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2020年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【微点】相反数．
【思路】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解析】解：﹣3的相反数是3，
故选：D．
【点拨】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义
与倒数的意义混淆．
2．（3分）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴
有（ ）
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
【微点】正方形的性质；轴对称的性质；轴对称图形．
【思路】根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．
【解析】解：如图，
因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，
第 1 页 / 共 27 页所以此图形的对称轴有4条．
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴
对称的性质．
3．（3分）近年来，华为手机越来越受到消费者的青睐．截至2019年12月底，华为5G手机全
球总发货量突破690万台．将690万用科学记数法表示为（ ）
A．0.69×107 B．69×105 C．6.9×105 D．6.9×106
【微点】科学记数法—表示较大的数．
【思路】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．
【解析】解：690万＝6900000＝6.9×106．
故选：D．
【点拨】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的
表示规律为关键，
4．（3分）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【微点】几何体的展开图．
【思路】根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可．
【解析】解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，
“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，
因此选项D符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查正方体的展开图，理解和掌握正方体的展开图的11种不同情况，是正确
判断的前提．
5．（3分）若 有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥0 D．a≤﹣1
【微点】二次根式有意义的条件．
第 2 页 / 共 27 页【思路】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解析】解：若 有意义，则a﹣1≥0，
解得：a≥1．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
6．（3分）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、
羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还
差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（ ）
A．160钱 B．155钱 C．150钱 D．145钱
【微点】二元一次方程组的应用．
【思路】设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7
钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，
依题意，得： ，
解得： ．
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于
点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【微点】角平分线的性质；勾股定理．
【思路】过E作EM⊥BC，交FD于点N，可得EN⊥GD，得到EN与GH平行，再由E为HD
中点，得到HG＝2EN，同时得到四边形NMCD为矩形，再由角平分线定理得到AE＝ME，
第 3 页 / 共 27 页进而求出EN的长，得到HG的长．
【解析】解：过E作EM⊥BC，交FD于点N，
∵DF∥BC，
∴EN⊥DF，
∴EN∥HG，
∴ ＝ ，
∵E为HD中点，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，即HG＝2EN，
∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，
∴四边形NMCD为矩形，
∴MN＝DC＝2，
∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EM⊥BC，
∴EM＝AE＝3，
∴EN＝EM﹣MN＝3﹣2＝1，
则HG＝2EN＝2．
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行线分线段成比
例，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
8．（3分）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【微点】列表法与树状图法．
第 4 页 / 共 27 页【思路】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，
然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，
则恰有一个篮子为空的概率为 ＝ ．
故选：A．
【点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，
则∠ACD＝（ ）
A．16° B．28° C．44° D．45°
【微点】平行线的性质；等腰三角形的性质．
【思路】延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACB＝28°，根据平行线
的性质得出∠CFD＝∠A＝28°，
由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数．
【解析】解：延长ED，交AC于F，
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，
∴∠A＝∠ACB＝28°，
∵AB∥DE，
第 5 页 / 共 27 页∴∠CFD＝∠A＝28°，
∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，
∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°，
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质
定理是解题的关键．
10．（3分）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲
对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能
行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ）
