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绝密★启用前
高三数学考试
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姚名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2.椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.
4.2014年1月至9月全国城镇调查失业率依次为 ，
则（ ）
A.这组数据的众数为
B.这组数据的极差为
C.这组数据的 分位数为
D.这组数据的平均数大于
4.位于某海域 处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立
学科网（北京）股份有限公司即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东 且与甲船相距30海里的 处的乙船，让乙船也前往救援，
则乙船至少需要航行的海里数为（ ）
A. B. C. D.
6.箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线 的部分图象如图所示，则 的解析
式可能为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数 在 上单调递增.则 的最小值为（ ）
A. B.3 C. D.6
8.在三棱锥 中， 两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为 ，则
该三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A.
B.
学科网（北京）股份有限公司C. 与 的图象关于直线 对称
D. 与 的图象在 上有公共点
10.已知 分别是等轴双曲线 的左､右焦点，以坐标原点 为圆心， 的
焦距为直径的圆与 交于 四点，则（ ）
A. 的渐近线方程为
B.
C.
D.四边形 的面积为
11.已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且
，当 时， ，则（ ）
A. 的图象关于直线 对称
B. 在 上单调递增
C. 是 的一个极小值点
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.复数 的实部与虚部之和为__________.
13.《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一
只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的
2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为__________.
14.在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有 共7个点
（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则 的度数为__________；若将这7个点用
学科网（北京）股份有限公司17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知直线 与 关于抛物线 的准线对称.
（1）求 的方程；
（2）若过 的焦点的直线 与 交于 两点，且 ，求 的斜率.
16.（15分）
某导弹试验基地对新研制的 两种导弹进行试验， 导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为
， 导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为 .
（1）若一枚 导弹击中一个空中目标，且一枚 导弹击中一个地面目标的概率为 ，一枚 导弹击中一
个地面目标，且一枚 导弹击中一个空中目标的概率为 ，比较 的大小；
（2）现有两枚A导弹，一枚 导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目
标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期
望.
17.（15分）
如图，在四棱台 中，底面 和 均为正方形，平面 平面
为线段 上一点.
（1）若 为线段 的中点，证明：平面 平面 .
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
18.（17分）
已知函数 .
学科网（北京）股份有限公司（1）若曲线 在 处的切线的斜率为3，求 .
（2）已知 恰有两个零点 .
①求 的取值范围；
②证明： .
19.（17分）
设 为一个非空的二元有序数组 的集合，集合 为非空数集.若按照某种确定的对应关系 ，使得
中任意一个元素 ，在 中都有唯一确定的实数 与之对应，则称对应关系 为定义在 上的二元
函数，记作 .已知二元函数 满足
，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的解析式；
（3）已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
学科网（北京）股份有限公司高三数学考试参考答案
1.A 【解析】本题考查集合的并集，考查数学运算的核心素养.
由题意得 ，则 .
2.C 【解析】本题考查椭圆的离心率，考查数学运算的核心素养.
椭圆 的离心率为 .
3.D 【解析】本题考查向量的线性运算，考查数学运算的核心素养.
.
4.D 【解析】本题考查众数､极差､百分位数和平均数，考查数据处理能力.
由题意得这组数据的众数为 和 ，极差为 ，A，B错误.因为 ，
所以这组样本数据的 分位数为 ，C错误.这组数据的平均数为
学科网（北京）股份有限公司，D正确.
5.A 【解析】本题考查余弦定理的应用，考查直观想象的核心素养和应用
意识.
如图，由题可知 .在 中，由余弦定理可得
海里，所以乙船至少需要航行的海里数为 .
6.B 【解析】本题考查函数的图象，考查直观想象的核心素养. ，排除A.
既不是奇函数，也不是偶函数，排除D. 在 上单调递减，排除C.
的图象符合题中图象，B正确.
7.C 【解析】本题考查函数的单调性与基本不等式的综合应用，考查逻辑推理的核心素养.
由题意得 对 恒成立.因为 6，当且仅当
，即 时，等号成立，所以 ，即 .
8.B 【解析】本题考查三棱锥的外接球和体积，考查空间想象能力.
由题意得该三棱锥外接球的半径为 .由 ，得 .
易证 平面 ，所以该三棱锥的体积为 .
9.BC 【解析】本题考查三角函数的性质与图象的变换，考查直观想象的核心素养.
学科网（北京）股份有限公司由题意得 ，则 ，A错误，B正确.
，C正确.
当 时， ，则 ，D错误.
10.ABD 【解析】本题考查圆与双曲线的综合应用，考查直观想象和数学运算的核心素养.
由题意得 ，则 的渐近线方程为 ，A正确.
设 在第一象限，易得 将 两边平方，得
，则 ，
，B正确，C错误.由 得
，则矩形 的面积为 ，D正确.
