 ，则 ， ，可得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
可得 ，
所以平面 与平面 夹角正弦值为 .
【小问3详解】
设 ，
则 ，可得 ，
因为平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
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学科网（北京）股份有限公司综上 ，即在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，此时线段
的长为 .
19. 若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，
正方形A为曲线C的一个“切立方”.
（1）圆 的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直
线的方程：
（2）已知正方形A的方程为 ，且正方形A为双曲线 的一个“切立方”，求该双曲线
的离心率e的取值范围；
（3）设函数 的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.
【答案】（1） ，
（2）
（3）曲线C存在切立方，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方” 的四条边所在直线的方程即可；
（2）根据“切立方”的定义，联立 与双曲线 ，由于相切，则 ，根据 ，
即可求出双曲线的离心率 的取值范围；
（3）设第一个切点为 ，则切线为 ，根据函数 的图象关
于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为 ，同理求出第三条和第四条
切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可.
【小问1详解】
根据“切立方”的定义，设直线方程 ， 可得
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学科网（北京）股份有限公司， ，
，
， ；
【小问2详解】
由正方形A的方程为 ，则 ，
由正方形A为双曲线 的一个“切立方”，
则 ，联立整理得 ，
则 ，
整理得 ，即 ，
由图可知 ，则 ，
所以
【小问3详解】
由曲线 ，设切点为 ，
联立 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，
即 ，
点 在曲线和直线上，整理得 ，
则过该点的一条切线方程为 ，
即 ，
由函数 为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C是存在“切立方”，
则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为： ，
设第三个切点为 （ ），同理可得另两条切线为 ，
若存在正方形，即 ，
由此可设 ， ，
代入消元可得 ，
设 ，
由 ， ，且在 上，函数图象连续不间断，
则由零点存在性定理可知 在 上有解，
因此曲线C存在切立方.
【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明.
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学科网（北京）股份有限公司
