甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题_2024-2026高三（6-6月题库）_2025年02月试卷_0222甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高三下学期开学考试

天水一中高三下学期开学考试试卷 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．复数 （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知集合 ， ，则A∪B＝（ ） A. B. C. D. 3．若点P是双曲线 上一点， ， 分别为 的左、右焦点，则“ ”是“ ”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来 自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高 窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要， 莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包 含2个最值得参观洞窟的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 取最小时， （ ） A. 4045 B. 4044 C. 2023 D. 2022 6. 己知双曲线C： （ ， ）的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线与C的两条 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 试卷 第 1 页渐近线分别交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7．函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8．设 ， ， ，这三个数的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二.多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知两非零向量 ， ，若 ，则 ， 的夹角为锐角 B. 若向量 ，则 C. 在 中，若 ，则 ，反之也对 D. 在锐角 中，若 ，则 10．已知一只钟表的时针OA与分针OB长度分别为3和4，设0点为0时刻，△OAB的面积为S，时间t （单位：时），则以下说法中正确的选项是（ ） A．时针OA旋转的角速度为 B．分针OB旋转的角速度为 C．一小时内（即 时）， 为锐角的时长是 D．一昼夜内（即 时），S取得最大值为44次 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 试卷 第 2 页11.已知 是两个不同平面， 是两条不同直线，则下述正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 是异面直线，则 与 相交 D. 若 ，则 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 的 12. 展开式中 系数是___________. 13．已知函数 ，曲线 在点 处的切线与 y 轴相交于点 ，则函数 的极小值为__________． ABCD AB  3,BC 1 △ACD AC D ABC 14．矩形 中， ，现将 沿对角线 向上翻折，得到四面体 ，   ,   则该四面体外接球的体积为__________；设二面角DACB的平面角为，当在3 2内变化 BD 时， 的范围为__________. 四.解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ． （1）求A的大小； （2）若 ， ，求a的值． 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 试卷 第 3 页16.（15分）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，令 ，求数列 的前n项和 ． 17.（15分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点． （1）证明：EF∥平面PCD （2）若PD⊥平面ABCD， ，且 ，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值． 18.（17分）为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题 中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是 且每道题正确完 成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成． 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 试卷 第 4 页(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率； (2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望； (3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去 参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由． 19.（17分）已知函数 在 处的切线方程为 (1)求实数 ， 的值； (2)设函数 ，当 时， 恒成立，求 的最小值． 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 试卷 第 5 页数学参考答案 1.【答案】B 【详解】由题得z 2i12i24ii25i， 所以复数 在复平面内对应的点的坐标是 .故选：B 2.【答案】B 【详解】∵ ， ∴ ．故选：B． 3.【答案】A 【详解】由题意可知， ， ， ， 若 ，则 ， 或1（舍去），若 ， ， 或13， 故“ ”是“ ”的充分不必要条件．故选：A． 4.【答案】B 【详解】8个开放洞窟中有3个最值得参观，所求概率为 ．故选：B． 5.【答案】D 【详解】 等差数列 的前 项和为 ，且 ， ， ， ， ， ， ，公差 ，则当 时 最小．故选：D 6.【答案】A 【详解】如下图示， 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 答案 第 1 页因为 ， ， 是 中点， 所以 是 中点且 ，则 ， ， 因为直线 是双曲线 的渐近线， 所以 ， ，直线 的方程为 ， 联立 ，解得 ，则 ，整理得 ， 因为 ，所以 ， . 