文档内容
湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期月考(四)
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1
1.已知i为虚数单位,则 =
i5
A. i B. -i C. 1 D. -1
2.已知集合M={x∣m0 的焦点，A，B是C上不同于C的顶点的两点,以A和B为切点的两条
切线相交于点D,若AF =2DF =4,则BF =
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
数学试题 第 1 页 共 10 页二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数fx
π
=5sin2x-
4
,则
A. fx 的最小正周期为π B. fx
π
的图象关于点 ,0
8
对称
π
C. x= 是fx
2
图象的一条对称轴 D. fx
π
在0,
2
上单调
x2 y2
10.已知F 1 ,F 2 分别是椭圆C: a2 + b2 =1a>b>0 的左、右焦点,点P,Q是椭圆C上两点,PQ交x轴于
点F ,线段PF 的中点为A,AQ平分∠PQF ,S =2S ,则
2 1 1 △PF1F2 △QF1F2
A. PF 2 =2QF 2 B. △PQF 的周长为2a+2b 1
C. QF 1
3 3
= a D. 椭圆C的离心率为 2 3
11.对于定义域为D的函数fx ,若存在x 0 ∈D.使得fx 0 =x 0 ,则称x 0 为fx 的不动点.已知fx =-x3+
ax2+bx+ca≠0 有三个零点x 1 ,x 2 ,x 3x 1 2- .
n n+2
17.如图，在棱长都为2的正三棱柱ABC-A B C 中，D为侧面BCC B 的中心，E为AC的中点，点F为棱
1 1 1 1 1
B C 上一动点(不包含端点).
1 1
(1)证明:AB ⎳平面A DE;
1 1
2 5
(2)若直线AA 与直线EF所成角的余弦值为 ，求EF.
1 5
A C
1 1
F
B
1
D
A C
E
B
数学试题 第 3 页 共 10 页18.已知函数fx
4-x
=ln +ax-2
x
.
(1)当a=1时，求fx 的单调区间；
(2)证明:曲线y=fx 是中心对称图形；
(3)当a=0时,设gx =ln4-x -fx ,证明:∀1
2
.
ex-1-1
x2 y2
19.已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
3
的一条渐近线的倾斜角为150°,且C经过点-2,
3
.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，动点M满足过M能作出C的两条互相垂直的切线,记切点分别为点A,B.
(i)求动点M的轨迹方程；
(ii)若记△AOB的面积为S 1 ,△AMB的面积为S 2 求S 2 -S 1 的最大值.
数学试题 第 4 页 共 10 页参考答案
1. B
1 1
【解析】因为i5=i,所以 = =-i.
i5 i
2. D
m≥0,
【解析】由M⊆N得
解得0≤m≤4.
m+2≤6,
3. B
【解析】从数字4,5,6,7,8中随机抽取两个数有C2=10个基本事件;都是奇数的情况只有5,7,故P
5
1
= .
10
4. A
【解析】如图所示，AC=EC-EA=b-a，又E为BD的中点，所以BD=2ED=EA+ED=a+b，则DB
=-a-b.
A
D
E
B C
5. C
sinβ -3sinα
【解析】由条件得 = ,所以cosαsinβ=-3sinαcosβ,
cosβ cosα
sinα+β
sinα-β
sinαcosβ+cosαsinβ -2sinαcosβ 1
= = =- .
sinαcosβ-cosαsinβ 4sinαcosβ 2
6. B
【解析】要使得到的几何体的表面积最大,只需增加的面积S=2πr×4-2πr2=8πr-2πr2取得最大值,
8π
当r=-
2×-2π
=2时,S取得最大值.
7. B
a
【解析】由3b-2a=log =log a-log b得,3b+log b=2a+log a,因为b>0,所以3b>2b,
6b 6 6 6 6
则2b+log 6 b<2a+log 6 a,因为fx =2x+logx在0,+∞ 上单调递增,且fb 0,所以4b>3b,所以4b+log 6 b>2a+log 6 a,则22b+log 62b >2a+log 6 a,即f2b >fa ,所
以2b>a,综上可知,b0，所以fx
1
在-∞,-
3
,1,+∞
1
上单调递减，在- ,1
3
上单调递增，
因为x2≥0,x2+1≥0,所以当x2>1时,fx2 >fx2+1 ,B错误;
fx =-x3+ax2+bx+c=-x-x 1 x-x 2 x-x 3
数学试题 第 6 页 共 10 页=- x3-x 1 +x 2 +x 3 x2+x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 2 x 3 x-x 1 x 2 x 3 .
