重庆市涪陵第五中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（含答案）_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷_1008重庆市涪陵第五中学2024-2025学年高三上学期开学考试

重庆市涪陵第五中学 2024-2025 学年高三上学期
开学考试数学试题
（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.命题"∀x>1,x2−m>1"的否定是( ) A.参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多
A.∃x>1,x2−m≤1 B.∃x≤1,x2−m≤1
B.全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多
C.∀x>1,x2−m≤1 D.∀x≤1,x2−m≤1 C.若n=50,依据α=0.01的独立性检验,可以认为游泳运动的喜好和性别有关
2.已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式一定成立的是( ) D.若n=100,依据α=0.01的独立性检验,可以认为游泳运动的喜好和性别有关
1 1 a b 4
A. < B.a2>b2 C.a|c|>b|c| D. > 5.已知函数f(x)=x+ +3lnx在x∈(a,2−3a)内有最小值点，则实数a的取值范围是( )
a b c2+1 c2+1 x
1 1 1
x2 A.a>1 B. <a<1 C.0≤a< D.0≤a<
3.函数f(x)= 的图象可能是( ) 3 3 2
2|x|−2
6.由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，
为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了
A. B. C. D. 骄人的成绩.某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该
公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一
年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是( )
4.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关,在全校学生中选取了男、女生各n人进行调查,并绘制如
(参考数据：lg1.09≈0.0374,lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)
下图所示的等高堆积条形图,故由此估算所得选项正确的是( )
A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年
n(ad−bc) 2
参考公式及数据:χ2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d.
7.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x−1)，且当x∈[−1,1)时， f(x)={
log
0.5
(1−x),−1≤x≤0
，若
−|x|,0<x<1
函数g(x)=f(x)−mx在x∈[0,5]上恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为( )
1 1 1 1 1
A.(− ,− ) B.(−∞,− ) C.(− ,0) D.(− ,0)
3 5 5 5 3
8.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去
询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从
这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为( )
A.44 B.46 C.48 D.54
二、 多选题 （本题共计3小题，总分18分）9.（6分）已知数据x ,x ,x ,⋯,x ,满足x −x =2(2≤i≤10),若去掉x ,x 后组成一组新数据,则新数据与原 (1)根据经验可知原材料投入x(万元)与利润y(万元)间具有线性相关关系，求利润y(万元)关于原材料投入x(万元)
1 2 3 10 i i−1 1 10
数据相比，下列说法正确的是( ) 的线性回归方程；
A.中位数不变 (2)当原材料投入为100万元时，预估该产品的利润为多少万元？
B.若x =1,则数据x ,x ,x ,⋯,x 的第75百分位数为13
1 1 2 3 10 n
∑(x −x)(y −y)
C.平均数不变 ^ i i
附：b= i=1 ，a ^ = y−b ^ x.
n
D.方差变小 ∑❑(x −x) 2
i
i=1
10.（6分）若f(x)=(2−x) 20=a +a x+a x2+⋅⋅⋅+a x20 ，则( )
0 1 2 20
16.（15分）已知函数f(x)=ax2+x−ln⁡x(a∈R).
A.(2−x) 20的展开式中奇数项的二项式系数之和为210
(1)当a=0时，过点(0,0)作y=f(x)的切线，求该切线的方程；
B.a +a +⋅⋅⋅+a =1−220
(2)若函数g(x)=f(x)−x在定义域内有两个零点，求a的取值范围.
1 2 20
17.（15分）某物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一项基本操作：每位参赛选手从A类
C.a =−40
19
7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从B类
D.f(−1)除以10的余数为9
5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步操作得分
11.（6分）设f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数,且f(x)为单调函数,f(1)>1,若对任意x∈R有
总和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题
f(g(x)−x)=a(a为常数),g(f(x+2))+g(f(x))=2x+2,则( )
2
n
中每题正确操作的概率均为 ，且各题操作互不影响.
A.g(2)=0 B.f(3)<3 C.f(x)−x为周期函数D.∑❑f(4k)=2n(n+1) 3
k=1
(1)求李明被终止比赛的概率；
三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分）
(2)求李明获一等奖的概率；
12.若a>0,b>0,lga+lg⁡b=1,则a+b的最小值为_________.
(3)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后总分的期望.
