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2014 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共 50分）
一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4
分，否则一律得零分．
（1）【2014年上海，文1，5分】函数 的最小正周期是 ．
【答案】
【解析】 ，所以 ．
（2）【2014年上海，文2，5分】若复数 ，其中i是虚数单位，则
．
【答案】6
【解析】 ．
（3）【2014年上海，文3，5分】设常数 ，函数 ，若 ，
则 ．
【答案】3
【解析】 ，所以 ，所以 ，故 ．
（4）【2014年上海，文4，5分】若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重
合，则该抛物线的准线方程为 ．
【答案】
【解析】椭圆 的右焦点右焦点为 ，故 ，故该抛物线的准线方程为
．
（5）【2014年上海，文5，5分】某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、
800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若
高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．
【答案】70
【解析】由分层抽样知高一、高二、高三抽取的学生数比为 4:3:2，高三抽取的学生数为
20，故高一、高二共需抽取的学生数为 ．
（6）【2014年上海，文6，5分】若实数 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由基本不等式可得 ，故 的最小值为 ．
（7）【2014年上海，文7，5分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与轴所成的
角大小为 ．（结果用反三角函数值表示）
【答案】
【解析】由题意可得， ，解得 ，记母线与轴所成的角为 ，则
，即 ．
第1页 | 共6页（8）【2014年上海，文8，5分】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，
则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．
【答案】24
【解析】由三视图可知，被割去的两个小长方体长为2，宽为3，高为2，故切割掉的两个
小长
方体的体积之和为2×3×2×2=24．
（9）【2014年上海，文9，5分】设 ，若 是 的最小值，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】 ，当 时， ，因为 是 的最小值，故 ．
（10）【2014年上海，文10，5分】设无穷等比数列 的公比为 ，若
．
【答案】
【解析】因为无穷等比数列 的极限存在，所以 ，又因为
即 ，解得 ．
（11）【2014年上海，文11，5分】若 ，则满足 的 的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ， 即 ，在同一坐标系中作出
（ ）
的图象（如图），由图象可知，当 时， .故满足 的 的取
值范围是 ．
（12）【2014年上海，文12，5分】方程 在区间 上的所有解的和
等于 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以
， 所 以 由 可 得 或 ， 解 得
，所以 ．
（13）【2014年上海，文13，5分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随
机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果
用最简分数表示）．
【答案】
【解析】记“选择的3天恰好为连续3天”的概率为P，从10天中选择3天共有 种方法，
从10天中选择连续的3天有8种选择方法，故 ．
（14）【2014年上海，文14，5分】已知曲线 ，直线 ．若对于点
第2页 | 共6页，存在C上的点P和l上的点Q使得 ，则m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意可设 （ ），又因为 ，所以
点P、A、Q在一条直线上，且A点为线段PQ的中点．所以， ，
又 ，所以 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有
一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．
（15）【2014年上海，文15，5分】设 ，则“ ”是“ 且 ”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非
必要条件
【答案】B
【解析】由 不能推出 且 ，如 满足 ，但不能满足
且 ；如果 且 ，由不等式的性质可得 ；故“ ”是“
且 ”的必要非充分条件，故选B．
（16）【2014年上海，文16，5分】已知互异的复数 满足 ，集合 ，
