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2025-2026 学年秋学期高二年级第一次质量检测试卷
数学学科
（考试时间：120分钟；总分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若直线经过两点 ， 且倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两点的斜率公式即可求解.
【详解】解：由题意知，
，
解得：
故选：A.
2. 曲线方程 表示一个圆的充要条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用 计算即可.
【详解】表示圆的充要条件是 ，即 .
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查圆的一般方程，本题也可以采用配方来做，是一道容易题.
3. 方程 的化简结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可.
【详解】方程的几何意义为动点 到定点 和 的距离和为10，并且 ，
所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为 的椭圆，所以 ， ，
根据 ，所以椭圆方程为 .
故选：C.
4. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标
系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】转化为点 与点 连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.
【详解】记 ，则 为直线 的斜率，
故当直线 与半圆 相切时，斜率 最小，
设 ，则 ，解得 或 （舍去），
即 的最小值为 .
.
故选：C
5. 若关于 的方程 有且仅有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况,再用数形结合,先求出相切时的斜率,再得到有两
个交点的情况.
【详解】将方程 转化为:半圆 与直线 有两个不同交
点.
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学科网（北京）股份有限公司当直线与半圆相切时,有 ， ，
半圆 与直线 有两个不同交点时.
直线 一定过 ,
由图象知直线过 时直线的斜率k取最大值为1，
.
故选：C
【点睛】关键点睛：解题的关键是能够转化为特定的曲线，然后用数形结合求解.
6. 已知椭圆 ， 为其左焦点，直线 与椭圆 交于点 ， ，且
．若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为 ，连接 ， ，设 ，根据余弦定理得到 ，计算得
到离心率.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设椭圆的右焦点为 ，连接 ， ，故四边形 为平行四边形，
设 ， ，则 ， ，
， ，
中， ，
整理得到 ，即 ，故 .
故选：A
7. 已知直线 与圆 相切，则满足条件的直线 有
（ ）条
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即 ，
（其中 ），故 ，或 ，正弦值
为 的只有在 轴正半轴，正弦值为 可以在第三或者第四象限，故有 种可能，所以选 .
8. 已知圆 ，点 ，点 是 上的动点，过 作圆 的切
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学科网（北京）股份有限公司线，切点分别为 ， ，直线 与 交于点 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，由 表示出点 坐标，代入直线方程得出点 的轨迹，根据点到圆
上一点距离最小值求法计算即可．
【详解】设 ，由题可知 ，则 ，即 ，
所以 ，所以点 ，
将点 的坐标代入 ，化简得 （ 不同时为0），
故点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
又 ，点 在该圆外，
所以 的最小值为 ，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
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学科网（北京）股份有限公司9. 已知 的三个顶点分别是 ，且 边上的高所在的直线方程为
，则以下结论正确的是（ ）
A.
B. 边上的中线所在的直线方程为
C. 过点 且平行于 的直线方程为
D. 三边所在的直线中，直线 的倾斜角最大
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利用高线所在直线方程，代入点的坐标，建立方程，可得答案；对于 B，利用中点坐标
公式，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于C，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对
于D，根据斜率与倾斜角的关系，可得答案.
【详解】对于A， 在直线 上， ，故A不正确；
对于B， 的中点为 ， ，∴斜率为 ，
则直线方程为 ，即 ，故B正确；
对于C， 直线方程为 ，
整理可得 ，故C正确；
对于D， ， ，
直线 的倾斜角大于直线 的倾斜角，故D不正确，
故选：BC．
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学科网（北京）股份有限公司10. 设椭圆 的左右焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是（
）
A.
B. 离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段 为直径的圆与直线 相切
【答案】AD
【解析】
【分析】根据椭圆方程求得 ，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，椭圆 ，可得 ，可得 ，
所以焦点为 ,
根据椭圆的定义 ，所以A正确；
椭圆的离心率为 ，所以B错误；
其中 面积的最大值为 ，所以C错误；
由原点 到直线 的距离 ，
所以以线段 为直径的圆与直线 相切，所以D正确.