1 √−x2+2x+3
13.函数y=(
2
) 的值域为_________. 18.（17分）已知函数f(x)=2lnx− 4 − a −2.
x x2
14.设定义域为R的函数f(x)的导函数为f′ (x)，对任意的x∈R有f(x)−f(−x)=2sinx恒成立，且 (1)当a=−3时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)有唯一的极值点x ，
0
f′ (x)>cos⁡x在(0,+∞)上成立.若f( π −t)−f(t)>cos⁡t−sin⁡t，则实数t的取值范围为__________. ①求实数a取值范围；
2
②证明：x2 ⋅f(x )+2x2 ⋅e1−x 0+1≥0.
四、 解答题 （本题共计5小题，总分77分） 0 0 0
15.（13分）某工厂统计了某产品的原材料投入x(万元)与利润y(万元)间的几组数据如下：
19.（17分）在不大于kn (k,n∈N∗,k≥2)的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为F (n).
k
(1)求F (4)，F (3)的值；
2 3
(2)求F (n)关于n的表达式；
6n
5
(3)记[x]表示不超过x的最大整数，若S =∑❑ ，探究[S ]是否为定值，若是，求其值；若不是，请
n F (i)−1 n
i=1 6
说明理由.答案 2×2×2×A2=16;综上，该5名同学可能的名次排情况种数为18+12+16=46种。
2
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.【答案】A
间接法：甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有A3
种排法，共有
3
2.【答案】D
3.【答案】B 3×3×A3=3×3×3×2×1=54种不同的情况；但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排
3
4.【答案】D
5.【答案】C 乙，也有2种情况；余下2人有A2 种排法，故共有2×2×A2=2×2×2×1=8种不同的情况，从而该5名同学
2 2
6.【答案】C
可能的名次排情况种数为54−8=46种。
7.【答案】A
二、 多选题 （本题共计3小题，总分18分）
【解析】因为定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x−1)，即f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为2的函数，
9.（6分）【答案】ACD
由g(x)=f(x)−mx=0，可得f(x)=mx，且函数y=f(x)与y=mx的图象在区间[0,5]上有4个交点，作出函
10.（6分）【答案】BC
数y=f(x)与y=mx的大致图象，
11.（6分）【答案】BCD
【解析】在f(g(x)−x)=a中，且f(x)，g(x)，都是定义在R上的奇函数，令x=0得a=f(g(0))=f(0)=0，
则f(g(x)−x)=0，又f(x)为单调函数，则必有g(x)−x=0，即g(x)=x，所以f(x+2)+f(x)=2x+2，所以
g(2)=2，所以A错误；由f(3)+f(1)=4，且f(1)>1得f(3)=4−f(1)<3，所以B正确；设ℎ(x)=f(x)−x，
则由f(x+2)+f(x)=2x+2，
3m>−1 1 1
可得ℎ(x+2)+ ℎ(x)=0，所以ℎ(x+4)+ ℎ(x+2)=0，所以ℎ(x+4)= ℎ(x)，即ℎ(x)=f(x)−x为周期函
由图象可知{ ，解得− <m<− ，
5m<−1 3 5
数，所以C正确；由ℎ(x+4)= ℎ(x)，得f(x+4)−x−4=f(x)−x，即f(x+4)−f(x)=4，
即实数m的取值范围为(−
1
,−
1
)
所以{f(4k)}为等差数列，且f(4)−f(0)=4，即f(4)=4，故f(4k)=4+4(k−1)=4k，从而
3 5
8.【答案】B
n n(n+1)
【解析】由题意可知为该问题为“多重限制的排列问题”：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是最 ∑f(4k)=4× =2n2+2n=2n(n+1)。
2
k=1
后一名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：①甲排第
三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分）
12.【答案】2√10
二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有A3 种排法，则有1×3×A3=18;
3 3
1
13.【答案】[ ,1]
4
②甲排第三、四位,乙排第二位,包含丙的余下3人有A3 种排法，则有2×1×A3=12;
3 3
π
14.【答案】(−∞， )
4
③甲排第三、四位,乙不排第一、二位,即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有A2
种排法，则有
2
【解析】设g(x)=f(x)−sin⁡x，则g(−x)=f(−x)+sin⁡x，又f(x)−f(−x)=2sinx，即
g(x)+sin⁡x−g(−x)+sin⁡x=2sinx，即g(x)=g(−x)，则函数g(x)为偶函数，当x>0时，g′ (x)=f′ (x)−cos⁡x>0，可得函数g(x)在(0，+∞)单调递增，由偶函数性质可得函数g(x)在(−∞，0)单调 y =x −ln⁡x
0 0 0
1
则可得方程组 { 1 y −0，可化为ln⁡x =1，解得x =e，y =e−1，k=1− ，
k=1− = 0 0 0 0 e
x x −0
π π π 0 0
递减。由f( −t)−f(t)>cos⁡t−sin⁡t，可得f( −t)−sin⁡( −t)>f(t)−sin⁡t，
2 2 2
1 1
故所求切线方程为y−(e−1)=(1− )(x−e)，即y=(1− )x；
π π π π e e
即g( −t)>g(t)，故| −t|>|t|，解得t< .故实数t的取值范围为(−∞, ).