则 （ ）
（A）2 （B）1 （C）0 （D）
【答案】D
【解析】（1）当 时， 可看作是 的根，此时 与 矛盾，故
舍去；
（2）当 时，可得 ，（*）因为 ，所以 ，所
以（*）即为 ，即 ，所以 ，此时
；
①当 时， ， 与 矛盾且不满足集合的互异性，故舍去；
②当 时， ，但此时不能满足集合的互异性，故舍去；
③当 时， ， 且满足集合的互异性，符合题意，
此时 ；
④当 时， ， 且满足集合的互异性，符合题意，
此时 ；
综上所述， ，故选D．
（17）【2014年上海，文17，5分】如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，
是大正方形的一条边， 是小正方形的其余顶点，则
的不同值的个数为（ ）
（A）7 （B）5 （C）3 （D）1
【答案】C
【解析】如图，以点A为原点，建立坐标系，则
， 故
，通过计算可得 的值有0,2,4,共3个，故选C．
（18）【2014年上海，文18，5分】已知 与 是直线 （ 为常
数）上两个不同的点，则关于 和 的方程组 的解的情况是（ ）
第3页 | 共6页（A）无论 如何，总是有解 （B）无论 如何，总有唯一解
（C）存在 ，使之恰有两解 （D）存在 ，使之有无穷多解
【答案】B
【解析】解法一：
由已知得 ，代入 得 解得 ，即
直线 与 恒交于点 （ 为常数），故选B．
解法二：
由 已 知 条 件 ， ，
，
∴有唯一解，故选B．
三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
写出必要的步骤．
（19）【2014年上海，文19，12分】底面边长为 的正三棱锥 ，其表面展
P
3
开图是三
角形 ，如图．求 的各边长及此三棱锥的体积 ．
解：根据题意可得 共线，∵ ， ， A C
∴ ， ∴ ， 同 理 ， ∴
是等
P P
1 B 2
边三角形， 是正四面体，所以 边长为4；∴
．
（20）【2014年上海，文20，14分】设常数 ，函数 ．
（1）若 ，求函数 的反函数 ；
（2）根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由．
解：（1）∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ， ． ……6分
（2）当 时， ，定义域为 ，故函数 是偶函数；当 时，
定义域为
， ，故函数 是奇函数；
当 时，
关于原点不对称，故函数 既不是奇函数，也不是
偶函数．……14分
（21）【2014年上海，文21，14分】如图，某公司要在 两地连线 D
上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 米，
长 米． 设点 在同一水平面上，从 和 看 的仰角
分别为 和 ．
（1）设计中 是铅垂方向． 若要求 ，问 的长至多为 A C B
多少（结
果精确到 米）？
（2）施工完成后， 与铅垂方向有偏差．现在实测得 ， ，求
第4页 | 共6页的长（结果精确
到 米）．
解 ： （ 1 ） 设 的 长 为 米 ， 则 ， ∵ ， ∴
，∴ ，
∴ ，解得 ，∴ 的长至多为 米．
……6分
（2）设 ， ，则 ，
解得 ∴ ∴ 的长为
米．……14分
（22）【2014 年上海，文 22，16 分】在平面直角坐标系 中，对于直线
和 点 ， 记 ． 若
，则称点 被直线 分隔． 若曲线 与直线 没有公共点，且曲线 上存在
点 被直线 分隔，则称直线 为曲线 的一条分隔线．
（1）求证：点 被直线 分隔；
（2）若直线 是曲线 的分隔线，求实数 的取值范围；
（3）动点 到点 的距离与到 轴的距离之积为 ，设点 的轨迹为曲线 ，
求 的方程，并证明
轴为曲线 的分隔线．
解：（1）将 分别代入 ，得 ，
∴点 被直线 分隔． ……3分
（2）直线 与曲线 有公共点的充要条件是方程组 有解，
即 ．
因为直线 是曲线 的分隔线，故它们没有公共点，即 ．
当 时，对于直线 ，曲线 上的点 和 满足
，即点 和
被 分隔．故实数 的取值范围是 ．
……9分
（ 3 ） 设 M 的 坐 标 为 ， 则 曲 线 E 的 方 程 为
．
对任意的 不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．又曲线E上
的点 对于
轴满足 ，即点 被y轴分隔．所以y轴为曲线E的分割线．
……16分
（23）【2014年上海，文23，18分】已知数列 满足 ， ， ．
（1）若 ，求 的取值范围；
第5页 | 共6页（2）若 是等比数列，且 ，求正整数 的最小值，以及 取最小值时
相应 的公比；
（3）若 成等差数列，求数列 的公差的取值范围．
解：（1）依题意， ，∴ ，又 ，∴ ，综上可得
．……3分
（ 2 ） 设 的 公 比 为 ． 由 ， 且 ， 得 ． 因 为
，所以 ．
从 而 ， 解 得 ． 时 ，
．
所以， 的最小值为8， 时， 的公比为 ． ……9
分
（3）设数列 的公差为 ．则 ，
①当 时， ，所以 ，即 ．
②当 时， 符合条件．
③ 当 时 ， ， 所 以 ，
，又 ，
所以 ．
综上， 的公差的取值范围为 ． ……18分
第6页 | 共6页