故选：A 7.【答案】A 【详解】由已知 ， 为奇函数，排除BD； 又 时， ， 时， ， ，即 时， ， 所以 恒成立，排除C．故选：A． 8.【答案】C 【详解】 ，∵ ，∴ ，且 时， （泰勒展开式求导易证） ∴ ，∴ ， ∴ ，故选：C． 9.【答案】BCD 【详解】对于A， 与 同向时，满足 ，此时夹角为 ，不是锐角，故A错误； 对于B，由向量垂直的定义可知，若向量 ，则 ，故B正确； 对于C，由正弦定理得， ，故C正确； 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 答案 第 2 页对于D，由 ，可得 ，即 ，故D正确. 故选：BCD. 10．【答案】ACD 【详解】OA旋转的角速度为 ，A对． OB旋转的角速度为 ，B错． 或 ， ， 则 或 ， ，C对． 的周期为 且每个周期仅岀现一次最大值 故最大值取得的次数为 ，D对，选ACD． 11.【答案】BD 【详解】对于A选项，当 ， 与 相交时， ，故错误；对于B选 项，线面垂直与线面平行性质知当 ，则 ，正确； 对于C选项，若 是异面直线，则 与 相交或 ，故错误； 对于D选项，根据线面垂直的判定定理得：若 ，则 ，故正确.故选：BD 12.【答案】 【详解】由题意可得， 展开式中含 的项为 ， 而 展开式中含 的项为 ， 所以 的系数为 . 故答案为： . 13．【答案】 【详解】切点 ， ， 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 答案 第 3 页切线： 过 ，∴ ， 或3， 在 ， ， ，  7 10 4 14.【答案】 ；  , . 2 2 3   【详解】已知矩形ABCD中，AB  3,BC 1，在矩形ABCD中，连接AC 和BD交于点O， 1  2 AC  BD  AB2 BC2  3 12 2，OAOBOC OD AC 1， 2 可知点O是四面体D ABC 外接球的球心，则外接球的半径r 1，所以该四面体外接球的体积 4 4 V  r3  ；在四面体 中，作 交 于点 ， 交 于点 ， 3 3 D ABC BE  AC AC E DF  AC AC F 再作EG  AC交CD于点G，则EG//DF，所以二面角DACB的平面角为BEG，则 BEG ，在矩形ABCD中，可知AB  3,BC 1，OC OB1，所以BOC是等边三角形， 3 BE  DF  BCcos30  ， ， 2 EF  AC2CE  ACBCsin30 1     由四面体D ABC 可知， BE  EF ， DF ^ EF ，则BEEF 0，DFEF 0， 2 2 2              而 BD  BEEFFD  BE  EF  FD 2BEEF2EFFD2BEFD 2 2  2  2  2    3  3    BE  EF  FD 2BEFD    12   2EBFD     2 2     3 3   5 3 3 5 3  1 2 EB  FD cos 2  cos  cos 4 4 2 2 2 2 2 5 3   1 7 10 即 BD   cos，所以当 在 , 内变化时，0cos ，则  BD  ，   2 2  3 2 2 2 2  7 10  7 10 4 即 的范围为 , .故答案为： ； , . BD 2 2 2 2   3   学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 答案 第 4 页15.【答案】（1） （2） 【详解】 （1） ， ，可得 ， ， ，又 ， ． （2） ， ， ， . 又由 ，根据余弦定理得： ． 16．【答案】（1） （2） 【详解】（1）设 公差为d，∴ ∴ ，∴ ． （2） ∴ ，① ，② ① ② 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 答案 第 5 页∴ ． 17.【答案】（1）证明见解析 （2） 【详解】 （1）证明：取PD的中点G，连接CG，EG， 因为E，F分别为PA，BC的中点， 所以 ， 又底面ABCD为菱形，所以 ， 所以 ， 所以四边形EGCF为平行四边形， 所以 又 平面PCD． 平面PCD， 所以EF//平面PCD． （2）解：连接 ， 因为PD⊥平面ABCD， 平面ABCD， 所以 ， 因为四边形ABCD为菱形， ， 所以 为等边三角形， 因为F为BC的中点， 所以 ， 因为 ∥ ， 所以 ， 所以 两两垂直， 所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz． 因为 ，所以D（0，0，0），F( ，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2）， 则 ． 设平面DEF的法向量 ，则 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 答案 第 6 页，令 ，得 ． 设直线AF与平面DEF所成的角为θ， 则 ， 所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为 18.【答案】(1) (2)分布列见解析，3 (3)选择小宇，理由见解析 【详解】（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则 ． （2）X的可能取值为2，3，4 ， ， ， X的分布列为； X 2 3 4 P 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 答案 第 7 页数学期望 ． （3）由（1）知，小明进入决赛的概率为 ； 记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则 ； 因为 ，故小宇进决赛的可能性更大， 所以应选择小宇去参加比赛． 19.【答案】(1) ， (2)0 【详解】（1）定义域为 ， ， 由题意知 ， 解得 ， ； （2） ， 则 ， 令 ，其中 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增， 因为 ， ，所以存在唯一 ， 使得 ，即 ，可得 ， 当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减． 所以当 时， ， 因为 ， ，所以 ， 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 答案 第 8 页当且仅当 ，即 时，取等号， 又因 ，所以 ， 即 ，因为 ， ， 所以当 时， ， 因为当 时， 恒成立， 所有 . 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 答案 第 9 页