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2024－2025 学年度（上）期末考试
高 2026 届数学试题
考试时间120分钟 试题总分150分 试卷页数4页
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】 ，由于 为常数，则直线 的倾斜角为90°.
故选：C.
2. 已知等比数列 中， ， ，则 等于（ ）
A. B. C. 6 D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】由等比中项即可求解；
【详解】由 ，可得： ，
又等比数列所有奇数项同号， ，
所以 ，
故选：B
3. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过 的直线 的一
个法向量为 ，则直线 的点法式方程为： ，化简得 .类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点 的平面的一个法向量为 ，则该平面的
方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点法式方程的定义即可求解.
【详解】与平面向量类比，得到空间直角坐标系中，经过点 的平面的一个法向量为
，
则该平面的方程为： ，
化简得 .
故选：A.
4. 方程 所表示的图形是（ ）
A. 一个圆 B. 一个半圆 C. 两个圆 D. 两个半圆
【答案】D
【解析】
【分析】根据 和 ，平方化简可得圆的方程，即可求解.
【详解】由于 ，故 或 ，
当 时，则 ，平方可得 ，表示圆心为 半径为2的右半
圆，
当 时，则 ，平方可得 ，表示圆心为 半径为2的
左半圆，
故选：D
5. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 ，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜
想”等）.已知数列 满足： ， ，则 （ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可
【详解】
,
可知数列 可看作从第8项起以3为周期的数列，
因为 ，
所以 ，
故选：B
6. 已知椭圆 的一个焦点是 ，过原点的直线与 相交于点 ， ， 的面积是
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设直线 方程 ，联立直线与椭圆，根据 的面积求出 ，
利用弦长公式求出弦长.
【详解】如图：由题，不妨设 ，直线 斜率存在，
设直线 方程 ，
联立 ，
，
，
解得 ，
故 ，
故选：D.
7. 数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】由 得出 是以3为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求解.
【详解】由 ，令 ，则 ，
故 是以3为首项，3为公比的等比数列， ，，
故 ，
故选：A.
8. 如图： ， 是双曲线 的左右焦点，以 为圆心的圆与双曲线 的左右两支分别
交于 ， 两点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆 的半径为 ，由条件结合双曲线的定义证明 ，结合双曲线定义及余弦定理列方程
确定 关系，由此可得结论.
【详解】设圆 的半径为 ，则 ，
因为 ，
所以 ，由双曲线定义可得 ，
所以 ，故 ， ， ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，在 中，由余弦定理可得 ，
由已知 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错得0分.
9. 已知数列 和 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是等比数列
B. 可能是等差数列
C. ， ， 是等比数列
D. 是等比数列【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等比数列性质，和等比，等差数列的定义来逐一分析每个选项是否正确.
【详解】对于选项A，设数列 的公比为 （ ），则 （常数）.
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，选项A正确.
对于选项B，当 时，数列 是等比数列，公比为 ，
此时 ，那么 是公差为 的等差数列，所以 可能是等差数列，选项B正确.
对于选项C，设数列 的公比为 （ ）.当 , .
因为等比数列的项不能为 ，所以此时 不是等比数列，选项C错误.
对于选项D，设数列 的公比为 （ ），数列 的公比为 （ ）.
则 （常数），
所以 是以 为首项， 为公比 等比数列，选项D正确.
的
故选：ABD.
10. 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两
点，分别过 ， 作准线的垂线，垂足为 ， ，线段 的中点为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 线段 长度的最小值为
B. 若 ， ，则 为定值
C.D. 若 ，则直线 倾斜角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先求抛物线 的焦点坐标，准线方程，设直线 的方程为 ，联立方程组可得
， ，由此判断B，结合焦点弦公式求线段 长度的最小值，判断A，证明
判断C，结合条件 求 的坐标，结合两点斜率公式求直线 倾斜角的正切值，
再求其正弦值，判断D.
