文档内容
辽宁省实验中学高三年级 10 月份月考数学
试卷满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 若 ，则 是 的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件.
【详解】对于 ，则 ，解得 ；
对于 ，则 ，解得 ；
因为 是 的真子集，
所以 是 的充分不必要条件.
故选：A.
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由条件得到 ，化弦为切，代入求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C
3. 已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 在 上恒大于0，且单调递增，可求 的取值范围.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，所以 .且 在 恒大于0，所以 或 .
综上可知： .
故选：B
4. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 为非零实数），则
下列结论错误的是（ ）
A. 当 时， 是直角三角形 B. 当 时， 是锐角三角形
C. 当 时， 是钝角三角形 D. 当 时， 是钝角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理化简已知可得 ，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三
边等知识逐一分析各个选项即可得解．
【详解】对于选项 ，当 时， ，根据正弦定理不妨设 ， ，
，
显然 是直角三角形，故命题正确；
对于选项 ，当 时， ，根据正弦定理不妨设 ， ， ，
显然 是等腰三角形， ，
说明 为锐角，故 是锐角三角形，故命题正确；
对于选项 ，当 时， ，根据正弦定理不妨设 ， ， ，
可得 ，说明 为钝角，故 是钝角三角形，故命题
正确；
对于选项 ，当 时， ，根据正弦定理不妨设 ， ， ，
此时 ，不等构成三角形，故命题错误.
故选：D.
5. 耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪
音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所
示），已知噪音的声波曲线是 ，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是
（其中 ， ， ），则 （ ）.A. B. C. π D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即 ，
所以 ，要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是 ，即
，
因为 ，所以令 ，即 ，
故选：D.
6. 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 且 在 区 间 单 调 递 减 ， 若 ， 且 满 足
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得 的取值范围.
【详解】依题意， 是偶函数，且在区间 单调递减，公众号：高中试卷君
由 得 ，
所以 ，所以 或 ，
所以 或 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
7. 已知正数 ，满足 ，则下列说法不正确的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令 ，则 ，对于A，直接代入利用对数的运算
性质计算判断，对于B，结合对数函数的单调性分析判断，对于 C，利用作差法分析判断，对于D，对
化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断.
【详解】令 ，则 ，
对于A， ，所以A正确，
对于B，因为 在 上递增，且 ，
所以 ，即 ，
即 ，所以 ，所以B正确，
对于C，因为
，
所以 ，所以C错误，
对于D， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以D正确，
故选：C8. 设函数 在 上至少有两个不同零点，则实数 取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先令 得 ，并得到 ，从小到大将 的正根写出，
因为 ，所以 ，从而分情况，得到不等式，求出答案.
【详解】令 得 ，
因为 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，
从小到大将 的正根写出如下：
， ， ， ， ， ……，
因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ，解得 ，
此时无解，
当 ，即 时， ，解得 ，此时无解，
当 ，即 时， ，解得 ，
故 ，
当 ，即 时， ，解得 ，
故 ，当 时， ，此时 在 上至少有两个不同零点，
综上， 的取值范围是 .
故选：A
【点睛】方法点睛:在三角函数 图象与性质中， 对整个图象性质影响最大，因为
可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解 的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，
除掌
握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小
正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据解析式直接判断奇偶性与单调性即可求解.
【详解】选项A： 为奇函数不是增函数，选项B： ，为奇函数和增函数，
选项C： 为奇函数和增函数，选项D： 不是奇函数.
故选：BC.
10. 函数 ，（ ， ）部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 解析式为
B. 函数的单调增区间为
C. 函数 的图象关于点 对称D. 为了得到函数 的图象，只需将函数 向右平移 个单位长度
【答案】AB
【解析】
【分析】由题意求出 的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC；由三角函数的
平移变换可判断D.
