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2014年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项
1．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（ ）
A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2}
D．{3}
2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|
3．（5分）已知向量 =（2，4）， =（﹣1，1），则2 ﹣ =（ ）
A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．15
5．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知函数f（x）= ﹣log x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间
2
是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）
（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（ ）
第1页 | 共6页A．7 B．6 C．5 D．4
8．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食
用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系
p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数
模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= ．
10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣ ，0），（ ，0），一个顶点是（
1，0），则C的方程为 ．
11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 ．
12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC= ，则c= ；sinA= ．
13．（5分）若x，y满足 ，则z= x+y的最小值为 ．
14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺
第2页 | 共6页师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行
精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时
间（单位：工作日）如下：
工序 粗加工 精加工
时间
原料
原料A 9 15
原料B 6 21
则最短交货期为 个工作日．
三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过
程．
15．（13分）已知{a }是等差数列，满足a =3，a =12，数列{b }满足b =4，b =
n 1 4 n 1 4
20，且{b ﹣a }为等比数列．
n n
（1）求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
（2）求数列{b }的前n项和．
n
16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+ ）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x ，y 的值；
0 0
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣ ，﹣ ]上的最大值和最小值．
第3页 | 共6页17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA =
1 1 1 1
AC=2，BC=1，E、F分别为A C 、BC的中点．
1 1
（1）求证：平面ABE⊥平面B BCC ；
1 1
（2）求证：C F∥平面ABE；
1
（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．
18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位
：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
排号 分组 频数
1 [0，2） 6
2 [2，4） 8
3 [4，6） 17
4 [6，8） 22
5 [8，10） 25
第4页 | 共6页6 [10，12） 12
7 [12，14） 6
8 [14，16） 2
9 [16，18） 2
合计 100
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小
时的概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的1
00名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）
19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB
长度的最小值．
第5页 | 共6页20．（13分）已知函数f（x）=2x3﹣3x．
（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；
（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线
y=f（x）相切？（只需写出结论）
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