【详解】抛物线 的焦点 的坐标为 ，准线方程为 ，
准线 与 轴的交点 的坐标为 ，
若直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
此时直线 与抛物线 的交点为 ，与条件矛盾，
故直线 的斜率不为 ，设直线 的方程为 ，
联立 ，消 可得， ，
方程 的判别式 ，
由已知 为方程 的两个实根，
所以 ， ，B错误；
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以当 时，线段 长度取最小值，最小值为 ；A正确；由已知 ， ，
所以点 的坐标为 ，即 ，
所以 ， ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，C正确；
若 ，则直线 的斜率为 ，点 在第一象限，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，所以 或 （舍去），
设直线 倾斜角为 ，则 ，
所以 ，
所以直线 倾斜角的正弦值为 ，D正确；
故选：ACD.11. 如图，在棱长为6的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， 为线段
上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
为
A. 三棱锥 体积 定值
B. 存在点 ，使平面 平面
C. 设直线 与平面 所成角为 ，则 最小值为
D. 平面 截正方体 所得截面的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A：由等体积变换可得 ，可判断；
选项B：建立空间直角坐标系，设 ，根据空间向量由面面平行可得 ，可
判断；选项C：根据空间向量法表示线面角，可得 ，进而可得；
选项D：先做出平面 截正方体 所得截面，根据线面关系可得截面的面积.
【详解】选项A： ，故A正确；
选项B：
如图建立空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，则 ，
，设 ，故 ，
则 ,
由 ，得 ，不合题意，故B错误；
选项C：平面 的法向量为 ，则 ，
，
当 时， 取最小值为 ，故C正确；
选项D：
如图，直线 分别交 的延长线于点 ，
连接 交 于 ，连接 交 于 ，连接 ，
由题意可知五边形 即为平面 截正方体 所得截面，
因 ， 分别为棱 ， 的中点， ， ，
，得 ，
由正方体性质可知 ， ，
故所求截面面积为 ，由选项 可知， ， ，
故 ， ，
故 ， ，
，
故所求截面面积为 ，故D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项的关键是先根据空间点线面的关系做出截面，进而由线面关系可求面积.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面 的一个法向量为 ，平面 内一点 的坐标为 ，平面 外一点 的坐标
为 ，则点 到平面 的距离为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】求向量 的坐标，再求 在法向量 上的投影向量的模即可.
【详解】由已知 ，
又 在 上的投影向量的模为 ， ，
所以点 到平面 的距离为 ，
所以点 到平面 的距离为 .故答案为： .
13. 已知等差数列 中，前 项和为 ，这 项中的偶数项之和为 ，且 ，则数
列 的通项公式 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列前 项和公式及等差数列性质条件可转化为 ， ，解方
程求 ，再结合等差数列通项公式求 ，由此可求通项公式 .
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为等差数列 中，前 项和为 ，
所以 ，故 ，
因为等差数列 中前 项中的偶数项之和为 ，
所以 ，故 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以所以数列 的通项公式为 .
故答案为： .
14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，过 作直线交椭圆 于 、 两点，其中点
在 轴下方， 内切圆交边 于点 ，则线段 的长度取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据内切圆的有关性质知， ，结合椭圆的定义可推出 ，
注意到点 在 下方，所以， .
【详解】因为 的内切圆交边 于点 ，所以 ,
又因为在椭圆中 ， ,
所以 ，
.
而 ，（等号取不到）因此
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 与两坐标轴均相切，且过点 .直线 过点 交圆 于 ，
两点.
（1）求圆 的方程；（2）若 且 ，求直线 的方程.
【答案】（1） 或 ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据圆 与两坐标轴均相切，且过点 ，可得 ，得 ，
解出 即可；
（2）结合第一问和已知得到圆 的方程为 ，根据 ，得到
，再令 于 ，设 ， ，得到方程组 ，
解得 ，再设 ，根据圆心 到 的距离求出 即可.
【小问1详解】
圆 与两坐标轴均相切，且过点 ， ，
则 ，得 ，
或 ，
圆 的方程为 或 ；
【小问2详解】
， ，圆 的方程为 ，
， ，
作 于 ，设 ， 则 ，
故 ，解得 ，设 ，则 ，
则圆心 到 的距离 ，
，化简得： ，解得 或 ，
直线 的方程为 或 .
16. 如图，在直三棱柱 中，底面 是边长为2的正三角形， ，点 ， 分别在
线段 ， 上，且 ， .
（1）求证： 平面
（2）求直线 与平面 所成角正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过点 作 交 于点 ，连接 ，由 ，得到 ，运
用线面平行判定定理得到 平面 和 平面 ，得到平面 平面 ，再
用面面平行性质得到线面平行即可.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和平面法向量坐标，结合
向量夹角余弦值公式计算即可.【小问1详解】
证明：过点 作 交 于点 ，连接
因为 ，且 ，
又因为 ，故 ，所以
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面
又 ， 平面 ，则平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
以 中点 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图.