故选：AD
11. 已知直线 和曲线 ，点A是直线 上的一个动点，点 是曲线 上的一
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学科网（北京）股份有限公司个动点，过点A作曲线 的两条切线，切点分别为 ､ ，则下列说法正确的是（ ）
的
A. 最小值为
B. 曲线 上存在 个点到直线 的距离等于
C. 若曲线 上总存在点 ，使得 ，则A的横坐标的取值范围是
D. 直线 过定点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据圆的切线长的计算公式结合圆心到直线的距离即可求得 的最小值，判断A;结合A的分
析可判断B;由曲线 上总存在点 ，使得 ，可得 ，从而
，设 ，可得不等式，求得x范围，判断C;由题意可知 ､ 两点在以 为
直径的圆上，求出以 为直径的圆的方程，联立 求得直线 的方程，可推得直线
所过的定点，判断D.
【详解】对于A:因为 ，所以 最小时， 最小.
因为当 是点 到直线 的距离时， 最小，最小值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此 最小为 ，故A正确；
对于B：由选项A知：点 到直线 的距离为 ，而圆 的半径为 ，
因此曲线 上存在 个点到直线 的距离等于 ，故B错误；
对于C：因为点A是直线 上的一个动点，所以设 ，
因为曲线 上总存在点 ，使得 ，所以 ，
因此 ，
又因为在 中， ，
所以 ，即 ，解得 ，
因此点A的横坐标的取值范围是 ，故C正确；
对于D:由题意过点A作曲线 的两条切线，切点分别为 ､ ，
可知 ､ 两点在以 为直径的圆上，
设 ，则 为直径的圆的方程为 ，
和 相减可得直线 的方程，即 ，
即 ，由于 ，故由 ，得 ，
所以直线 恒过定点 ，故D正确.
故选： .
【点睛】难点点睛：本题判断正误的难点在于C,D选项的判断，对于C选项，要能够根据曲线 上总存在
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学科网（北京）股份有限公司点 ，使得 ，明确 ，然后结合三角函数求解；对于D选项，要能够明
确 即为以 为直径的圆和 的公共弦，由此可求得直线 的方程.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从圆 外一点P（2,3）向这个圆引切线，则切线的方程为_________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
当切线方程斜率不存在时，直线 满足题意；当切线方程斜率存在时，设出切线方程，根据圆心到切
线的距离 列出关于 的方程，求出方程的解得到 的值，进而得到满足题意的切线方程.
【详解】解：分两种情况考虑：
若切线方程斜率不存在时，直线 满足题意；
若切线方程斜率存在时，设为 ，此时切线方程为 ，即 ，
∵直线与圆相切，∴圆心 到切线的距离 ，
即 ，
解得： ，
此时切线方程为 ，即 ，
综上，切线方程为 或 .
故答案为： 或 .
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，利
用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏.
13. 椭圆 的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当 的周长最大时，
的面积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为 ，根据题意可得到 ，并且当且仅当 三点共线
时等号成立，，由此可求出 的长，进而可求 的面积.
【详解】设椭圆的右焦点为 ，则 ，当且仅当 三点共线时等号成立，
所以 的周长 ，
此时 ，
所以此时 的面积为 .
故答案为： .
14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥
曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 与两定点 的距
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学科网（北京）股份有限公司离之比为 ，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，
圆 、点 和点 为圆 上的动点，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】令 ，则 ，由阿氏圆的定义可知： ，由数形结合可知
的最大值.
