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襄阳四中 2024 级高二上学期 10 月月考数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据虚数单位 的周期性求出 的值，再通过复数除法运算求出 ，最后根据共轭复数和虚
部的概念，即可确定 的虚部.
【详解】由 ，则 ，
所以 ，故 的虚部为 .
故选：D
2. 李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸
取的颜色各不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合分步乘法计数原理，利用古典概型概率公式求解概率即可.
【详解】每次摸取有3种颜色选择，有放回地摸取3次，
根据分步乘法计数原理，总基本事件数为 ，
3次摸取的颜色各不相同，即从3种颜色中选3种排列，
第1次有3种选择，第2次不能与第1次相同有2种选择，第3次不能与前两次相同有1种选择，符合条件的事件数为 ，所以所求概率为 .
故选：B.
3. 直线 的倾斜角范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，设直线的倾斜角为 ，根据直线方程，求得 ，即可求解.
【详解】由题意，设直线的倾斜角为
直线 的斜率为 ，
即 ，又由 ，所以 ，
故选B.
【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运
算能力，属于基础题.
4. 若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为
，则（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量
共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断 C；
根据法向量垂直则面面垂直可判断D.
【详解】对于A，由 ，得 ，则 ，解得 ，故A错误；
对于B，由 ，得 ，则 ，解得 ，故B错误；
对于C，由 ，得 ，则 或 ，故C错误；
对于D，由 ，得 ，则 ，故D正确.
故选：D.
5. 公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面
体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作
（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相
同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 180
【答案】B
【解析】
【分析】先分析得出正二十面体的面、顶点以及棱的个数，进而结合图象得出足球截面体各个面的性质，
即可得出答案.
【详解】易知正二十面体有20个面，每个面都是三角形，每个顶点都是5条棱的交点，每条棱都是两个面
的公共边，
所以，正二十面体的棱数为 ，顶点的个数为 .
由图象可知，正二十面体的每个顶点截角后为一个正五边形，即每个顶点处增加了5条棱；原来的30条棱数量不变，所以，足球截面体的棱数为 .
故选：B.
6. 已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为 ，平均数为 ，随机删去其任一轮的
成绩，得到一组新数据，记为 ，平均数为 ，对新数据和原数据，下面说法正确的是
（ ）
A. 两组数据的极差不可能相等
B. 两组数据的中位数不可能相等
C. 若 ，则两组数据的方差不可能相等
D. 若 ，两组数据的第 百分位数可能相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据极差、中位数、方差、百分位数的求法，通过举反例或对计算公式、所得数据的分析判断各
项的正误.
【详解】A，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差等于原数据的
极差，A错误；
B，不妨设 ，当 时，若随机删去的成绩是 ，此时新数据的中位数
等于原数据的中位数，B错误；
C，若 ，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，此时方差会变大，
C正确
D，在按从小到大的顺序排列的 个数据中 ，
此时原数据的 分位数为第三个数和第四个数的平均数，即 ，
删去一个数据后的 个数据，按从小到大的顺序排列，可得 ，此时新数据的 分位数为第三个数，即 或 ，而 ，则 ，
显然新数据的 分位数不等于原数据的 分位数，D错误．
故选：C
7. 已知圆 ： 和圆 ： ，若点 在两圆的公共弦
上，则 的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由两圆方程可得公共弦方程 ，由点在弦上有 ，进而利用基本不等式求最小值
即可.
【详解】圆 ： 和圆 ： 两个方程相减，即可得到两圆的公共弦：
，
又点 在两圆的公共弦上，即 ，
则
当且仅当 ，即 ， 时等号成立 ，即 的最小值为
故选：D.
8. 如图，在直角 中， ， ，点 是边 上异于端点的一点，光线从点 出发经边反射后又回到点 ，若光线 经过 的重心，则 的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意建立直角坐标系，结合光的反射原理，依次求出点 关于直线 ， 轴的对称点 ，
并由 四点共线，即可得到直线 的方程，进而解出点 的坐标并求得线段 的长度，再
运用点到直线的距离公式求得点 到直线 的距离，最后代入三角形的面积公式即可得解.