所以x +x +x =a,x x +x x +x x =-b,x x x =c,
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
a 4c
又x 1 +x 3 =3x 2 ,所以x 2 = 4 ,所以x 1 x 3 = a ,则-b=x 2x 1 +x 3
a 3a 4c
+x x = × + , 1 3 4 4 a
3a3+64c
整理得 =-16,C正确;
ab
设fx =-x-x 1 x-x 2 x-x 3 ,则fx =-x-x 2 x-x 3 -x-x 1 x-x 2 x-x 3
=- x-x 2 x-x 3 +x-x 1 x-x 3 +x-x 1 x-x 2 ,
则fx 1 =-x 1 -x 2 x 1 -x 3 ,fx 2 =-x 2 -x 1 x 2 -x 3 ,fx 3 =-x 3 -x 1 x 3 -x 2 ,
fx 3
fx 1
+ fx 3
fx 2
x -x x -x x -x =- 3 2 - 3 1 =- 2 1 =-1,D正确.
x -x x -x x -x 1 2 2 1 2 1
π
12.
3
2 3 a a 2
【解析】由正弦定理得， = ,由2sinA=acosB得， = ，
sinB sinA sinA cosB
2 3 2
则 = ，所以tanB= 3，又B∈0,π
sinB cosB
π
，所以B= .
3
e2 13. e,
2
【解析】fx
x-1
=
ex
,当01时,fx >0,所以fx 在0,1 上单调
递减，在1,+∞ 上单调递增,则1是fx
f1
的极小值点,由题意可知,
=e-m<0,
f2
e2 解得e0,
2n+2
故S >2- .
n n+2
17.(1)证明:连结B C,因为D为正方形BCC B 的中心,所以D为B C的中点,
1 1 1 1
则DE为△AB C的中位线,所以DE⎳AB ,
1 1
又DE⊂平面A DE,AB ⊄平面A DE,所以AB ⎳平面A DE.
1 1 1 1 1
(2)连结BE，则BE⊥AC，以E为原点，以EB,EC所在直线为x,y轴，以过E垂直于平面ABC的直线为
z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则E0,0,0 ,A0,-1,0 ,A 10,-1,2 ,B 1 3,0,2 ,C 10,1,2 ,
AA 1 =0,0,2
,EB 1 = 3,0,2
,B 1 C 1 =- 3,1,0 ,
设B 1 F=tB 1 C 1 =- 3t,t,0 0
1
4 2 5
= = ,
2⋅ 4t2-6t+7 5
整理得2t2-3t+1=0,
1
解得t= 或t=1(舍去),
2
3 1
则EF= , ,2
2 2
,故EF=EF = 5.
18.易知fx 的定义域为0,4 ,(1分)
(1)当a=1时，fx
1 1 4
=- - +1=-
4-x x x4-x
-4+4x-x2
+1=
x4-x
-x-2
=
2
x4-x
,
因为0x-2
4-x
，
x
令t= t>1
4-x
4t 4t
,则x= ,所以lnt> -2
t+1 t+1
2t-1
=
,
t+1
2x-1
则∀1
2x-1
.即x+1>
x+1
,
lnx
又gx =ln4-x -fx
x-1
=lnx,要证∀1
2 2ex-1
,需证
ex-1-1
2x-1
>
x-1
,
lnx
2ex-1-1
需证
>x+1
x-1
,即证2ex-1-1>x2在1,4 上恒成立.
设hx =2ex-1-x2-1,10,
所以mx 在1,4 上单调递增,则hx =mx >m1 =0,所以hx 在1,4 上单调递增,(16分)
则hx >h1 =0,因此2ex-1-1>x2在1,4 上恒成立,故∀1
2
.
ex-1-1
x2 y2
19.(1)由双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
b 3
的一条渐近线的倾斜角为150°得,- =tan150°=- ,则
a 3
a= 3b,
3
又C经过点-2,
3
4 1
，所以 - =1，
a2 3b2
解得a= 3,b=1,
x2
故双曲线C的标准方程为 -y2=1
3
(2)(j)当直线AM,BM中有一条直线的斜率不存在时,根据AM上BM，则另一条直线与双曲线C必然
相交，所以直线AM,BM的斜率都存在.
