文档内容
襄阳五中 2025 届高三上学期 9 月月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据除法运算整理 ，结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为 ，
其在复平面内对应的点为 ，位于第二象限.
故选：B.
2. 已知实数 ， ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】实数 ， ，由 ，得 ，
因此 ，
第1页/共25页
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B
3. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且
可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中
， ， ，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参
考数据： ，铜的密度为8.96 ）（ ）
A. 1kg B. 2kg C. 3kg D. 0.5kg
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆锥的体积公式，结合质量公式求解即可.
【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长 ，
所以该惊鸟铃的质量约为 （kg）．
故选：A．
4. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则
（ ）
第2页/共25页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数 的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.
【详解】在 上的奇函数 满足 ，则 ，
于是 ，即函数 的周期为4，
而 ，则 ， ，又当 时， ，
所以 .
故选：A
5. 在 中， 为边 上一点， ，且 的面积为 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由面积公式求出 ，即可得到 为等腰三角形，则 ，在 中由正弦定理
求出 ，即可求出 ，最后由 利
用两角差的正弦公式计算可得.
【详解】因为 ，解得 ，
第3页/共25页
学科网（北京）股份有限公司所以 为等腰三角形，则 ，
在 中由正弦定理可得 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 为锐角，所以 ，
所以
.
故选：A
6. 已知随机事件 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知结合条件概率公式，即可得出 ，进而推得 .即可根据条件概
率公式，得出答案.
【详解】由已知可得， .
因为 ，
第4页/共25页
学科网（北京）股份有限公司所以， .
又 ,
所以， .
又 ，
所以， .
故选：A.
7. 直线l过双曲线E： 的左顶点A，斜率为 ，与双曲线的渐近线分别相交于
M，N两点，且 ，则E的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出直线 的方程，分别与两条渐近线方程联立求出 两点的纵坐标，再由
可求出 的关系，从而可求出双曲线的离心率.
【详解】由题意得直线 为 ，双曲线的渐近线方程为 ，
由 ，得 ，即 ，
第5页/共25页
学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，化简得 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：A
8. 已知函数 ，若存在 使得关于 的不等式 成立，则实数
的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将不等式变形为 ，构造函数 ，分析可知该函数
为增函数，可得出 ，求出函数 的最小值，可得出关于实数 的不
等式，即可得出实数 的取值范围.
第6页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，由 可得 ，即函数 的定义域为 ，
可得 ，
即 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，故函数 在 上单调递增，
所以， ，可得 ，则 ，
即 ，其中 ，令 ，其中 ，
则 ，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，解得 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为 ，结合不等式
的结果构造函数 ，转化为函数 的单调性以及参变量分离法求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列 是等差数列， 是等比数列，则下列说法中正确的是（ ）
A. 将数列 的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列
B. 数列 ， ， ，…，是等差数列
C. 将数列 的前m项去掉，其余各项依次构成的数列不是等比数列
第7页/共25页
学科网（北京）股份有限公司D. 数列 ， ， ， ，…，是等比数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】由等差数列及等比数列的性质逐项判断即可.
【详解】对于A: 设{a }的公差为 ，将数列{a }的前m项去掉，其余各项依次为 ，则
n n
故构成的数列依然是等差数列，正确；
对于B：因为数列{a }是等差数列，所以数列 ， ，
n
，…， ，所以构成公差为 的等差数列，正
确；
对于C：设{b }的公比为 ，等比数列去掉前m项后，其余各项依次为 ，所
n
以依然构成等比数列，错误；
对于D：设{b }公比为 ,所以 ，故数列 ， ， ， ，…，是等比数列，正确.
