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2024-2025 学年高二上学期开学检测
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写
在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.）
1. 若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知正方体 的棱长为 2，E，F 分别是棱 AD， 上的动点，若正方体
的外接球的球心是 ，三棱锥 的外接球的球心是 ，则 的最大值是（
）
A. B. C. D.
3. 若 ，则 （ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
4. 底面圆周长为 ，母线长为4的圆锥内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，若将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
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学科网（北京）股份有限公司函数 的图象，若关于 的方程 在 上有且仅有两个不相等的实根，则实数 的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆锥 在正方体 内， ，且 垂直于圆锥 的底面，当该圆锥的底
面积最大时，圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
8. 三棱锥 满足 ，二面角 的大小为 ， ，
， ，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二.多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.）
9. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 若 的最小正周期是 ，则
B. 当 时， 的对称中心的坐标为
C. 当 时，
D. 若 在区间 上单调递增，则
10. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到
如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位
于 内的学生成绩方差为12，成绩位于 内的同学成绩方差为10．则（ ）
.
A
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
11. 如图所示，在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角形， ，点
的
为侧棱 上 动点， 为线段 中点.则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 存在点 ，使得 平面
B. 周长的最小值为
C. 三棱锥 的外接球的体积为
D. 平面 与平面 的夹角正弦值的最小值为
三.填空题（共3小题，每题5分，共15分.）
的
12. 已知某圆锥 体积为 .侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的体积为__________
13. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是
什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为
，相应的双曲正弦函数的表达式为 .设函数 ，若实数m
满足不等式 ，则m的取值范围为___________.
14. 在四棱锥 中，底面 ABCD 是平行四边形，E 是棱 PA 的中点，F 在棱 BC 上，满足
，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则 的值为______．
四.解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 若函数 和 的定义域相同，值域也相同，则称 和 是"同域函数".
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学科网（北京）股份有限公司是
（1）判断函数 与 否为"同域函数"，并说明理由；
（2）若函数 和 ，且 是"同域函
数"，求 的值.
16. 如图，在直四棱柱 中，底面 是边长为 的菱形， ， ，
， 分别为 ， 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求四棱柱 被平面 截得的截面周长；
（3）求直线 与平面 所成角的正切值.
17. 已知 .
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 ， ，求满足不等式 的x的取值范围.
18. 某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷
调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照 ， ，…， 分成5
组，制成如图所示频率分布直方图.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的中位数、平均数；
（3）已知满意度评分值在 内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为 的人中
按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率.
19. 《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得
两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵 中， ， ，
， ， 为棱 的中点， 为棱 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
的
（2）求二面角 正切值；
（3）求 与平面 所成角的正弦值．
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