11.ACD 【解析】本题考查导数的构造，考查数学抽象和数学建模的核心素养.
由 ，得 ，所以 的图象关于直线 对称，A正确.
当 时，令 ，则 .因为
，所以 .由 ，得
，所以 ，即 ，则 .令
，得 ，舍去 ，当 时， ， 单调递减，
学科网（北京）股份有限公司当 时， 单调递增，B错误.
因为 的图象关于直线 对称，所以 的一个极小值点为 ，C正确.
因为 ，所以 ，D正确.
12.5 【解析】本题考查复数的模和复数的概念，考查数学运算的核心素养.
由题意得 ，所以复数 的实部与虚部之和为5.
13.120 【解析】本题以《九章算术》中的牲畜买卖为背景，考查等差数列的性质，考查数学建模的核心
素养和应用意识.
由题意得购买一只鸡､一只狗､一只羊､一头驴的钱数依次成等差数列，设该数列为 ，公差为 ，则一
只鸡､一只狗､一只羊､一头驴的价格依次为 ，由题意得 解得 故甲花
费的钱数为 .
14.6；5880 【解析】本题以新定义的形式考查排列组合的应用，考查应用意识和化归与转化的数学思想.
如图，将这7个点均用线段两两相连，有 条线段，每个点的度数均为6.若将这7个点用17条线段
两两相连，则需要在21条线段的基础上删除4条线段.因为这7个点的度数均大于2，则与每个点连接的线
段最多删掉3条，所以不同的图形的数量为 .
15.【解析】本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的关系，考查数学抽象和数学运算的核心素养.
解：（1）由题意得 的准线方程为 .
由 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 的方程为 .
（2）易得 的斜率存在， 的焦点为 .
设 ，
联立 得 ，
得
则
得 ，即 的斜率为 .
评分细则：
【1】在第（1）问中，得到 的准线方程为 之后，直接写“ 的方程为 ”，不扣分.
【2】在第（2）问中，未写“ ，多写” ，不扣分.
【3】在第（2）问中，求弦长 时，还可以这样解答：
.
【4】第（2）问还可设 ，代入 ，得 ，则
，则 ，得 ，
故 的斜率为 .
16.【解析】本题考查离散型随机变量的数字特征，考查逻辑推理的核心素养和应用意识.
解：（1）由题意得 ， ，
所以 .
（2）因为 ，所以安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标.
学科网（北京）股份有限公司设导弹击中目标的个数为 ，则 ，
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
所以 .
评分细则：
【1】在第（2）问中，未写“ ”，不扣分.
【2】在第（2）问中，设方案一为安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标，方
案二为安排两枚A导弹射击一个空中目标和一个地面目标，一枚B导弹射击一个空中目标，通过求两种方
案的期望并比较大小，得出方案一为最优方案，不扣分.
17.【解析】本题考查面面平行的证明与线面角，考查空间想象能力.
（1）证明： 是正方形， .
平面 平面 平面 .
平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面
.
由题意得 为 的中点， ，
学科网（北京）股份有限公司四边形 为平行四边形，
平面 平面 平面
平面 平面
（2）解：分别取 的中点 ，连接 .易证 .
平面 平面 ，平面 平面
平面 .
设 为2个单位长度，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 .设 ，
得 .
设平面 的法向量为 ，则
取 ，得 ，则 .
由直线 与平面 所成角的正弦值为
，
得 .
故 .
18.【解析】本题考查一元函数的导数及其应用，考查直观想象和逻辑推理的核心素养.
学科网（北京）股份有限公司（1）解：由题意得 .
由 ，得 .
（2）①解：令 ，得 .令 ，则 .
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.故
.
当 时， ，又 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
②证明：由①可得 ，则
两式相加得 .
由 ，得 .
要证 ，只需证 .
设 ，则 .
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，则
，即 .
因为 ，所以 ，即 .
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，所以 ，从而 得证.
评分细则：
在第（2）①问中，还可以这样解答：
由题意得 .
若 ，则 单调递减，所以 在 上不可能有两个零点.
若 ，则当 时， 单调递减，当 时， 单调递
增，所以 ，得 .
当 时， ；当 时， .
故 的取值范围为 .
19.【解析】本题考查函数的新定义､数列与三角函数的综合应用，考查逻辑推理的核心素养和创新意识.
（1）解：在 中，令 ，则 ，得 .
在 中，令 ，则 ，得 .
（2）解：由 ，得
，得 ，即 （ 也成立）.
由 ，得 ，
得 ，即 也成立）.
（3）证明：由（2）知 ，则 ，得 .
学科网（北京）股份有限公司，
则
因为 ，
所以
.
由 ，得 ，则 ，
所以
.
由 ，得 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司
