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2023 级高二上学年入学考试数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章，选择性必修第一册第一章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知空间向量 ，且 ，则 （ ）
A. 10 B. 6 C. 4 D.
2. 若 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3. 若向量 ，且 ，则 （ ）
A. −8 B. 8 C. −2 D. 2
的
4. 某校为了了解学生 体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均
在 内.现将所有学生的体能测试成绩按 分成三组，绘制成如图所示的
频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿
者，则体能测试成绩在 内的被抽取的学生人数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5. 已知 是两个不同的平面， ， 是 内两条不同的直线，则“ ，且 ”是“ ”的（
）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为 ，则该圆台的体积 （ ）
A. B. C. D.
7. 图，在九面体 中，平面 平面 ，平面 平面
，底面 为正六边形，下列结论错误的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 平面 平面
D. 平面 平面
8. 如图，在棱长为12的正方体 中， 分别是棱 的中点，平面 与直
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学科网（北京）股份有限公司线 交于点 ，则 （ ）
A. 10 B. 15 C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知甲组数据为 ，乙组数据为 ，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（ ）
的
A. 丙组数据 中位数为5
B. 甲组数据的 分位数是2
C. 甲组数据的方差等于乙组数据的方差
D. 甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数
10. 记 的内角 的对边分别为 ，且 ， 的面
积为 ，则 的周长可能为（ ）
A. 8 B. C. 9 D.
11. 已知边长为 的正三角形 的三个顶点都在球 的表面上， 为球 表面上一动点，且 不在
平面 上，当三棱锥 的体积最大时，直线 与平面 所成角的正切值为2，则下列结论
正确的是（ ）
A. 球 的表面积为
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学科网（北京）股份有限公司B. 的最大值为10
C. 三棱锥 体积的最大值为
的
D. 当三棱锥 体积最大时，若点 与点 关于点 对称，则三棱锥 的体积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知空间向量 ，若 共面，则 __________.
13. 已知数据 的极差为6，且 分位数为 ，则 __________.
14. 如图，平行六面体 的所有棱长均为 两两所成夹角均为 ，点
分别在棱 上，且 ，则 __________；直线 与 所成角的余
弦值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆
重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万
平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企
业对此次展览进行评分，分值均在 内，并将部分数据整理如下表：
分数
频数 10 10 20 20
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学科网（北京）股份有限公司（1）估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；
的
（2）估计这100家企业评分 平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
16. 记 的内角 的对边分别为 .已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，在 边上存在一点 ，使得 ，求 的长.
的
17. 如图，在三棱锥 中， 为 中点，平面 平面 是等腰直角三角形，
.
（1）证明： ；
（2）求二面角 的正弦值.
18. 如图，甲船在点 处通过雷达发现在其南偏东 方向相距20海里的 处有一艘货船发出供油补给
需求，该货船正以15海里/时的速度从 处向南偏西 的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距
海里的 处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在 处会合．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的长；
（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？
19. 将菱形 绕直线 旋转到 的位置，使得二面角 的大小为 ，连接 ，
得到几何体 .已知 分别为 上的动点且
.
（1）证明： 平面 ；
（2）求 的长；
（3）当 的长度最小时，求直线 到平面 的距离.
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学科网（北京）股份有限公司2023 级高二上学年入学考试数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章，选择性必修第一册第一章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ACD
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学科网（北京）股份有限公司【10题答案】
【答案】AB
【11题答案】
【答案】BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
【12题答案】
【答案】0
【13题答案】
【答案】5
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）96，5.8
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）70海里
（2）2小时
【19题答案】
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
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