2 2 4 4
lnx lnx 1−2lnx
(2)由g(x)=f(x)−x，得a= ，令ℎ(x)=
，求得ℎ
′ (x)=
，
四、 解答题 （本题共计5小题，总分77分） x2 x2 x3
^ ^ ^
15.（13分）(1)设利润y(万元)关于原材料投入x(万元)的线性回归方程为y=bx+a，
令ℎ ′ (x)>0得0<x<√e，令ℎ ′ (x)<0得x>√e，故ℎ(x)在(0,√e)上单增，在(√e,+∞)上单减，
1 1
由已知x= 5 (82+84+85+86+88)=85，y= 5 (770+800+830+850+900)=830， 且ℎ(x) = ℎ(√e)= 1 ， lim ℎ(x)=−∞, lim ℎ(x)=0
max 2e x→0 x→+∞
5 lnx
则∑(x
i
−x)(y
i
−y)=(−3)×(−60)+(−1)×(−30)+0+1×20+3×70=440， 分别作出函数ℎ(x)=
x2
的图象和y=a，
i=1
5
∑❑(x −x) 2=9+1+0+1+9=20，
i
i=1
5 lnx
^
∑(x
i
−x)(y
i
−y) 如图所示，g(x)在定义域内有且仅有两个零点,即ℎ(x)=
x2
和y=a有且只有两个交点，由图象可知，a的取值
所以b= i=1 =22，a ^ = y−b ^ x=830−22×85=−1040，所以利润y(万元)关于原材料投入x(万
5
∑❑(x −x) 2 1
i
i=1 范围是(0, ).
2e
17.（15分）(1)设“李明被终止比赛”事件为M,M表示选出的4题2题不会操作且2题会操作，
^
元)的线性回归方程为y=22x−1040；
C2C2
2
故李明被终止比赛的概率P(M)= 2 5= ;
(2)由(1)当x=100时，y ^ =22×100−1040=1160，所以当原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为1160 C
7
4 7
(2)设李明获一等奖的事件为N，事件N即A类4道题全部操作正确，且B类3道题全部操作正确，故由独立事件
万元.
1
16.（15分）(1)当a=0时，f(x)=x−ln⁡x(x>0)，则f′ (x)=1− ，
x C4 2 3 8
的概率公式可得P(N)= 5 ⋅( ) = ；
1
C4 3 189
设切点为(x ，y )，切线的斜率k=f′ (x )=1− ，且切线过点(0,0)， 7
0 0 0 x
0
(3)设李明在竞赛中，A类题全部操作正确后得分为X，则X的取值为：40,60,80,100，
2 2 0 1 3 1
且B类题正确操作题数n∼B(3, )，可得P(X=40)=C0×( ) ×( ) = ；
3 3 3 3 272 1 1 2 2 2 2 1 1 4
P(X=60)=C1×( ) ×( ) = ；P(X=80)=C2×( ) ×( ) = ； 1 2 3 (1−x)(x+3)
3 3 3 9 3 3 3 9 当0<x<1时，构建φ(x)=F′ (x)，则φ′ (x)=− − + +e1−x= +e1−x ，
x2 x3 x4 x4
2 3 1 0 8 1 2 4 8
P(X=100)=C3×( ) ×( ) = ，从而E(X)=40× +60× +80× +100× =80.