n
故选:ABD
10. 如图，棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内一个动
点（包括边界），且 平面 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 动点 轨迹的长度为 B. 三棱锥 体积的最小值为
第8页/共25页
学科网（北京）股份有限公司C. 与 不可能垂直 D. 三棱锥 的体积为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】取 中点 ， 的中点 ，通过证明平面 平面 ，得 点轨迹为线段 ，
从而判断A，由此可得 与点 重合时，三棱锥 体积的最小，求体积判断B，证明当 是
中点时，有 可判断C．运用线面平行性质，结合等体积法判断D，
【详解】解：取 中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，则 ，
正方体中易知 ，从而 ，
又 平面 ，而 平面 ，所以 平面 ，
又正方体中 与 平行且相等，从而 与 平行且相等，
则 是平行四边形，所以 ，同理可得证 平面 ，
， ， 平面 ，所以平面 平面 ，
平面 平面 ，所以当 时， 平面 ，
即线段 为点 的轨迹， ，A正确；
三棱锥 中， 到平面 的距离为定值2，
第9页/共25页
学科网（北京）股份有限公司当 与 重合时， 的面积最小值，此时 ，
所以体积最小值为 ，B正确；
连接 ， ，正方体中易知 ，
平面 ，而 平面 ，所以 ，
， ， 平面 ，则 平面 ，
设 平面 （即 与 的交点为 ，此时 平面 ，
所以 ，C错；
,
由 且 平面 ,
则 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
故 , 几个点都是固定的，
则三棱锥 的体积为定值.故D正确．
第10页/共25页
学科网（北京）股份有限公司故选： ．
11. 已知函数 的定义域为R， ， ，则（ ）
A. B.
C. 为奇函数 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用赋值法求得 即可判断A；利用赋值可得 ，并且判断出
，由不等式的性质可得 ，即可判断B；利用函数的奇偶性以及 的值即可判断
C；利用等比数列的判定可得 的通项公式，利用等比数列的求和公式可得
，即可判断D．
【详解】令 ， ，则 ，将 代入得 ，即
，故A错误；
由 ，令 可得 ，若存在x使得 ，
则上式变为 ，显然不成立，所以 ，
又 ，
因为 ，所以 ，
将 整理为 ，
第11页/共25页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，即 ，所以 ，故B正确；
令 ，
则 ，
且 ，所以 为奇函数，故C正确；
当 时， ， ，
所以 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，
由 可知 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前n项和进
行分析，由此即可顺利得解．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若 ，则 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ， ，解得 即可．
第12页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，可得
又因为 ，可得 ，解得 或 （舍去）
所以 ．
故答案为： ．
13. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上
数字的最小值为 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据古典概型概率结合组合数分析求解.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有 种取法，
其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有 种，
所以 .
故答案为： .
14. 已知函数 若存在实数 满足 ，且 ，则 的
取值范围为__________.
【答案】
【解析】
第13页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到 ，根据 ，可将 化
简为 ，构造函数 ，利用导数求最值即可.
【详解】结合解析式可知当 时， ；当 时， .
因为 ，所以 .
令 ，得 ，则 ，
故 .
令 ，则 ，
令 得 ；令 得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 .
所以 的取值范围为 .
故答案为：
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角 所对的边分别为 ， 是 边上的一点，且满足 ，若
， ．
（1）求 ；
第14页/共25页
学科网（北京）股份有限公司的
（2）求三角形 面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解；
（2）由向量可得 ，结合模长关系解得 ，进而可得面积.
【小问1详解】
因为 ，由正弦定理得 ，
整理可得 ，即 ，
且 ，则 ，可得 ，
因为 ，所以 .
【小问2详解】
因为 ，可得 ，
两边平方得 ，即 ，
整理可得 ，解得 （舍负），
所以三角形 的面积 ．
16. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，四边形 为梯形，
第15页/共25页
学科网（北京）股份有限公司， ， ， ， ， ， 交 于点 ，点 在线段
上，且 .
（1）证明： 平面 .
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形边角关系可证明相似，即可得 ,即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解即可.
【小问1详解】
平面 平面 ，且两平面交于 ，又 ，
平面 .
在 中， ， ， .
且 ， 是等腰直角三角形，
， .
， ，
第16页/共25页
学科网（北京）股份有限公司又 ， 为等腰直角三角形， .
， ，
又 ，所以 ， 平面 , 平面 ，
平面 .
【小问2详解】
由（1）得 平面 ，且 ，所以建立如图所示空间直角坐标系.
可得 ， ， ，
即 ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，
解得 .
平面 的法向量为 .
设二面角 为 ，所以 ，
则 .
