文档内容
2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷
（江苏专用）
（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第3章3.1。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．直线 的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线 ，即 ，
设该直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 ，
因为 ，所以 .故选：A.
2．经过点 且与直线 平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司【解析】直线 的斜率为 ，两直线平行，故所求直线方程为 .
整理得： .
故选：D
3．平面内一点M到两定点 ， 的距离之和为10，则M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】平面内一点M到两定点 ， 的距离之和为 ，
所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且 ， ，则 ，
椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的方程为 ．
故选： .
4．点 到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：直线 可化为： ，
由 ，解得 ，所以直线过定点 ，
点 到直线 的距离的最大值为 ，
故选：B.
5．若直线 与圆 有交点，则（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】A
【解析】 的圆心为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，
所以 ，即 .
故选：A.
6．设 ，若过定点A的动直线 和过定点B的动直线 交于点 ，AB
中点为Q，则 的值为（ ）
A． B． C． D．与m的取值有关
【答案】C
【解析】由于 经过的定点为 ，所以 ，
直线 变形为 ，
所以经过定点 ，故 ，
因为 ，所以两直线垂直，如图，
学科网（北京）股份有限公司因此 为直角三角形，所以 ，
故选：C.
7．设直线 ，一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交
于点 ，再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，设点 关于直线 的对称点为 ，
则 得 ，即 ，
由题意知 与直线 不平行，故 ，
由 ，得 ，即 ，P为入射点，
学科网（北京）股份有限公司故直线 的斜率为 ，
直线 的直线方程为： ，
令 得 ，故 ，
令 得 ，故由对称性可得 ，
由 得 ，即 ，
解得 ，得 或 ，
若 ，则第二次反射后光线不会与 轴相交，故不符合条件．
故 ，
故选：B.
8．已知圆 ，点 ，点 是 上的动点，过 作圆 的切线，切
点分别为 ， ，直线 与 交于点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设 ，由题可知 ，则 ，即 ，
所以 ，所以点 ，
将点 的坐标代入 ，化简得 （ 不同时为0），
学科网（北京）股份有限公司故点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
又 ，点 在该圆外，
所以 的最小值为 ，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线 的倾斜角 的取值范围是
B．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
C．过点 且在 轴， 轴截距相等的直线方程为
D．经过平面内任意相异两点 的直线都可以用方程 表示．
【答案】AD
【解析】对于A：直线的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，故A正确.
对于B：当 时，直线 与直线 的斜率分别为 ，斜率之积为 ，故两直
学科网（北京）股份有限公司线相互垂直，所以充分性成立，
若“直线 与直线 互相垂直”，则 ，
故 或 ，所以得不到 ，故必要性不成立，故B错误.
对于C：截距为0时，设直线方程为 ，又直线过点 ，
所以可得 ，所以直线方程为 ，
当截距不为0时，设直线方程为 ，又直线过点 ，
所以可得 ，所以直线方程为 ，
所以过点 且在 轴， 轴截距相等的直线方程为 或 ，故C错误；
对于D：经过平面内任意相异两点 的直线：
当斜率等于0时， ，方程为 ，能用方程 表示；
当斜率不存在时， ，方程为 ，能用方程 表示；
当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为 ，
也能用方程 表示，故D正确.
故选：AD.
10．已知直线 和圆 ，则下列选项正确的是（ ）
A．直线 恒过点
B．圆 与圆 有三条公切线
C．直线 被圆 截得的最短弦长为
D．当 时，圆 上存在无数对关于直线 对称的点
【答案】ACD
【解析】对于A，由直线 的方程 ，可知直线 恒经过定点 ，故A正确；
学科网（北京）股份有限公司对于B，由圆 的方程 ，可得圆心 ，半径 ，又由
， ，所以圆 与圆 相交，圆 与圆
有两条公切线，故B错误；
对于C，由 ，根据圆的性质，可得当直线 和直线 垂直时，此时截得的弦长最短，最短
弦长为 ，故 正确；
对于D，将圆心 代入直线 的方程 ，可得 ，所以圆 上存在无数对关于
直线 对称的点，故D正确，
故选:ACD.
11．在平面直角坐标系 中，点 间的折线距离 ，已知
，记 ，则（ ）
A．若 ，则 有最小值8
B．若 ，则A点轨迹是一个正方形
C．若 ，则 有最大值15
D．若 ，则点A的轨迹所构成区域的面积为
【答案】BC
【解析】若 ，
由题意可知 ，令 ，则 ，作出其图象如图．
学科网（北京）股份有限公司易知，点 的轨迹可由正方形 右移1个单位长度，再上移1个单位长度得到，故B正确；
对于A，
，结合图象可得 的最小值即为点 到直线
（即点 ）的距离 ，此时 取得最小值3，故A错误；
对于C， 的最大值即为点 到点 的距离中的最大值
，故 的最大值为15，故C正确；
若 ，则 表示正方形及其内部区域，易知其面积为 ，故D错误．
故选：BC．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 分别为椭圆 的左､右焦点， 为椭圆上一点且 ，则 的面积为
.
【答案】
【解析】由椭圆 可知 ，
学科网（北京）股份有限公司故 ，结合 ，
可得 ，而 ，
故 为等腰三角形，其面积为 .
故答案为： .
13．已知点 、 、 ，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范
围是 .
【答案】
【解析】由 、 、 ，得 ， ，
如图所示：
因为过点C的直线l与线段AB有公共点，所以直线l的斜率 或 ，
即直线l的斜率 或 ，
所以直线l斜率k的取值范围 .
