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龙东十校联盟高二学年度上学期期中考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C A D B D B
1.【解析】数据排序 ， ，第 位与第 位平均数为 ，选D
2.【解析】焦点在 轴的双曲线渐进方程为 ，选C.
3.【解析】由事件的独立性可知，密码被破译的概率为 ，选C.
4.【解析】 ，选A.
5.【解析】因为 ，所以 ，所以 ，选D.
6.【解析】椭圆中 ，设右焦点为 ，则 为正三角形，线段 的垂直平分
线过 ，有 ，所以 的周长为 ，选B．
7.【解析】圆心 到 距离为 ，弦长 ， ，由两圆相离知，两
圆内含或外离，由 或 ，选D.
8. 【 解 析 】 由 题 ， 设 ， 由 双 曲 线 定 义
， 得 ， 所 以 ， ， 在 中
， ，选B．
二、多项选择题：
题号 9 10 11
答案 BD ACD ABC
9.【解析】样本空间
A. ，错误；B. ，正确；
C. ，错误；
D. ，正确.
选BD.
10.【解析】
A. 设 ，则 整理可得 ，正确；
B. 圆 圆心 ，半径 ，圆心到直线 的距离 ，所以圆 上点到直线
最小距离为 ，错误；
C. 设 ，则 ，解得 ，正确；
D. ， ， ，正确.
故选ACD.
11.【解析】
A. 设 ，因为点 到点 的距离是点 到直线 距离的一半，所以 ，化
简可得 ，正确；
B. 联立方程组 ，可得 ，解得 ，故存在点 ，所以直线
是“最远距离直线”，正确；
C. 设椭圆的右焦点为 ，由椭圆定义得 ，正确；D. 圆 圆心为 ，半径为 ，易得点 的轨迹与圆 交于点 ，错误.
故选ABC.
三、填空题：
题号 12 13 14
答案
12.【解析】 的标准差为 ，则其方差为 ，则 的方差为 .
13.【解析】直线 过 且存在斜率，圆 圆心 ,当
时，截得的弦长最短，且弦长为 .
14.【解析】蒙日圆的标准方程为 ,不妨设 为蒙日圆与 轴正、负半轴交点，
为蒙日圆与 轴正、负半轴交点，可知 .
则直线 的方程为 ，
由 ，消 得到 ，
令 ， 解 得 ，
，
所以 ，所以 ，所以四边形 的面积为 ，
易知四边形 为正方形，且 ，所以四边形 的面积为 ，
所以四边形 与四边形 的面积的比值为 ,
因 为 椭 圆 离 心 率 为 ， 所 以 ， 得 ， 即 ， 所 以
.
四、解答题:
15.（本小题满分13分）
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设传统文化题为 ，数学历史题为 ，甲从 道题中不放回抽取 道题，
样本空间 ， ， ……………………3分
设 “恰好 道传统文化题和历史文化题”， ， ，
由古典概型公式得 ，
所以，甲抽到的 道题中恰好是 道传统文化题和 道数学历史题的概率为 . ……………………6分
（2）设 “甲答对 道题”（ ），
； ； ……………………8分
设 “乙答对 道题”（ ），
； ， ……………………10
分设 “甲、乙两人答对题目总数不少于 道”
由两人答题是否正确相互独立，有
所以，甲、乙两人答对题目总数不少于 道的概率为 . ……………………13分
16.（本小题满分15分）
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）一至六组的频率分别为 ，
所以，平均数为 .…………3分
由图可知，众数为 .
因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为 分，众数为 分.……5分
（2）前 组的频率之和为 ，
前 组的频率之和为 ，
第 %分位数落在第 组,设为 ，则 ，解得 .
“人工智能科普达人”的成绩至少为 分. ……………………10分
（3） )的频率为 ， )的频率为 ，
所以 的频率与 的频率之比为
的频率与 的频率之比为
设 内的平均成绩和方差分别为 ，
依题意有 ，解得 ，
，解得 ，
所以 内的平均成绩为 ，方差为 . ……………………15分
17.（本小题满分15分）【答案】（1） ；（2） 和 .
【解析】 （1） 由题可知 ，该方程表示圆，则 ，
即 ，解得 ,又由
则实数 的取值范围为 . ……………………5分
（2）令 ，
函数开口向下，对称轴 ，
当 时，圆 的面积取得最大值，此时圆的方程为 ，………………………7
分
当切线的斜率不存在时， 满足题意； ……………………9分
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 ．
kx−y−4k−4=0
(2,−1)
圆心 到切线的距离等于半径长，即 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 ,
综上所述，所求切线方程为 和 . ……………………15分
18.（本小题满分17分）
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由题意，椭圆焦点在 轴上，且 ，则 ，所以椭圆的标准方程为 . ……………………4分
（2）由题可知直线 和 与 轴都不平行，
设直线 ： ，联立 ，消去 得： ，
设 ，则 . ……………………10分
设 ，用 代替 得 .
所以直线 的方程为 ,
令 ，得 ,
所以直线 过定点 . ……………………17分
19.（本小题满分17分）
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析.
【解析】（1）由题意知 ，显然点 在直线 的下方，
因为直线 为 的等线，所以 ，
解得 ，所以 的方程为 . ……………………4
分（2）设 ，切线 ，代入 得:
，
故 ，
该式可以看作关于 的一元二次方程 ，
所以 ，即 方程为 ，当 的斜率不存在时，也成立.
渐近线方程为 ，不妨设 在 上方，
联立得 ，故 ，
所以 是线段 的中点，因为 到过 的直线距离相等，
则过 点的等线必定满足: 到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点 ，即 的方程为 ，
由 ，解得 ，故 .
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 . ……………………10
分
（3）设 ，由 ，所以 ，故曲线 的方程为
由（*）知切线为 ，也为 ，即 ，即
易知 与 在 的右侧， 在 的左侧，分别记 到 的距离为 ，
由（2）知 ，
由 得
因为 ，
所以直线 为 的等线 . ……………………17分