【详解】根据题意，以点 为原点，以 ， 分别为 轴， 轴建立直角坐标系，
则 ，所以直线 的方程为 ， 的重心为 .
设点 ，其中 ，则点 关于直线 的对称点 ，
满足 ，解得 ，即 ，易得点 关于 轴 的对称点 ，由光的反射原理可知 四点共线，
直线 的斜率 ，所以直线 的方程为 ，
由于直线 经过 的重心 ，代入得 ，
化简得 或 （舍去），故点 ，点 ，点 ，
直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
所以 ，
又点 到直线 的距离为 ，
所以 .
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 过点 且在 轴上的截距是在 轴上截距的2倍的直线的方程为
B. 向量 是直线 的一个方向向量C. 若直线 与 平行，则 与 的距离为
D. 圆 与圆 有两条公切线
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据点的坐标设出直线方程，求截距，列出方程组求解判断A，根据直线方向向量的概念判断
B，利用两平行线间的距离公式判断C，根据圆与圆的位置关系判断D.
【详解】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为 ，设直线方程为 ，
令 解得 ，令 解得 ，
因为该直线在 轴上的截距是在 轴上截距的 倍，
所以 ，解得 或 ，
所以直线方程为 或 ，A错误；
选项B：直线 的斜率为 ，方向向量为 ，当 时，方向向量为 ，
B正确；
选项C：因为直线 与 平行，所以 ，
由 得 ，
则直线 与直线 之间的距离 ，C正确；
选项D：由题意圆 圆心为 ，半径 ，
圆 圆心为 ，半径 ，
因为 ， ，
所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D正确；故选：BCD
10. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动 他位于河东岸，在靠
近河岸不远处有一小湖，他于点 处测得河对岸点 位于点 的南偏西 的方向上，由于受到地势的限
制，他又选了点 ， ， ，使点 ， ， 共线，点 位于点 的正西方向上，点 位于点 的正东
方向上，测得 ， ， ， ，并经过计算得到如下
数据，则其中正确的是（ ）
A. B. 的面积为
C. D. 点 在点 的北偏西 方向上
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；
对 于 ， 先 求 出 ， ， ， 再 根 据
， ，即可判断；
对于 ，根据三角形的面积公式求解即可，即可判断；
对于 ，在 中，由正弦定理 ，即可判断；
对于 ，过点 作 于点 ，易知 ，即可判断．
【详解】对于 ，因为 ，点 位于点 的南偏西 的方向上，
所以 ， ， ，
又 ， ， ， ，
在 ， 中 ， ，，所以 ，故A正确；
对于 ， 的面积为 ，故B错误；
对 于 ， 在 中 ， 由 正 弦 定 理 ， 得 ， 解 得
，故C正确；
对于 ，过点 作 于点 ，易知 ，所以 ，故D错误，
故选： ．
11. 如图，圆锥 内有一个内切球 ， 为底面圆 的直径，球 与母线 ， 分别切于点 ，
.若 是边长为2的等边三角形， 为底面圆 的一条直径（ 与 不重合），则下列说法
正确的是（ ）A. 球 的表面积为
B. 圆锥 的侧面积为
C. 四面体 的体积的取值范围是
D. 若 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，正 内切圆即为球 的截面大圆，又正 的边长为2，求出球 的半径 ，
得到球的表面积；B选项，利用圆锥侧面积公式进行求解；C选项，四面体 被平面 截成体积
相等的两部分，设 到平面 的距离为 ，求出正三角形 的边长和面积，求出
；D 选项，动点 的轨迹是圆，可得 ，故
，因此 ，由均值不等式得到 ，故D正确.