故答案为： .
14．已知动圆 经过点 及原点 ，点 是圆 与圆 的一个公共点，则当
最大时，圆 的半径为 .
【答案】
学科网（北京）股份有限公司【解析】因为动圆 经过点 及原点 ，记 的中点为 ，则圆心在 上，
如图：
记圆 半径为 ， ，则 ， ，
所以 ，
当 最大时， 最小，此时两圆外切.
由已知设动圆 的圆心为 ，
又圆 的圆心 ，半径 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以 ，即圆 的半径为 ，
此时圆 为 ，圆心 ， .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知直线 经过 .
(1)当直线的倾斜角为45°时，求直线 的方程；
(2)当直线 在两坐标轴上的截距相等时，求直线 的方程.
【解析】（1）由题意，直线 的倾斜角为45°时，可得直线 的斜率为 ，（2分）
又由直线 经过 ，所以直线 的方程为 ，（4分）
学科网（北京）股份有限公司即直线 的方程为 . （5分）
（2）当直线 过原点时，因为直线 经过 ，可得直线 的方程为 ，即 ； （7分）
当直线不过原点时，可设直线 的方程为 ，（8分）
因为直线 过点 ，可得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .（11分）
综上所述，直线 的方程为 或 .（13分）
16．（15分）已知以点 为圆心的圆与______，过点 的动直线l与圆A相交于M，N两点．
从 直线 相切； 圆 关于直线 对称．这2个条件中任选一
① ②
个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．
(1)求圆A的方程；
(2)当 时，求直线l的方程．
【解析】（1）选 ：因为圆A与直线 相切，
①
所以圆A的半径为 ，（2分）
因此圆A的方程为 ；（4分）
选 ：因为圆A与圆 关于直线 对称，
②
所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为 ，（2分）
所以圆A的方程为 .（4分）
（2）两种选择圆A的方程都是 ，
学科网（北京）股份有限公司当过点 的动直线l不存在斜率时，直线方程为 ，
把 代入 中，得 ，
显然 ，符合题意，（7分）
当过点 的动直线l存在斜率时，设为 ，
直线方程为 ，（9分）
圆心到该直线的距离为： ，（11分）
因为 ，所以有 ，
即方程为： .（14分）
综上所述：直线l的方程为 或 .（15分）
17．（15分）在平面直角坐标系 中，圆 的半径为 ，其圆心在射线 上，且
(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 过点 ，且与圆 相切，求直线 的方程；
(3)自点 发出的光线 射到 轴上，被 轴反射，其反射光线所在的直线与圆 相切，求光线
所在直线的方程.
【解析】（1）设圆心 ，
由于 ，所以 ，所以 ，（2分）
即圆心 的坐标为 ，则圆 的方程为 ；（4分）
（2）若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，
圆心 到直线 的距离 ，此时满足直线 和圆 相切；（5分）
学科网（北京）股份有限公司若直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 ，
因为直线 和圆 相切，
所以圆心 到直线 的距离 ，（7分）
即 ，平方得 ，
即 ，此时直线 的方程为 ，即 ，（9分）
所以直线 的方程为 或 ； （10分）
（3）取圆 关于 轴的对称的圆 ，即圆心 ，半径 ，
可知直线 与圆 相切，（11分）
若直线 的斜率不存在，则 ，
此时圆心 到直线 的距离 ，不合题意；（12分）
所以直线 的斜率存在，设为 ，则 ，即 ，
则 ，整理得 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .（15分）
18．（17分）已知三条直线 和 ，且 与 的距离是
．
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的值；
(2)能否找到一点 ，使同时满足下列三个条件：①点 是第一象限的点；②点 到 的距离是点 到
的距离的 ；③点 到 的距离与点 到 的距离之比是 ，若能，求点 的坐标；若不能，
请说明理由．
【解析】（1）因为直线 的方程可化为 ，（2分）
所以 与 的距离为 ．（4分）
因为 ，所以 ．（5分）
（2）设存在点 满足，则点 在与 ， 平行的直线 上，
且 ，即 或 ．（8分）
所以满足条件②的点满足 或 ．
若点 满足条件③，由点到直线的距离公式，有 ，即
，（12分）
所以 或 ，因为点 在第一象限，所以 不成立．
联立方程 和 ，解得 （舍去），（15分）
联立方程 和 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 即为同时满足条件的点.（17分）
19．（17分）已知圆C： 与圆 的相交弦长为 .
(1)求圆C的半径R的值；
(2)若对于 的圆，已知点 ，点 ， 在圆C上，直线 不经过点 ，且直线 ，
的斜率之和为2，求证：直线MN经过一定点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）依题意可知两圆的相交弦与x轴垂直，
联立方程组 ，（2分）
得 ，故有 ，
化简得 ，
故得 或 ，
故圆 的半径为 或 .（4分）
（2）由（1）及 可知 ，则圆 的方程为 ，（5分）
设 ， ，
当直线 的斜率存在时，则可设直线 的方程为 ，
代入圆的方程可得： ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司得 ，（7分）
且 ， ， （9分）
所以
.（12分）
又∵直线 ， 的斜率之和为2，∴ ，
化简得 ，（13分）
代入 ，得 ，
∴直线 恒过定点 .（14分）
当直线 的斜率不存在时， ， ， ，
∵直线 ， 的斜率之和为2， ∴ ，解得 ，
但 ，且 ，故不符合题意，舍去.（16分）
综上，直线 恒过定点 .（17分）
学科网（北京）股份有限公司
