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2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合M ={-1,0,1}，N ={0,1,2}，则M N =
U
A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2} D.{0,1}
2．已知复数Z满足(3+4i)z =25，则Z=
A.3-4i B.3+4i C.-3-4i D.-3+4i
ì y£ x
ï
3．若变量x,y满足约束条件íx+ y£1且z =2x+ y的最大值和最小值分别为m和n，则m-n=
ï
y³-1
î
A.8 B.7 C.6 D.5
x2 y2 x2 y2
4．若实数k满足0b>0)的一个焦点为( 5,0)，离心率为
a2 b2 3
，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P(x ,y )为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
0 0
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21．（本小题满分14分） 设函数 f(x)= ，其中k <-2，
(x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3
（1）求函数 f(x)的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数 f(x)在D上的单调性；
（3）若k <-6，求D上满足条件 f(x)> f(1)的x的集合（用区间表示）。
第4页 | 共11页2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科） 答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知集合M ={-1,0,1},N ={0,1,2},则M ÈN =（B）
A．{-1,0,1} B. {-1,0,1,2} C. {-1,0,2} D. {0,1}
2.已知复数Z满足(3+4i)z =25,则Z=（A）
A．3-4i B. 3+4i C. -3-4i D. -3+4i
ì y£ x
ï
3.若变量x,y满足约束条件íx+ y£1且z =2x+ y的最大值和最小值分别为m和n，则m-n=（C
ï
y³-1
î
）
A．8 B.7 C.6 D.5
x2 y2 x2 y2
4.若实数k满足0|= = = ，即所求．
uuuur
|m r |×|PC| 19´2 19
19. （14分）设数列a 的前n和为S ,满足S =2na -3n2 -4n,nÎN*，且S =15。
n n n n+1 3
(1)求a ,a ,a 的值;
1 2 3
(2)求数列a 的通项公式;
n
19.解：S =4a -20，S =S +a =5a -20，又S =15，
2 3 3 2 3 3 3
\a =7，S =4a -20=8，又S =S +a =(2a -7)+a =3a -7，
3 2 3 2 1 2 2 2 2
\a =5，a =S =2a -7=3，
2 1 1 2
综上知a =3，a =5，a =7；
1 2 3
（２）由（１）猜想a =2n+1，下面用数学归纳法证明．
n
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k（k ³1）时，a =2k+1，
k
3+(2k+1)
则S =3+5+7+(2k+1)= ´k =k(k+2)，又S =2ka -3k2 -4k ，
k 2 k k+1
\k(k +2)=2ka -3k2 -4k ，解得2a =4k +6，
k+1 k+1
\a =2(k +1)+1，即当n=k+1时，结论成立；
k+1
由①②知，"nÎN*, a =2n+1．
n
x2 y2 5
20. （14分）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0)，离心率为 ，
a2 b2 3
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P(x ,y )为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
0 0
c 5
20.解：（１）可知c= 5，又 = ，\a=3，b2 =a2 -c2 =4，
a 3
x2 y2
椭圆C的标准方程为 + =1；
9 4
（２）设两切线为l ,l ，
1 2
①当l ^ x轴或l //x轴时，对应l //x轴或l ^ x轴，可知P(±3,±2)；
1 1 2 2
1
②当l 与x轴不垂直且不平行时，x ¹±3，设l 的斜率为k，则k ¹0，l 的斜率为- ，
1 0 1 2 k
x2 y2
l 的方程为y- y =k(x-x )，联立 + =1，
1 0 0 9 4
得(9k2 +4)x2 +18(y -kx )kx+9(y -kx )2 -36=0，
0 0 0 0
因为直线与椭圆相切，所以=0，得9(y -kx )2k2 -(9k2 +4)[(y -kx )2 -4]=0，
0 0 0 0
\-36k2 +4[(y -kx )2 -4]=0，
0 0
\(x 2 -9)k2 -2x y k+ y 2 -4=0
0 0 0 0
所以k是方程(x 2 -9)x2 -2x y x+ y 2 -4=0的一个根，
0 0 0 0
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同理- 是方程(x 2 -9)x2 -2x y x+ y 2 -4=0的另一个根，
k 0 0 0 0
1 y 2 -4
\k×(- )= 0 ，得x 2 + y 2 =13，其中x ¹±3，
k x 2 -9 0 0 0
0
所以点P的轨迹方程为x2 + y2 =13（x¹±3），
因为P(±3,±2)满足上式，综上知：点P的轨迹方程为x2 + y2 =13．
1
21.（本题14分）设函数 f(x)= ，其中k <-2，
(x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3
（1）求函数 f(x)的定义域D；（用区间表示）
（2）讨论 f(x)在区间D上的单调性；
（3）若k <-6，求D上满足条件 f(x)> f(1)的x的集合。
21.解：（１）可知(x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3>0，
\[(x2 +2x+k)+3]×[(x2 +2x+k)-1]>0，
\x2 +2x+k <-3或x2 +2x+k >1，
\(x+1)2 <-2-k (-2-k >0)或(x+1)2 >2-k (2-k >0)，
\|x+1|< -2-k 或|x+1|> 2-k ，
\-1- -2-k < x<-1+ -2-k 或x<-1- 2-k 或x>-1+ 2-k ，
所以函数 f(x)的定义域D为
(-¥,-1- 2-k) (-1- -2-k, -1+ -2-k) (-1+ 2-k,+¥)；
U U
2(x2 +2x+k)(2x+2)+2(2x+2)
（２） f '(x)=-
3
2 (x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3
(x2 +2x+k+1)(2x+2)
=- ，
3
(x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3
由 f '(x)>0得(x2 +2x+k+1)(2x+2)<0，即(x+1+ k)(x+1- k)(x+1)<0，
\x<-1- -k 或-1< x<-1+ -k ，结合定义域知x<-1- 2-k 或-1< x<-1+ -2-k ，
所以函数 f(x)的单调递增区间为(-¥,-1- 2-k)，(-1,-1+ -2-k)，
同理递减区间为(-1- -2-k,-1)，(-1+ 2-k,+¥)；
（３）由 f(x)= f(1)得(x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3=(3+k)2 +2(3+k)-3，
\[(x2 +2x+k)2 -(3+k)2]+2[(x2 +2x+k)-(3+k)]=0，
\(x2 +2x+2k+5)×(x2 +2x-3)=0，
\(x+1+ -2k-4)(x+1- -2k-4)×(x+3)(x-1)=0，
\x=-1- -2k-4或x=-1+ -2k-4或x=-3或x=1，
k <-6，\1Î(-1,-1+ -2-k)，-3Î(-1- -2-k,-1)，
Q
-1- -2k-4 <-1- 2-k ，-1+ -2k-4 >-1+ 2-k ，
结合函数 f(x)的单调性知 f(x)> f(1)的解集为
第10页 | 共11页(-1- -2k-4,-1- 2-k) (-1- -2-k,-3) (1,-1+ -2-k)
U U U
(-1+ 2-k,-1+ -2k-4)．
第11页 | 共11页