3 3 3 27 27 9 9 27
(1−x)(x+3)
由0<x<1，则1−x>0,x+3>0,x4>0,e1−x>0，故φ′ (x)= +e1−x>0对∀x∈(0,1)恒成立，则
2 4 2a 2(x2+2x+a) 2(x−1)(x+3)
x4
18.（17分）(1)由f′ (x)= + + = ，x∈(0,+∞)，当a=−3时，f′ (x)=
x x2 x3 x3 x3
φ(x)=F′ (x)在(0,1)上单调递增，即F′ (x)<0对∀x∈(0,1)恒成立，故F(x)在(0,1)上单调递减，即在
则0<x<1,f′ (x)<0;x>1,f′ (x)>0，故f(x)在(0,1)上单减，在(1,+∞)上单增
x∈(0,1)上有F(x)≥F(1)=0成立；
从而f(x)的极小值为f(1)=−3，无极大值；
1 1 1 ex−ex x−1
(2)①由(1)可知，分析ℎ(x)=x2+2x+a的图像特征，可得ℎ(x)在(0,+∞)上单增，且ℎ(0)=a， 又当x≥1时，则F′ (x)=
x
+
x2
−
x3
−e1−x=
xex
+
x3
，
当a≥0时，则f′ (x)=
2(x2+2x+a)
>0恒成立，故函数f(x)在(0,+∞)恒单增，即无极值点； 令g(x)=ex−ex,x≥1，则g′ (x)=ex−e，由g′ (x)在[1,+∞)内单调递增，则有g′ (x)≥g′ (1)=0，
x3
故g(x)在[1,+∞)内单调递增，则g(x)≥g(1)=0，
当a<0时，令f′ (x)=0，解得x =−1−√1−a<0舍去，x =−1+√1−a>0，
0 0 ex−ex x−1
故当x≥1时，有ex−ex≥0,xex>0,x−1≥0,x3>0，则F′ (x)= + ≥0对∀x∈[1,+∞)恒成立，
则函数f(x)的递增区间为(−1+√1−a,+∞)，递减区间为(0,−1+√1−a)，即此时f(x)有唯一的极值点x ，
xex x3
0
则F(x)在[1,+∞)上单调递增，可得F(x)≥F(1)=0，
且满足x2+2x +a=0成立；
0 0
综上所述：F(x)≥0对∀x∈(0,+∞)恒成立，即证x2 ⋅f(x )+2x2 ⋅e1−x 0+1≥0成立.
0 0 0
综上所述：当a<0时，函数f(x)有唯一的极值点x ；
0
19.（17分）(1)在不大于24的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5
②由①可知，函数f(x)有唯一的极值点x =−1+√1−a>0，且a=−(x2+2x )，故
0 0 0
个，所以F (4)=5.
2
在不大于33的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，
x2 ⋅f(x )+2x2 ⋅e1−x 0+1=x2 ⋅(2lnx − 4 − a −2)+2x2 ⋅e1−x 0+1=2x2 ⋅(ln⁡x − 2 + x2 0 +2x 0−1+e1−x 0+ 1 共 )=9 2个x，2 ⋅ 所 (l以n⁡ F x3− (31 )= + 9. 1 +e1−x 0− 1 )≥0
0 0 0 0 0 x x2 0 0 0 x 2x2 2x2 0 0 x 2x2 2
0 0 0 0 0 0 0 6n 6n
(2)在不大于6n的所有正整数中，能被2整除的数有 个，能被3整除的数有 个，能被2和3同时整除的数，
2 3
即等价于 ln⁡x 0 − x 1 0 + 2 1 x2 0 +e1−x 0− 1 2 ≥0 对x 0 >0成立， 即是能被6整除的数，其个数有 6 6 n 个，所以满足题意的表达式为F 6 (n)=6n− 6 2 n − 6 3 n + 6 6 n = 6 3 n =2×6n−1 ；
5 5
令F(x)=ln⁡x−
1
+
1
+e1−x−
1
，则F′ (x)=
1
+
1
−
1
−e1−x ，且F(1)=0,F′ (1)=0
(3)由(2)知，当n=1时，S
1
=
F (1)−1
=
2−1
=5，所以[S
1
]=5，
x 2x2 2 x x2 x3 6
5 5 6−1 6 3
当n≥2时， = = < = ，
F (n)−1 2⋅6n−1−1 2⋅6n−1−1 2⋅6n−1 6n−1
6b b+c
(上式放缩用到了糖水不等式，若a>b>0,c>0，则 < )
a a+c
n
5 1 1 1 3 1
则n≥2时，S =∑❑ <5+3( + +⋅⋅⋅+ )=5+ (1− )，
n F (i)−1 6 62 6n−1 5 6n−1
i=1 6
1
由0<1− <1可知，当n≥2时，5<S <5.6，综上：[S ]=5即为所求。
6n−1 n n