【详解】设 ，令 ，则 ，
由题知圆 是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且 ，
设点 ，则 ，
整理得： ，
比较两个方程可得 ， ， ，即 ， ，点 ，
当点M位于图中 的位置时， 的值最大，最大为 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知点 和点 ，求过直线 的中点且与 垂直的直线 的方程；
（2）求过直线 和 的交点，且平行于直线 的直线 的方程．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用中点坐标公式求出 的中点，利用斜率公式求出斜率，结合直线垂直斜率之间的关系
与点斜式进行求解即可；（2）求出直线的交点坐标，结合直线平行的条件求出直线斜率，利用点斜式进
行求解即可．
【详解】（1） 的斜率为 ， 的中点坐标为 ，即 ，
与 垂直的直线斜率 ，
则直线 的方程为 ，即 ．
（2）由 得 ，即交点坐标为 ，
设平行于直线 的直线 的方程为 ，
直线过 ，则 ，
得 ，即直线 的方程为 ．
【点睛】本题主要考查直线方程的求解，以及直线垂直和平行的关性质，属于中档题． 对直线位置关系
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学科网（北京）股份有限公司的考查是热点命题方向之一，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，
（1） （ ）；（2） （
），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这
一点一定不能掉以轻心.
16. 已知椭圆 的焦点为 ，且该椭圆经过点 .
（1）求 的标准方程；
（2）若 为 上一点，且 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得 ，从而求得椭圆 的标准方程.
（2）根据椭圆的定义求得 ，从而求得 的面积.
【小问1详解】
依题意 ，设椭圆方程为 ，
所以 ，解得 .
所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由于 ， ，根据抛物线的定义有：
，整理得 ，
所以 的面积为 .
17. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
【答案】（1） ；（2）2．
【解析】
【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由 ，解得： ．
故当 ，过点A（0，1）的直线与圆C： 相交于M，N两点．
（2）设M ；N ，
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程 ，
可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
由 ，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2
考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算
18. 已知圆 过点 ，圆心在直线 上，截 轴弦长为 ．
（1）求圆 的方程；
（2）若圆 半径小于 ，点 在该圆上运动，点 ，记 为过 、 两点的弦的中点，求 的
轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，若直线 与直线 交于点 ，证明： 恒为定值．
【答案】（1） 或
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设圆心为 ，设圆 的半径为 ，根据圆的几何性质可得出关于 、 的方程组，
解出这两个量的值，即可得出圆 的方程；
（2）利用圆的几何性质得 ，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程；
（3）设直线 与直线 交于点 ，通过斜率关系得 ，利用几何关系得 ，从而
，利用点到直线 的距离公式及两点距离公式求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：设圆心为 ，设圆 的半径为 ，
圆心到 轴的距离为 ，且圆 轴弦长为 ，则 ，①
且有 ②，
联立①②可得 或 ，
所以，圆 的方程为 或 .
【小问2详解】
解：因为 半径小于 ，则圆 的方程为 ，
由圆的几何性质得 即 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，即 的轨迹方程是 .
【小问3详解】
解：设直线 与直线 交于点 ，由 、 可知直线 的斜率是 ，
因为直线 的斜率为 ，则 ，则 ， ，
所以， ，因此， ，
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学科网（北京）股份有限公司又E到 的距离 ， ，
所以， ，故 恒为定值 .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19. 平面直角坐标系中，圆M经过点 ， ， .
（1）求圆M的标准方程；
（2）设 ，过点D作直线 ，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.
①过点D作与直线 垂直的直线 ，交圆M于EF两点，记四边形 的面积为S，求S的最大值；
②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.
【答案】（1）
（2）①S的最大值为7；②证明见解析，点N在定直线 上.
【解析】
【分析】（1）设圆M的方程为 ，利用待定系数法求出 ，即可得解；
（2）①设直线 的方程为 ，分 和 两种情况讨论，利用圆的弦长公式分别求出
，再根据 即可得出答案；
②设 ，联立 ，利用韦达定理求得 ，求出直线OP，BQ
的方程，联立求出交点坐标即可得出结论.
【小问1详解】
解：设圆M的方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，
所以圆M的标准方程为 ；
【小问2详解】
设直线 的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
①若 ，则直线 斜率不存在，
则 ， ，则 ，
若 ，则直线 得方程为 ，即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
则
，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，取等号，
综上所述，因为 ，所以S的最大值为7；
②设 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，
直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，
则 ，
所以 ，
所以点N在定直线 上.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
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学科网（北京）股份有限公司