设直线AM的斜率为k 1 ,Ax 1 ,y 1 ,则y-y 1 =k 1x-x 1 ,
y-y 1 =k 1x-x 1
由{
,
x2 整理得1-3k 1 2 -y2=1,
3
x2-6k 1y 1 -k 1 x 1 x-3k 1 2x2 1 -2k 1 x 1 y 1 +y2 1 +1 =0,
则Δ=36k 1 2y 1 -k 1 x 1 2+121-3k 1 2 k 1 2x2 1 -2k 1 x 1 y 1 +y2 1 +1 =0,(5分)
整理得,k 1 2x2 1 -2k 1 x 1 y 1 +y2 1 +1-3k 1 2=0,即x2 1 -3 k2-2k x y +y2+1=0, 1 1 1 1 1
x2 x2 x2
又 1 -y2=1，所以y2+1= 1 ,x2-3=3y2，则3k2y2-2k x y + 1 =0，
3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 3
所以3k 1 y 1 -x 1
x
2=0,解得k = 1 . 1 3y
1
x
则直线AM的方程为y-y 1 = 3y 1 x-x 1
1
xx
,即 1 -yy =1, 3 1
设直线BM的斜率为k 2 ,Bx 2 ,y 2 ,则y-y 2 =k 2x-x 2 ,
x xx
同理得,k = 2 ,直线AM的方程为 2 -yy =1,
2 3y 3 2
2
设Mx 0 ,y 0
x x x x
,则点M在直线AM上,所以 0 1 -y y =1,点M在直线BM上,所以 0 2 -y y =1, 3 0 1 3 0 2
x x
所以直线AB的方程为 0 -y y=1.
3 0
x x
0 -y y=1,
3 0
由 x2 整理得3y2 0 -x2 0
-y2=1,
3
x2+6x x-9y2-9=0, 0 0
则3y2 0 -x2 0 ≠0,Δ=36x2 0 +36y2 0 +1 3y2 0 -x2 0 >0,
数学试题 第 9 页 共 10 页6x 6y2+9
x +x =- 0 ,x x =- 0 ,
1 2 3y2-x2 1 2 3y2-x2
0 0 0 0
所以y y = x 1 x 0 -3
1 2
x 2 x 0 -3 = x 1 x 2 x2 0 -3x 0x 1 +x 2
9y2
0
9y2+9 6x
- 0 x2-3x - 0
+9 3y2-x2 0 0 3y2-x2 = 0 0 0 0
9y2
0
+9
9y2
0
3-x2
= 0 ,
3y2-x2
0 0
9y2+9
- 0
x x 3y2-x2 因为AM⊥BM,所以k k = 1 2 = 0 0
1 2 9y y 3-x2
1 2 9 0
3y2-x2
0 0
= -y2 0 +1 =-1,
3-x2
0
整理得x2+y2=2;
0 0
6 2
因为双曲线C的渐近线与x2+y2=2交于点 ,±
2 2
6 2
和- ,±
2 2
,
6
故动点M的轨迹方程为x2+y2=2x≠±
2
.
x x
(ii)由(i)可知,直线AB的方程 0 -y y=1,
3 0
点Mx 0 ,y 0
6
满足x2+y2=2(- 2≤x ≤ 2,且x≠ ),则y2=2-x2,x2=2-y2, 0 0 0 2 0 0 0 0
1 3
原点O到直线AB的距离为d = - ,
1
x2 x2+9y2
0 +y2 0 0
9 0
x2
0 -y2-1
3 0 点M到直线AB的距离为d =
2
= x2 0 -3y2 0 -3
x2
0 +y2
9 0
= x2 0 -32-x2 0
x2+9y2
0 0
-3 9-4r = ,
x2+9y2 x2+9y2
0 0 0 0
所以AB x2 = 1+ 9y 0 2 ⋅ x 1 +x 2
0
9y2+x2 6x 2-4x x = 0 0 ⋅ - 0 1 2 9y2 3y2-x2
0 0 0
2 + 36y2 0 +1 3y2-x2
0 0
=2 9y2 0 +x2 0 ⋅ x2 0 +y2 0 +1
y2 0
3y2 0 -x2 0
3y2 0 -x2 0
=2 9y2 0 +x2 0 ⋅ 2-y2 0 +y2 0 +1
2 y2 0
3y2 0 -2+y2 0
3y2 0 -x2 0 2
4y2+1
=2 9y2+x2⋅ 0
0 0 3y2 0 -x2 0
,
则S 2 -S 1 1 = AB 2 ⋅d 2 -d 1 1 4y2+1 = ×2 9y2+x2⋅ 0 2 0 0 3y2 0 -x2 0 ⋅ 6-4x2 0 = 4y2 0 +1⋅6-4x2 0 x2+9y2 0 0 32-x2 0 -x2 0 = 4y2+1, 0
1
又y2 0 ≤2且y2 0 ≠ 2 ,当y 0 =± 2时,S 2 -S 1 取得最大值3.
数学试题 第 10 页 共 10 页