A．1.2小时 B．1.6小时 C．1.8小时 D．2小时
【微点】分式方程的应用．
【思路】设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速
度为 km/h，乙的速度为 km/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．
【解析】解：设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，
根据两人对话可知：甲的速度为 km/h，乙的速度为 km/h，
根据题意得： ＝ ，
解得：x ＝1.8或x ＝9，
1 2
经检验：x ＝1.8或x ＝9是原方程的解，
1 2
x ＝9不合题意，舍去，
2
故选：C．
【点拨】考查了分式方程的应用，解题的关键是能够分别表示出各自的实际速度，难度中
等．
11．（3分）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹
第 6 页 / 共 27 页没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米
时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（
）
A．4 米 B．5 米 C．2 米 D．7米
【微点】二次函数的应用．
【思路】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出
顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x＝﹣10代入可求解．
【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝
10，DO＝ ，
设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+ ，
∵BC＝10，
∴点B（﹣5，0），
∴0＝a×（﹣5）2+ ，
∴a＝﹣ ，
∴大孔所在抛物线解析式为y＝﹣ x2+ ，
设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，
第 7 页 / 共 27 页∵EF＝14，
∴点E的横坐标为﹣7，
∴点E坐标为（﹣7，﹣ ），
∴﹣ ＝m（x﹣b）2，
∴x ＝ +b，x ＝﹣ +b，
1 2
∴MN＝4，
∴| +b﹣（﹣ +b）|＝4
∴m＝﹣ ，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝﹣ （x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x＝﹣10时，y＝﹣ ，
∴﹣ ＝﹣ （x﹣b）2，
∴x ＝ +b，x ＝﹣ +b，
1 2
∴单个小孔的水面宽度＝|（ +b）﹣（﹣ +b）|＝5 （米），
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和
数形结合的思想解答．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2 ，AD＝2，将△ABC绕
点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角
形，则AA′＝（ ）
第 8 页 / 共 27 页A． B．2 C． D．
【微点】等腰三角形的判定；直角梯形；旋转的性质．
【思路】过D作DE⊥BC于E，则∠DEC＝∠DEB＝90°，根据矩形的性质得到BE＝AD＝
2，DE＝AB＝2 ，根据旋转的性质得到∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝
AC，∠A′CA＝∠B′CB，推出△B′CD为等腰直角三角形，得到CD＝ B′C，设
B′C＝BC＝x，则CD＝ x，CE＝x﹣2，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：过D作DE⊥BC于E，
则∠DEC＝∠DEB＝90°，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE＝AD＝2，DE＝AB＝2 ，
∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，
∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，
∴△A′CA∽△B′CB，
∴ ＝ ，
∵△B′CD为等腰三角形，
∴△B′CD为等腰直角三角形，
∴CD＝ B′C，
设B′C＝BC＝x，则CD＝ x，CE＝x﹣2，
∵CD2＝CE2+DE2，
∴（ x）2＝（x﹣2）2+（2 ）2，
∴x＝4（负值舍去），
∴BC＝4，
∴AC＝ ＝2 ，
第 9 页 / 共 27 页∴ ＝ ，
∴A′A＝ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形
的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（4分）因式分解：x3y﹣4xy3＝ x y （ x + 2 y ）（ x ﹣ 2 y ） ．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】先提取公因式xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解析】解：x3y﹣4xy3，
＝xy（x2﹣4y2），
＝xy（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：xy（x+2y）（x﹣2y）．
【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．（4分）平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后
得到的点A 的坐标为 （﹣ 3 ， 3 ） ．
1
【微点】坐标与图形变化﹣平移．
【思路】根据在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数
a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐
标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长
度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）即可得结论．
【解析】解：∵将点A（﹣1，2）先向左平移2个单位，横坐标﹣2，
再向上平移1个单位纵坐标+1，
∴平移后得到的点A 的坐标为：（﹣3，3）．
1
第 10 页 / 共 27 页故答案为：（﹣3，3）．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握平移定义．
15．（4分）若多项式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝ 0 或 8 ．
【微点】多项式．
【思路】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【解析】解：∵多项式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，
∴n﹣2＝0，1+|m﹣n|＝3，
∴n＝2，|m﹣n|＝2，
∴m﹣n＝2或n﹣m＝2，
∴m＝4或m＝0，
∴mn＝0或8．
故答案为：0或8．
【点拨】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
16．（4分）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种