【详解】对于A，由图可知， ，又因为
由 ，则 ，
两式相减得：
，所以 ①，
又因为 ，
所以 ，结合①， ，
因为 ，所以
所以 ，故A正确；
对于B， ，
解得： ，故B正确；
对于C，令 ，解得： ，
函数 的图象关于点 对称，所以C不正确；
对于D，将函数 向右平移 个单位得到 ，故D不
正确.
故选：AB.11. 已知函数 ，若 有 6 个不同的零点分别为
，且 ，则下列说法正确的是（
）
A. 当 时，
B. 的取值范围为
C. 当 时， 的取值范围为
D. 当 时， 的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】对 A选项，对 求导，得到其最值即可判断，对 B 选项，将 看成整体解出
或 ， 通 过 图 像 找 到 所 在 位 置 ， 依 据 ， 假 设
通过消元解出 范围，再通过数形结合求出 的范围，两者比较即可，对C,D通过减
少变量，将式子化为 ，然后转化为 的范围进
行分类讨论即可判断.
详解】当 时， ，此时 ，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
∴当 时， ，故A正确；
作出如图所示图像：由 有6个不同的零点，
等价于 有6个不同的实数根，
解得 或 ，
∵ ，∴若 ，可得 ，而当 时， ，
可得 ，而 ；
当 时， ，可得 而 ，
故 的范围为 的子集， 的取值范围不可能为 ，故B选项错误；
该方程有6个根，且 ，知 且 ，
当 时， ，
，联立解得 ，
，故C正确；
当 时， ，
，联立解得 ，
．故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点睛：本题的关键点是对 的理解，将 看成一个 ，解出其
值，然后通过图像分析，转化为直线 与图像的交点情况，对于C,D选项式子，我们谨记要减
少变量，将其转化为一个或两个变量的相关式子，常见的如 ，有两根，则 ，如一元二
次方程 存在实数解，则 .
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 ，则 用 表示 ______．【答案】
【解析】
【分析】根据换底公式及对数运算计算.
【详解】 .
故答案为： .
13. 已知 ，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】我们可以通过对已知等式进行变形，将 表示成一个关于 或 的函数，再根据函数的性
质求出最小值.
【详解】 ，我们可以将其变形为 .
可得 ，即 ，那么 .
当 时， .
设 ， ，则 .
根据二倍角公式 ， ，
则 .
由辅助角公式 （其中 ），
这里 ， ，则 ，其最小值为 .
当 时，同理可得 的最小值也是 .
故答案为：
14. 在锐角 中，角 的对边分别为 ， 的面积为 ，满足 ，
若 ，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】【分析】由 结合余弦定理和面积公式可得 ，再利用同角三角函数的关
系可求得 的值，由 化简得 ，由三角函数的性质求出 的范
围，从而可求出 的最小值.
【详解】因为 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
因为 ，所以 ，
在锐角 中，有 ， ，则 ，
所以 ，
因为
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
所以
，设 （ ），则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查基本不
等式的应用，解题的关键是利用余弦定理和三角形的面积公式对 化简变形，考查计算能
力，属于难题.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联
表：
男学生 女学生 合计
喜欢跳绳 35 35 70
不喜欢跳绳 10 20 30
合计 45 55 100
（1）依据 的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？
（2）已知该校学生每分钟的跳绳个数 ，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.
假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳
绳个数在 内的人数（结果精确到整数）.公众号：高中试卷君
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
若 ，则 ，
.
【答案】（1）不能 （2） 人
【解析】【分析】（1）首先假设 ，再计算 ，并和参考数据比较，即可作出判断；
（2）转化为训练前 的人数估计.由题意得 的值，则 即 ，利用正
态曲线的对称性与区间的概率参考数据
【小问1详解】
：学生的性别和是否喜欢运动无关.
，
所以根据 的独立性检验，不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关.
【小问2详解】
训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数 ，
则 ， ， ，
即训练前学生每分钟的跳绳个数在 ， ， ，
，
由 （人）
估计训练前该校每分钟的跳绳个数在 内的人数为 .