第17页/共25页
学科网（北京）股份有限公司17. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间；
（3）设 ，若 对于 恒成立，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间是 ，递减区间是
（3）
【解析】
【分析】（1）先求导函数f′(x)，接着求出 和 即可求出所求切线方程；
（2）法一可将导函数化为 ，从而得f′(x)与 同号，接着根据
的单调性和 即可得出导数f′(x)的正负情况，进而得函数 的单调区间；法二
可依据 时， 且 ， 时， 且 求出f′(x)的正负情况，进而得函数
的单调区间；（3）先由 且 得 ，再依据已知条件结合函数 在 上
单调递增得 ，两边取对数变形得 对于 恒成立，再利用导数求出函数
的最大值即可得解.
【小问1详解】
由题 ，在 处， ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 .
第18页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解法一：由（1）可得 ，
因为 ，故f′(x)与 同号．
令 ，因为 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 是 的唯一零点，
所以 是 的唯一解，
f′(x)与 的情况如下：
f′(x) － 0 ＋
极小值
所以 的单调递增区间是 ，递减区间是 .
解法二：当 时， ， ，所以f′(x)<0，故 单调递减；
当 时， ， ，所以f′(x)>0，故 单调递增，
的
所以 单调递增区间是 ，递减区间是 .
【小问3详解】
且 时 ，又由（2）知函数 在 上单调递增，
若 对于 恒成立，则 ，两边取对数 得 ，
所以 对于 恒成立，
设 ，则 ，
第19页/共25页
学科网（北京）股份有限公司令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以 的最小值为 .
【点睛】思路点睛：恒成立求参问题通常结合参数分离法分参再将问题转化成求最值问题求解，本题在求
参数t的最小值时，先利用 且 和 在 上单调递增得到 ，接着两边取对数变
形分参得到 对于 恒成立，从而将恒成立问题转变成求函数 的最大
值，求出函数 的最大值即可得参数t的最小值.
18. 已知椭圆 的标准方程 ，其左右焦点分别为 ．
（1）过点 的直线交椭圆 于 两点，若 ，求直线 的方程；
（2）直线 过右焦点 ，且它们的斜率乘积为 ，设 分别与椭圆交于点 和 ．若
分别是线段 和 的中点，证直线 过定点，并求 面积的最大值．
【答案】（1） 或
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）设直线 的方程为 ， ，联立直线 与椭圆方程
第20页/共25页
学科网（北京）股份有限公司得 ，再由 ，即 ，最后代入即可求解；
（2）设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，分别与椭圆方程联立，通过韦
达定理求出中点 的坐标，观察坐标知， 的中点坐标 在 轴上，则
整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.
【小问1详解】
由椭圆方程可知： ，
则 ，显然直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ， ，
联立 消去 得， ，
所以 ，即 .
且 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
整理得 ，
第21页/共25页
学科网（北京）股份有限公司即 ，
化简得 ，即 满足条件，
所以直线 的方程为 或 ，
即直线 的方程为 或 .
【小问2详解】
由题意， ，
设直线 的方程为 ， ，
则直线 的方程为 ， ，
联立 消去 得 ，
所以
所以
所以 ，
第22页/共25页
学科网（北京）股份有限公司同理联立 消去 得 ，
所以
所以
所以 ，
即 的中点 .
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的面积最大值为 .
【点睛】关键点点睛：第二问的解题关键是分类联立直线 与椭圆方程，求出 的坐标，观察坐标
知， 的中点坐标 在 轴上，则 整理后利用基本不等式得到面积的
第23页/共25页
学科网（北京）股份有限公司最值.
19. 已知 为有穷正整数数列，其最大项的值为 ，且当
时 ， 均 有 ． 设 ， 对 于 ， 定 义
，其中， 表示数集 中最小的数．
（1）若 ，写出 的值；
（2）若存在 满足： ，求 的最小值．
【答案】（1） ，
（2）4
【解析】
【分析】（1）结合定义逐个计算出 即可；
（2）当 时，可得 ，不合题意，故 ，对于 举例说明即可.
【小问1详解】
由 ，则 ，故 ，
则 ，故 ，
则 ，故 ；
【小问2详解】
由题意可知， ，
当 时，由 ，
故 ，则 ，
由题意可得 ，故 总有一个大于1，即 或 ，
第24页/共25页
学科网（北京）股份有限公司，由 ，故 总有一个大于2，
故 ，故当 时， ，不符，故 ，
当 时，取数列 ，
的
有 ，即 ，符合要求，故m 最小值为4.
【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解所给出的定义，由给定数列结合新定义探求
出数列的相关性质，进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