【详解】A选项，连接 ，等边三角形 内切圆即为球 的截面大圆，球心 在线段 上，
又等边三角形 的边长为2，所以 ， ，
则球 的半径 ，
所以球 的表面积 ，故A正确；
B选项，圆锥的侧面积 ，故B错误；
C选项，由题意可得四面体 被平面 截成体积相等的两部分，设 到平面 的距离为 ，
球 的半径 ，三角形 为等边三角形，设其边长为 ，
则 ，故 ，
故三角形 的面积为 ，
即 ，故C正确；
D选项，依题意，动点 的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为 ，
，故 ， 是边 ， 的中点，可得 ， ，
，
则有 ，故 ，
又 ，故 ，
即 ，因此 ，
由均值不等式，得 ，即 ，
当且仅当 时取“ ”，故D正确.故选：ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ， 两点到直线 的距离相等，则 _____.
【答案】 或
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式进行求解即可.
【详解】因为 ， 两点到直线 的距离相等，
所以有 或 ，
解得 或 .
故答案为： 或
13. 如图，在 中，已知 边上的两条中线 相交于点
，则 的余弦值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可.
【详解】由题可得， ，，
所以
，
，
，
所以 ，
故答案为: .
14. 在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军．乒乓球决赛采用7
局4胜制．在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在
10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概
率为 ，樊振东发球时马龙得分的概率为 ，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，马龙先发球，
则双方战至 的概率为__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】分析双方战至 时后四局的具体过程，结合独立事件概率乘法公式和互斥事件的概率加法公
式求概率可得结论.
【详解】记甲为马龙，乙为樊振东，在比分为 后甲先发球的情况下，甲以 赢下此局分两种情况：
①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为： .
②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为， ，
乙以 赢下此局分两种情况：
③后四球胜方依次为乙甲乙乙，概率为：
④后四球胜方依次为甲乙乙乙，概率为，
所以，所求事件概率为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播
平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各
类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个
直播商家进行问询交流．
（1）应抽取小吃类商家多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：
元），所得频率直方图如图②所示．
①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；
②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．
【答案】（1）28家 （2）① 487.5元；②280
【解析】
【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；
（2）①先根据频率和为1求出 ，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.
【小问1详解】
根据分层抽样知：应抽取小吃类 家；
【小问2详解】
①根据题意可得 ，解得 ，
设75百分位数为x，
因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．
② ，
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．
16. 已知圆C： ．
（1）过点 向圆C作切线l，求切线l的方程；
（2）若Q为直线m： 上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求 的最小值．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离
等于半径求得参数值；
（2）确定直线与圆相离，由切线长公式 最小即可，只要 求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得
切线长的最小值．
【小问1详解】
若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为 ．若切线l的斜率存在，设切线l的方程为 ，即 ．
因为直线l与圆C相切，所以圆心 到l 距离为2，即 ，解得 ，
的
所以切线l的方程为 ，即 ．
的
综上，切线l 方程为 或 ．
【
小问2详解】
圆心 到直线 的距离为 ，直线m与圆C相离，
因为 ，所以当 最小时， 有最小值．
当 时， 最小，最小值为 ，
所以 的最小值为 ．
17. 在三棱柱 中，已知 ， ，点 在底面 的投影是线段
的中点 .
（1）证明：在侧棱 上存在一点 ，使得 平面 ，并求出 的长；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直性质以及线面垂直判定定理证明可得结论，再利用三角形相似可得 ；
（2）建立空间直角坐标系分别求得两平面的法向量，利用面面角的向量求法计算可得结果.
【小问1详解】
证明：连接 ，在 中，作 于点 ；
因为 ，可得 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ；
因为 可得 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ；
因为 平面 ，所以 ，
而 ， 平面 ，可得 平面 ；
易知 ， ，又 ∽ ，
可得 ，即 ；
即在侧棱 上存在一点 ，使得 平面 ，且 ；
【小问2详解】
由（1）可知 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则 ，
由 ，可得 点的坐标为 ；
由（1）的平面 的一个法向量为 ，
又
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ；
可得 即为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
因此可得 ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
18. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .（1）若 ， ，求边 上的角平分线 长；
（2）若 为锐角三角形，点 为 的垂心， ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出 ；利用余弦定理求出 ，再
由等面积法计算可得答案；
（2）延长 交 于 ，延长 交 于 ，设 ，分别求出 、 ，再根
据三角恒等变换化，结合正切函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为 ， ，
所以 ，
由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，因为 ，所以 ；
又因为 ， ，所以 ，
即 ，解得 ，设 边上的角平分线 长为 ，
则，即 ，
即 ，解得 ，即 边上的角平分线 长为 ；
【小问2详解】
延长 交 于 ，延长 交 于 ，设 ，
所以 ，在 中 ，
在 中， ， ，所以 ，
在 中 ，
同理可得在 中 ，所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 的取值范围为 .