火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1
万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过
100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是 12 5 万元．
（利润＝销售额﹣种植成本）
【微点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．
【思路】设甲种火龙果种植x亩，乙种火龙果种植（100﹣x）亩，此项目获得利润w，根据题
意列出不等式求出x的范围，然后根据题意列出w与x的函数关系即可求出答案．
【解析】解：设甲种火龙果种植x亩，乙种火龙果种植（100﹣x）亩，此项目获得利润w，
甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元，
由题意可知： ，
解得：50≤x≤60，
此项目获得利润w＝1.1x+1.4（100﹣x）＝140﹣0.3x，
当x＝50时，
w的最大值为140﹣15＝125万元．
【点拨】本题考查一次函数，解题的关键是根据题意给出的等量关系列出函数关系式，本
题属于中等题型．
第 11 页 / 共 27 页17．（4分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形
ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 3 ﹣ 2
．
【微点】垂线段最短；三角形三边关系；勾股定理．
【思路】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作
OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．
【解析】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作
OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM＝ AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGE＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2 ，GF＝ ，OF＝3 ，
∴ME≥OF﹣OM＝3 ﹣2，
第 12 页 / 共 27 页∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3 ﹣2．
【点拨】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的
关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．（4分）若不等式 ＞﹣x﹣ 的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取
值范围是 ≤ m ≤ 6 ．
【微点】解一元一次不等式．
【思路】解不等式 ＞﹣x﹣ 得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1
成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．
【解析】解：解不等式 ＞﹣x﹣ 得x＞﹣4，
∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0•x＜13恒成立；
①当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，
②∴m﹣6＜0，即m＜6，
∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞ ，
∵x＞﹣4都能使x＞ 成立，
∴﹣4≥ ，
∴﹣4m+24≤2m+1，
∴m≥ ，
综上所述，m的取值范围是 ≤m≤6．
故答案为： ≤m≤6．
【点拨】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和
依据及不等式的基本性质．
三、解答题：本大题共7小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第 13 页 / 共 27 页19．（16分）（1）计算：| ﹣3|+2 cos60°﹣ × ﹣（﹣ ）0．
（2）先化简，再求值：（x+2+ ）÷ ，其中x＝ ﹣1．
【微点】分式的化简求值；零指数幂；分母有理化；二次根式的混合运算；特殊角的三角函
数值．
【思路】（1）先去绝对值符号、代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，
最后计算加减可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解析】解：（1）原式＝3﹣ +2 × ﹣ ×2 ﹣1
＝3﹣ + ﹣2﹣1
＝0；
（2）原式＝（ + ）÷
＝ •
＝ ，
当x＝ ﹣1时，
原式＝
＝
＝1﹣ ．
【点拨】本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是掌握绝对值性质、
二次根式的性质、零指数幂的规定、熟记三角函数值及分式的混合运算顺序和运算法则．
20．（12分）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
（1）以x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠
方式，求y关于x的函数解析式；
（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？
第 14 页 / 共 27 页【微点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【思路】（1）根据题意给出的等量关系即可求出答案．
（2）先求出两书店所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．
【解析】解：（1）甲书店：y＝0.8x，
乙书店：y＝ ．
（2）令0.8x＝0.6x+40，
解得：x＝200，
当x＜200时，选择甲书店更省钱，
当x＝200，甲乙书店所需费用相同，
当x＞200，选择乙书店更省钱．
【点拨】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基
础题型．
21．（12分）为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有
A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决
定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检察人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从
中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表：
A加工厂 74 75 75 75 73 77 78 72 76 75
B加工厂 78 74 78 73 74 75 74 74 75 75
（1）根据表中数据，求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数；
（2）估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？
（3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？
【微点】用样本估计总体；算术平均数；中位数；众数；方差．
【思路】（1）根据中位数、众数和平均数的计算公式分别进行解答即可；