则 ， ， ， ，设 ，
由 即 得， ，易知，平面 的一个法向量为
设直线 与平面 所成角为 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为
17. 已知 为等差数列， 为等比数列且公比大于 ， ， ， ，
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）设数列 公差为 ，数列 公比为 ，利用等差数列通项公式和等比数列通项
公式将条件转化为 的方程，解方程求 ，再利用等差数列通项公式，等比数列通项公式求结论；
（2）由（1）可得 ，分别在 为偶数和奇数条件下，利用分组求和
法，裂项相消法及等比数列求和公式求结论.
【小问1详解】
设数列 公差为 ，数列 公比为 ，由 ，得 解得 ．
所以 ．
由于 ，即 ，又 ， ，
所以 ，解得 或 （舍去）
所以 ；
【小问2详解】
由（1）得：
所以
所以
所以
当 为偶数时：
当 为奇数时：.
18. 如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ，把三角形 沿着
翻折，得到如右图所示的四棱锥 ，记二面角 的平面角为 .
（1）当 时，求证： 平面 ；
（2）当 时，
（i）求点 到底面 的距离；
（ii）设 是侧棱 上一动点，是否存在点 ，使得 的余弦值为 ，若存在，求
的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）翻折后由 ， ，确定 ，得到 平面 ，再结合勾
股定理得到 ，即可求证；
（2）（i）过点 作 ，垂足为 ，确定 平面 ，即可求解；（ii）建系，求得平面的法向量，通过向量夹角公式即可求解.
【小问1详解】
因为翻折前 ，所以翻折后 ， ，
由二面角的定义可知，二面角 的平面角 ，
当 时， ，即 ，
又 ，且 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， ，
又 在三角形 中，易知 ， ， ，
满足： ，由勾股定理可知， ，
，且 ， 平面 ，
平面 .
【小问2详解】
当 时，
（i）由（1）知 ， ， ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，
在平面 内，过点 作 ，垂足为 ，又平面 平面 ，故 平面 ，
即为点 到平面 的距离，
在 中， ， ，故 .
（ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系，
故 ， ， ， ，设 ，
设 ，即 ，即 ，
设平面 法向量为 ，
， ，
，即 ，
令 ，得 ， ，即 ，
设平面 的法向量 ，
， ，，即 ，
令 ，得 ， ，即 ，
的余弦值为 ，
，
解得 ，即 .
19. 已知椭圆 左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，经过点 且倾斜角为
的直线 与椭圆交于 ， 两点（其中点 在 轴上方）， 的周长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，将平面 沿 轴折叠，使 轴正半轴和 轴所确定的半平面（平面 ）与 轴负半轴和轴所确定的半平面（平面 ）互相垂直.
①若 ，求三棱锥 的体积；
②是否存在 ，使得 折叠后的周长为与折叠前的周长之比为 ？若存在，求 的
值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）① ；②存在，
【解析】
【分析】（1）由条件结合离心率的定义，椭圆的定义列关于 的方程，解方程求 ，再根据 关
系求 ，由此可得椭圆方程；
（2）①由已知可得直线 方程为 ，联立方程组求出 的坐标，再求三棱锥
的底面面积和高，结合锥体体积公式求结论；
②假设存在 满足条件，设 在新图形中对应点记为 ，由假设可得
，
设直线 方程为 ，设折叠前 ， ，联立方程组求 的纵坐标关系，结合
两点距离公式 可转化为 ，代入化简求结论.
【小问1详解】
由椭圆的定义知 ， ，所以 的周长 ，所以 ，
又椭圆离心率为 ，所以 ，所以 ， ，
所以椭圆的标准方程为
【小问2详解】
①由（1）知，点 ，倾斜角为 ，
故直线 方程为 ，
联立 ，化简可得 ，
所以 ，
解得 或
则 ， ， ， ，
所以 的面积为 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
过 作 ，则 平面 ，
所以 平面 ，故三棱锥 的高为 ，
三棱锥 的体积为 ；②假设存在 ，使得 折叠后的周长为与折叠前周长之比为 ，
设 在新图形中对应点记为 ，
因为折叠前的周长 ，
所以折叠后的周长为： ，
而 ， ，故 ，
设折叠前 ， ，直线 方程为 ，
联立 ，得 ，
，
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系
（原 轴仍然为 轴，原 轴正半轴为 轴，原 轴负半轴为 轴）；则 ， ，
， ，
，
即 ，
，
由 可得 ，
，
，
，
，解得 ，
检验： ，
故 成立，故存在 满足题意.
此时由 得 ， .
【点睛】关键点点睛：本题第二小问中②的解决的关键在于根据翻折前后的数量关系，将条件 折叠后的周长为与折叠前的周长之比为 ，转化为 .
