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2024—2025 学年度上学期第一次月考
高二数学试题
本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共3页.考试时间为20分钟.考试结束
后，只交答题卡.
第I卷客观题
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 若方程 表示圆，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
3. 已知直线 与圆 交于不同的两点 ，O是坐标原点，且有
，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. “ ”是“直线 和直线 平行且不重合”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
5. 已知圆 关于直线 对称，则 的最小值是（
）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 4
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学科网（北京）股份有限公司6. 已 知 ， 直 线 ： 与 ： 的 交 点 在 圆 ：
上，则 的最大值是（ ）
.
A B. C. D.
7. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 是坐标原点， 是椭圆 上一点，
与 轴交于点 ．若 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
.
A 或 B. 或 C. 或 D. 或
8. 在平面直线坐标系中,定义 为两点 的“切比
雪夫距离”，又设点P及 上任意一点Q,称 的最小值为点P到直线 的“切比雪夫距离”记作
给出下列四个命题:（ ）
①对任意三点A、B、C，都有
,
②已知点P(3 1)和直线 则
③到原点的“切比雪夫距离”等于 的点的轨迹是正方形；
④定点 动点 满足 则点P的轨迹
与直线 ( 为常数)有且仅有2个公共点．
其中真命题的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
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学科网（北京）股份有限公司题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 过 两点的直线方程为
B. 已知直线l过点 ，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为
C. “直线 与直线 垂直”是“ ”的必要不充分条件
D. 直线 的距离为
10. 已知 ， 是圆O： 上两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若点 到直线 的距离为 ，则
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则 的最大值为
11. 已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上任意一点（不在 轴上），
外接圆的圆心为 ，半径为 ， 内切圆的圆心为 ，半径为 ，直线 交 轴于点 ，
为坐标原点，则（ ）
A. 最大时， B. 的最小值为
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学科网（北京）股份有限公司C. D. 的取值范围为
第II卷主观题
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 与圆 同圆心，且过点 的圆的方程是________.
13. 圆 与圆 的公共弦所在直线被圆 ：
所截得的弦长为__________．
14. 如图，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 作椭圆的切线，切点为T，若M为
x轴上的点，满足 ，则点M的坐标为______.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. （1）已知直线 经过点 且与直线 垂直，求直线 的方程.
（2）已知直线 与 轴， 轴分别交于 两点， 的中点为 ，求直线 的方程.
16. 为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度 为32米，拱桥顶点C
离河面8米，
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学科网（北京）股份有限公司的
（1）如果以跨度 所在直线为 轴，以 中垂线为 轴建立如图 直角坐标系，试求出该圆形拱桥所
在圆的方程；
（2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少
要 米．问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由．
17. 已知椭圆 的焦点为 和 ，且椭圆 经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 两点，则在 轴上是否存在定点 ，使得 的值为
定值？若存在，求出点 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
18. 已知平面直角坐标系上一动点 到点 的距离是点 到点 的距离的 倍.
（1）求点 的轨迹方程；
（2）若点 与点 关于点 对称，点 ，求 的最大值和最小值；
的
（3）过点 直线 与点 的轨迹 相交于 两点，点 ，则是否存在直线 ，使 取得最
大值，若存在，求出此时 的方程，若 不存在，请说明理由.
19. 已知椭圆 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，经过点
且倾斜角为 的直线 与椭圆交于 、 两点（其中点 在 轴上方）， 的周长为
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学科网（北京）股份有限公司8．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，将平面 沿 轴折叠，使 轴正半轴和 轴所确定的半平面（平面 ）与 轴负半轴
和 轴所确定的半平面（平面 ）互相垂直．
①若 ，求异面直线 和 所成角的余弦值；
②是否存在 ，使得折叠后 的周长为 ？若存在，求 的值；若不存在，请说
明理由．
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