（2）用总数乘以质量为75克的鸡腿所占的百分比即可；
（3）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
【解析】解：（1）把这些数从小到大排列，最中间的数是第5和第6个数的平均数，
则中位数是 ＝75（克）；
因为75出现了4次，出现的次数最多，
所以众数是75克；
第 15 页 / 共 27 页平均数是： （74+75+75+75+73+77+78+72+76+75）＝75（克）；
（2）根据题意得：
100× ＝30（个），
答：质量为75克的鸡腿有30个；
（3）选B加工厂的鸡腿．
A的方差是： （[ 74﹣75）2+4×（75﹣75）2+（76﹣75）2+（73﹣75）2+（72﹣75）2+（77﹣75）
2+（78﹣75）2]＝2.8；
B的平均数是： （78+74+78+73+74+75+74+74+75+75）＝75，
B的方差是： [2×（78﹣75）2+4×（74﹣75）2+（73﹣75）2+3×（75﹣75）2]＝2.6；
∵A、B平均值一样，B的方差比A的方差小，B更稳定，
∴选B加工厂的鸡腿．
【点拨】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉计算公式和意义是解题的关键．
22．（12分）如图，△ABC内接于 O，点D在 O外，∠ADC＝90°，BD交 O于点E，交AC
于点F，∠EAC＝∠DCE，∠C⊙EB＝∠DCA⊙，CD＝6，AD＝8． ⊙
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：CD是 O的切线；
（3）求tan∠ACB的⊙值．
【微点】圆的综合题．
【思路】（1）由圆周角定理与已知得∠BAC＝∠DCA，即可得出结论；
（2）连接EO并延长交 O于G，连接CG，则EG为 O的直径，∠ECG＝90°，证明∠DCE
＝∠EGC＝∠OCG，得⊙出∠DCE+∠OCE＝90°，即⊙可得出结论；
第 16 页 / 共 27 页（3）由三角函数定义求出cos∠ACD＝ ，证出∠ABC＝∠ACD＝∠CAB，求出BC＝AC＝
10，AB＝12，过点B作BG⊥AC于C，设GC＝x，则AG＝10﹣x，由勾股定理得出方程，解
方程得GC＝ ，由勾股定理求出BG＝ ，由三角函数定义即可得答案．
【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠CEB，∠CEB＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD；
（2）证明：连接EO并延长交 O于G，连接CG，如图1所示：
则EG为 O的直径， ⊙
∴∠ECG⊙＝90°，
∵OC＝OG，
∴∠OCG＝∠EGC，
∵∠EAC＝∠EGC，∠EAC＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠EGC＝∠OCG，
∵∠OCG+∠OCE＝∠ECG＝90°，
∴∠DCE+∠OCE＝90°，即∠DCO＝90°，
∵OC是 O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
⊙
（3）解：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝10，
∴cos∠ACD＝ ＝ ＝ ，
∵CD是 O的切线，AB∥CD，
∴∠ABC⊙＝∠ACD＝∠CAB，
∴BC＝AC＝10，AB＝2BC•cos∠ABC＝2×10× ＝12，
过点B作BG⊥AC于C，如图2所示：
设GC＝x，则AG＝10﹣x，
由勾股定理得：AB2﹣AG2＝BG2＝BC2﹣GC2，
即：122﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，
解得：x＝ ，
第 17 页 / 共 27 页∴GC＝ ，
∴BG＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠ACB＝ ＝ ＝ ．
【点拨】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定与性
质、等腰三角形的判定与性质、三角函数定义、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握
圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝ （k＜0）的
图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．
（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．
第 18 页 / 共 27 页【微点】反比例函数综合题．
【思路】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k，进而得出点B坐标，最后用待定
系数法求出直线AB的解析式；
（2）先判断出BF＝AE，进而得出△AEG≌Rt△BFG（AAS），得出AG＝BG，EG＝FG，即
BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，再求出m＝﹣ n，进而得出BF＝2+ n，MN＝n+3，即BE＝
AF＝n+3，再判断出△AME∽△ENB，得出 ＝ ＝ ，得出ME＝ BN＝ ，最后用勾
股定理求出m，即可得出结论．
【解析】解：（1）当m＝1时，点A（﹣3，1），
∵点A在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣ ；
∵点B（n，2）在反比例函数y＝﹣ 图象上，
∴2n＝﹣3，
∴n＝﹣ ，
设直线AB的解析式为y＝ax+b，则 ，
∴ ，
第 19 页 / 共 27 页∴直线AB的解析式为y＝ x+3；
（2）如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过点A作AF⊥BN于F，交
BE于G，
则四边形AMNF是矩形，
∴FN＝AM，AF＝MN，
∵A（﹣3，m），B（n，2），
∴BF＝2﹣m，
∵AE＝2﹣m，
∴BF＝AE，
在△AEG和△BFG中， ，
∴△AEG≌Rt△BFG（AAS），
∴AG＝BG，EG＝FG，
∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，
∵点A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝﹣3m＝2n，
∴m＝﹣ n，
∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2+ n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，
∴BE＝AF＝n+3，
∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，
∴∠MAE＝∠NEB，
∵∠AME＝∠ENB＝90°，
∴△AME∽△ENB，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴ME＝ BN＝ ，
第 20 页 / 共 27 页在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根据勾股定理得，AM2+ME2＝AE2，
∴m2+（ ）2＝（2﹣m）2，
∴m＝ ，
∴k＝﹣3m＝﹣ ，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣ ．
【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，矩形的判定和性质，
全等三角形的判定和性质，构造出△AEG≌△BFG（AAS）是解本题的关键．