即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在 内的人数为 .
16. 已知函数 ．
（1）若 在R上单调递减，求a的取值范围；
（2）若 ，判断 是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）
（2） 有最大值，最大值为e
【解析】
【分析】（1）求导，得到 恒成立，根据根的判别式得到不等式，求出a的取值范围；
（2）求导，得到函数单调性，从而求出函数的最大值.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
因为 在R上单调递减，所以 恒成立，
所以 ， ，所以a的取值范围是 ．【小问2详解】
当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以当 时， 单调递增，当 ， 时， 单调递减，
当 时， ，
又 时， ，
所以 有最大值，最大值为e．
17. 已知数列 的前n项和为 ，数列 满足 ， ．
（1）证明 是等差数列；
（2）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有 成立．若存在，求出a、b的值；若
不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在 ， .
【解析】
【分析】(1)由数列 的前n项和为 ，可求得 ， ，再由等比数列的定
义证明即可.
(2)根据题意可求得 ， ，代入 中得
，只需满足以 即可，从而求解 的值即可.
【小问1详解】
解：证明：因为数列 的前n项和为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 ，满足 ，
所以数列 的通项公式为 ， ，
所以 ， ，
所以 是等差数列；
【小问2详解】
解：因为 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；
所以 ，
要使对一切正整数n都有 成立．
即 ，
即 ，
所以 ，解得 .
故存在常数 ，当 时，对一切正整数n都有 成立.
18. 在 中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足 ．
（1）求角B；
（2）若 ，求 面积的最大值；
（3）求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；公众号：高中试卷君
（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理以及基本不等式求解即可；
（3）利用正弦定理边角互化将原式转化为 ，然后令
，将原式化为： ，最后结合二次函数性质求解值域.
【小问1详解】
因为 ，根据正弦定理得： ，
且 ，
可得 ，
即 ，
又因 ，则 ，
可得 ，整理可得 ，
且 ，则 ，
可得 ，解得 .
【小问2详解】
由余弦定理得： ，即 ，
可得 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的面积为： ，
故 面积的最大值为 .
【小问3详解】
根据正弦定理得：
，
令 ，则 ，
可得 ，将原式化为： ，
因 ，则 ，可得 ，
根据二次函数的图像性质得到，
当 时，原式取得最小值， ；
当 时，原式取得最大值， ；
故 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：对于（3）：对于已知角的范围问题，解题关键是利用正弦定理边化角，再利用三
角恒等变换化简整理，进而根据三角函数有界性分析求解.
19. 已知集合 是具有下列性质的函数 的全体，存在有序实数对 ，使
对定义域内任意实数 都成立.
（1）判断函数 ， 是否属于集合 ，并说明理由；
（2）若函数 （ ， 、 为常数）具有反函数，且存在实数对 使 ，
求实数 、 满足的关系式；
（3）若定义域为 的函数 ，存在满足条件的实数对 和 ，当 时， 值
域为 ，求当 时函数 的值域.
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知中集合 的定义，分别判断两个函数是否满足条件，可得结论；
（2）假定 ，求出的 的关系；
（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立将 用 代替，两等式结合得到函数的递推关系；
用不完全归纳的方法求出值域．
【详解】解：（1）当 时，
不是常数，所以 ；
当 时， ，故存在有序实数对 ，
使得 对定义域内的任意实数都成立．故 ．
（2）因为 ，所以 对定义域内的任意实数都
成立，∴ ， ∴ ，
∴ ．
当 时， ，此时 无反函数，
当 时， 存在反函数符合题意．
故 ．
（3）依题意得 且 ，
在 中，则有 ，
当 时， ， ，
∴ 时， ，
又∵ 则有 ，即
故 ，即 ，则有 ，
∴ 时， ，
时， ，
时， ，
…
以此类推可知： 时， ，
故 时， ，
综上所述： 时， ．
【点睛】本题考查了反函数，属难题．