19. 在平面直角坐标系 中，图形 上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为 对于点 和
图形 给出如下定义：点 是图形 上任意一点，若 ， 两点间的距离有最小值，且最小值恰好为 ，
则称点 为图形 的“关联点”.
（1）如图1，图形 是矩形 ，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，求出 的值.在点
， ， ， 中，哪些点为矩形 的“关联点”？
（2）如图2，图形 是中心在原点的正方形 ，其中点 的坐标为 若直线 上存在点
，使点 为正方形 的“关联点”，求 的取值范围；
（3）已知点 ， 图形 是以 为圆心，1为半径的 若线段 上存在点 ，
使点 为 的“关联点”，求 的取值范围.【答案】（1） ， 是关联点；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）先求出 ，再分别求出 ， ， ， 到矩形 中
的点的距离最小值，根据定义判断即可；
（2）根据图形 是中心在原点的正方形 ，其中点 的坐标为 ，写出 ， ， 的坐标，
同时得到正方形的边长和对角线长，从而得到 ，根据直线 与对角线 平行，设 ，按
照 ， ， 且 分别讨论；
（3）求出直线 的方程，由圆 半径为 得到 ，从而点 到圆 上点的距离的最小值为2，则
，分别讨论 ， ，求出临界值从而得到 的取值范围.
【小问1详解】
如图1，图形 是矩形 ，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
矩形 的对角线长为 ，这也是矩形中任意两点距离的最大值，所以 ，
对 ，矩形 中的点 到它的距离最小为1，不满足关联点的定义，
不是关联点；
对 ，矩形 中的点到它的距离最小为 ，满足关联点的定义，是关联点；
对 ，矩形 中的点到它的距离最小为1，不满足关联点的定义，不是关联点；
对 ，矩形 中的点 到它的距离最小为 ，
满足关联点的定义，是关联点；因此 ， 是关联点.【小问2详解】
如图2，图形 是中心在原点的正方形 ，其中点 的坐标为 .
若直线 上存在点 ，使点 为正方形 的“关联点”，
可知正方形的边长为2，对角线长为 ，因此正方形 中， ，
直线 与对角线 平行，
由已知 ， ， ，设 ，
当 时， 或 时，
到正方形 上点的距离的最小值为 ，满足关联点的定义，为关联点；
当 时， 或 时，
到正方形 上点的距离的最小值为 ，为关联点；
当 且 时，如果 在第一象限，
则 到正方形 上点的距离的最小值为 ，
因此有 ，
即 在圆 的一段弧上 .
同理点 还在下列三段圆弧上：
， ，
；直线 与正方形的一条对角线 平行，
直线 与图中正方形 外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关联点；
当直线 与第二象限的一段圆弧相切时， ， （ 舍去）；
同理当直线 与第四象限的一段圆弧相切时， ；
所以 的取值范围是 .
【小问3详解】
由题线段 所在直线方程为 ，即 ，
圆 半径为 ，因此 ，
点 到圆 上点的距离的最小值为2，则 ，
当 时，令点 到线段 所在直线距离为 ，
此时 ，
令 ， ； 当 时，线段 上存在点 ，使点 为 的“关
联点”.
当 时，令 ， ，
令 ， ，
当 时，线段 上存在点 ，使点 为 的“关联点”.如图：
综上可知， 的取值范围是 .
