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届高三年级 月份大联考
2024 2
数学参考答案及解析
三、填空题
a 1
12．1 【解析】 由题意得f(x)＝sin 4x＋acos 4x＝ a2＋1sin(4x＋φ)，(sin φ＝ ，cos φ＝ )，
EA A E A A a2＋1A A a2＋1A
E E
π π
由于函数f(x)＝sin 4x＋acos 4x的图象关于直线x＝ 对称，故 f(0)= f( )，得a＝1.故答案为1.
A E A A16A 8
E
12
13．－6－12ln 6 【解析】 设切点为(x 0 ，f(x 0 )) E A ，则f′ A (x) E A ＝x－1－ AxA ，由题知f′ A (x 0 ) E A ＝3，解得x 0 ＝6，所
E
以切点为(6，12－12ln 6)，代入直线方程得a＝－6－12ln 6.故答案为－6－12ln 6.
A E A
2 019
14. A 1 2 E AA E A /2−2019 【解析】 I是△PF 1 F 2 的内心，∴ | | I P M I| | ＝ | | F PF M 1 | | ＝2， | | I P M I| | ＝ | | F PF M 2 | | ＝2，∴|PF 1 |＋|PF 2 |＝2|F 1 M|
E 1 2
2y
＋2|F
2
M|，∴2a＝4c，∴c＝1，所以抛物线x2＝4y在点(x
n
，y
n E
)
A
的切线为：x
n
x＝2y＋2y
n
，令y＝0，x
n＋1
＝
Ax n
n
E
x 2
2× n
2 023
A
＝
A E x nE
4
A
＝
A
x
2
n
E A
，又x
2
＝
A
x
2
1
E A
＝8，即x
1
＝16，所以
A
{x
n
}
E A
是首项16，公比
A
1
2A E
的等比数列，∴x
2 024
＝16×
A
1
E 2
E AA
E
A
＝
2 019 2 019
1 E .故答案为 1 E /2−2019.
A
2
E AA A A
2
E AA A
E E
四、解答题
15．解：(1)因为X～N(45，225)，所以σ＝15，(1分)
A E A
1－0.682 7
则P(X≥60)＝P(X≥μ＋σ)＝ ＝0.158 65，(4分)
2
所以现场年龄不低于60岁的人数大约为1 000×0.158 65≈159(人)．(6分)
(2)依题意可得，P(n)＝C n0.4n×0.620－n，(7分)
20
P(n)≥P(n＋1)
设 ，
P(n)≥P(n－1)
C
20
n0.4n×0.620－n≥C
20
n＋10.4n＋1×0.619－n
所以 ，(9分)
C
20
n0.4n×0.620－n≥C
20
n－10.4n－1×0.621－n
20－n 0.4
· ≤1，
n＋1 0.6
所以 (11分)
21－n · 0.4 ≥1，
n 0.6
37 42
所以 ≤n≤ ，(12分)
5 5
n为整数，所以n＝8，
所以当P(n)取得最大值时n的值为8.(13分)
16．解：(1)因为∠COF＝∠EFO，所以EF∥CO，(1分)
因为EF⊄平面SCO，CO⊂平面SCO，
所以EF∥平面SCO，(2分)
因为DE垂直底面于E，SO垂直底面于O，所以DE∥SO，
同理DE∥平面SCO，(3分)
因为DE∩EF＝E，且EF∥平面SCO，DE∥平面SCO，所以平面SCO∥平面DEF.(5分)
学科网（北京）股份有限公司(2)设圆锥的底面半径为2，
因为轴截面SAB是正三角形，所以SO＝2 3，(6分)
如图，设平面SDEO与底面圆周交于G，
因为△EFO为正三角形，且F为AO的中点，
所以OF＝FE＝EO＝1，所以E为OG的中点，
1
所以DE为△SOG的中位线，所以DE＝ SO＝ 3，(7分)
2
如图，在底面圆周上取一点H，使得OH⊥OB，以直线OH，OB，OS为x，y，z轴建立空间坐标系，(8分)
3 1 3 1
由已知得，C(－ 3，－1，0)，D ，－ ， 3 ，E ，－ ，0 ，F(0，－1，0)，(9分)
2 2 2 2
→ 3 3
设EF的中点为M，则平面DEF的法向量为n
1
＝OM＝
4
，－
4
，0
，(11分)
→ → 3 3 1
所以CF＝( 3，0，0)，CD＝ ， ， 3 ，
2 2
设平面CDF的一个法向量为n ＝(x，y，z)，
2
3x＝0，
所以
3 3 1
，
x＋ y＋ 3z＝0
2 2
3
x＝0，令y＝2，则z＝－ ，
3
3
则n
2
＝
0，2，－
3
，(13分)
3
|n 1 ·n 2 | 2 3 13
所以平面CDF与平面DEF夹角的余弦值为 ＝ ＝ .(15分)【其他解法酌情给分】
|n 1 ||n 2 | 3 13 13
×
2 3
x2 1
17．解：(1)∵f(x)≤ － 在[1，∞)上恒成立，
2 2x
ln x 1
∴a≥ ＋ 在[1，＋∞)恒成立，(1分)
x 2x2
ln x 1
令h(x)＝ ＋ ，
x 2x2
x－xln x－1
则h′(x)＝ ，(2分)
x3
令t(x)＝x－xln x－1，t′(x)＝－ln x≤0，
所以t(x)在[1，＋∞)单调递减，所以t(x)≤t(1)＝0，(4分)
学科网（北京）股份有限公司∴h′(x)≤0恒成立，∴h(x)在[1，＋∞)单调递减，
1
∴h(x) ＝h(1)＝ ，(6分)
max 2
1
∴a≥ .(7分)
2
(2)因为f(x)有两个极值点s，t，
1 x2－ax＋1
∴s，t是f′(x)＝ ＋x－a＝ ＝0的两不等正根，(8分)
x x
a2－4>0
s＋t＝a>0⇒a>2，(12分)【若列出公式正确，得出a范围不对的话扣1分】
EA
st＝1
1 1
f(t)＋f(s)＝ln t＋ln s＋ t2＋ s2－a(t＋s)
A2A A2A
E E
1
＝ln(st)＋ (t＋s)2－ts－a(t＋s)
2
1 1
＝－ a2－1<－ ×22－1＝－3.
2 2
所以f(t)＋f(s)的取值范围为(－∞，－3)．(15分)【其他解法酌情给分】
18．解：(1)圆C ：(x＋ 2)2＋y2＝16，∴C (－ 2，0)，
1 1
∵C M∥C C，∴∠C CC ＝∠MC D，
2 1 1 2 2
∵|C C|＝|C D|，∴∠C CC ＝∠C DC，
1 1 1 2 1
∴∠C DC＝∠MC D，(1分)
1 2
∴|DM|＝|C M|，(2分)
2
∴|C M|＋|MD|＝|C M|＋|MC |＝|C D|＝4>|C C |＝2 2，(3分)
1 1 2 1 1 2
∴点M的轨迹是以C ，C 为焦点的椭圆．(4分)
1 2
x2 y2
方程： ＋ ＝1(y≠0)．(5分)【没写范围扣1分】
4 2
1
(2)设RN：y＝kx－1，由题意知00，（8分）
4
＋
2
＝1
x ＋x ＝ 4k
1 2 1＋2k2
，(9分)
－2 EA
x x ＝
E 1 2 1＋2k2
8（1＋4k2）
|x －x |2＝ ，(11分)
1 2 A（1＋2k2）2A
E
1 1 2
令 ＝t