24．（12分）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点
为B（ ，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐
标为 ，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及
△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，
Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
第 21 页 / 共 27 页【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣ x+1，求出F点的坐标，由平
行四边形的性质得出﹣3a+1＝ a﹣8a+1﹣（﹣ ），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2+2 n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P（' n，﹣ n+1），得出PP'＝
﹣n2+ n，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（ ，﹣ ），设Q（ ，m），分两种情况： 当
①
AQ为对角线时， 当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【解析】解：（1）②设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B（ ，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣ x+1，
∵点F的横坐标为 ，
∴F点纵坐标为﹣ +1＝﹣ ，
第 22 页 / 共 27 页∴F点的坐标为（ ，﹣ ），
又∵点A在抛物线上，
∴c＝1，
对称轴为：x＝﹣ ，
∴b＝﹣2 a，
∴解析式化为：y＝ax2﹣2 ax+1，
∵四边形DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，
∴﹣3a+1＝ a﹣8a+1﹣（﹣ ），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2 x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2 n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，
则P'（n，﹣ n+1），
∴PP'＝﹣n2+ n，
S△ABP ＝ OB•PP'＝﹣ n＝﹣ + ，
∴当n＝ 时，△ABP的面积最大为 ，此时P（ ， ）．
（3）∵ ，
第 23 页 / 共 27 页∴x＝0或x＝ ，
∴C（ ，﹣ ），
设Q（ ，m），
当AQ为对角线时，
①
∴R（﹣ ），
∵R在抛物线y＝ +4上，
∴m+ ＝﹣ +4，
解得m＝﹣ ，
∴Q ，R ；
当AR为对角线时，
②
∴R（ ），
∵R在抛物线y＝ +4上，
∴m﹣ +4，
解得m＝﹣10，
∴Q（ ，﹣10），R（ ）．
综上所述，Q ，R ；或Q（ ，﹣10），R（ ）．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点
的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论
思想是解题的关键．
25．（14分）如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O， M为△BCD的内切圆，切点分别为
N，P，Q，DN＝4，BN＝6． ⊙
（1）求BC，CD；
（2）点H从点A出发，沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动，当点H运动到
第 24 页 / 共 27 页点D时停止，过点H作HI∥BD交AC于点I，设运动时间为t秒．
将△AHI沿AC翻折得△AH′I，是否存在时刻t，使点H′恰好落在边BC上？若存在，
①求t的值；若不存在，请说明理由；
若点F为线段CD上的动点，当△OFH为正三角形时，求t的值．
②
【微点】圆的综合题．
【思路】（1）由切线长定理得出BP＝BN＝6，DQ＝DN＝4，CP＝CQ，BD＝BN+DN＝10，设
CP＝CQ＝a，由勾股定理得出BC2+CD2＝BD2，得出方程，解方程即可；
（2） 由折叠的性质得∠AH'I＝∠AHI，AH'＝AH＝3t，证明△AIH'∽△AH'C，则AH'2＝
①
AI×AC，证△AIH∽△AOD，求出AI＝ t，得出（3t）2＝ t×10，解方程即可；
作PH⊥OH于H，交OF的延长线于P，作OM⊥AD于M，PN⊥AD于N，证出FH＝FP
②＝OF，HP＝ OH，DN＝DM＝4，证明△OMH∽△HNP，求出HN＝ OM＝3 ，则
DH＝HN﹣DN＝3 ﹣4，得出AH＝AD﹣DH＝12﹣3 ，即可得出答案．
【解析】解：（1）∵ M为△BCD的内切圆，切点分别为N，P，Q，DN＝4，BN＝6，
∴BP＝BN＝6，DQ＝⊙DN＝4，CP＝CQ，BD＝BN+DN＝10，
设CP＝CQ＝a，则BC＝6+a，CD＝4+a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，即（6+a）2+（4+a）2＝102，
解得：a＝2，
∴BC＝6+2＝8，CD＝4+2＝6；
（2） 存在时刻t＝ s，使点H′恰好落在边BC上；理由如下：
①
如图1所示：
由折叠的性质得：∠AH'I＝∠AHI，AH'＝AH＝3t，
第 25 页 / 共 27 页∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∠BCD＝90°，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，AC＝BD，
∴AC＝BD＝ ＝ ＝10，OA＝OD＝5，
∴∠ADO＝∠OAD，
∵HI∥BD，
∴∠AHI＝∠ADO，
∴∠AH'I＝∠AHI＝∠ADO＝∠OAD＝∠ACH'，
∴△AIH'∽△AH'C，
∴ ＝ ，
∴AH'2＝AI×AC，
∵HI∥BD，
∴△AIH∽△AOD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：AI＝ t，
∴（3t）2＝ t×10，
解得：t＝ ，
即存在时刻t＝ s，使点H′恰好落在边BC上；
作PH⊥OH于H，交OF的延长线于P，作OM⊥AD于M，PN⊥AD于N，如图2所示：
②则OM∥CD∥PN，∠OMH＝∠HNP＝90°，OM是△ACD的中位线，
∴OM＝ CD＝3，
∵△OFH是等边三角形，
∴OF＝FH，∠OHF＝∠HOF＝60°，
∴∠FHP＝∠HPO＝30°，
∴FH＝FP＝OF，HP＝ OH，
∴DF是梯形OMNP的中位线，
第 26 页 / 共 27 页∴DN＝DM＝4，
∵∠MHO+∠MOH＝∠MHO+∠NHP＝90°，
∴∠MOH＝∠NHP，
∴△OMH∽△HNP，
∴ ＝ ＝ ，
∴HN＝ OM＝3 ，
∴DH＝HN﹣DN＝3 ﹣4，
∴AH＝AD﹣DH＝12﹣3 ，
∴t＝ ＝4﹣ ，
即当△OFH为正三角形时，t的值为（4﹣ ）s．
【点拨】本题是圆的综合题目，考查了切线长定理、矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相
似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形
的判定、三角形中位线定理、梯形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线长定
理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
第 27 页 / 共 27 页
