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湖北省武汉市 2020 年中考数学真题
一、选择题
1. 的相反数是( )
A. B. 2 C. D.
2.式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中
分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是( )
的
A. 两个小球 标号之和等于1 B. 两个小球的标号之和等于6
C. 两个小球的标号之和大于1 D. 两个小球的标号之和大于6
4.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是( )
.
A B. C. D.
5.下图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是( )
A. B. C. D.
6.某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选于的概率是(
)
A. B. C. D.
7.若点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则 的取值范围是(
)A. B. C. D. 或
8.一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始 内只进水不出水，
从第 到第 内既进水又出水，从第 开始只出水不进水，容器内水量 (单位： )与时
间 (单位： )之间的关系如图所示，则图中 的值是( )
A. 32 B. 34 C. 36 D. 38
9.如图，在半径为3的⊙O中， 是直径， 是弦， 是 的中点， 与 交于点 ．若 是
的中点，则 的长是( )
.
A B. C. D.
10.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“ ”形纸片，图(2)是一张由
6个小正方形组成的 方格纸片．把“ ”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，
共有如图(3)中的4种不同放置方法，图(4)是一张由36个小正方形组成的 方格纸片，将“ ”形纸
片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有 种不同放置方法，则 的值是( )A. 160 B. 128 C. 80 D. 48
二、填空题
11.计算 的结果是_______.
12.热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间(单位： )，分别为：4，3，3，
5，5，6．这组数据的中位数是________．
13.计算 的结果是________．
14.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图， 是平行四边形 的对角
线，点 在 上， ， ，则 的大小是________．
15.抛物线 ( ， ， 为常数， )经过 ， 两点，下列四个结论：
①一元二次方程 的根为 ， ；
②若点 ， 在该抛物线上，则 ；
③对于任意实数 ，总有 ；
④对于 的每一个确定值，若一元二次方程 ( 为常数， )的根为整数，则 的值
只有两个．
其中正确的结论是________(填写序号)．16.如图，折叠矩形纸片 ，使点 落在 边的点 处， 为折痕， ， ．设
的长为 ，用含有 的式子表示四边形 的面积是________．
三、解答题
17.计算： ．
18.如图，直线 分别与直线 ， 交于点 ， ． 平分 ， 平分 ，且 ∥
．求证： ∥ ．
19.为改善民生；提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，
按四个类别： 表示“非常支持”， 表示“支持”， 表示“不关心”， 表示“不支持”，调查他
们对该政策态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)这次共抽取了________名居民进行调查统计，扇形统计图中， 类所对应的扇形圆心角的大小是
________；
(2)将条形统计图补充完整；(2)该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的 类居民大约有多少人？
20.在 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 的顶点坐标分别为 ， ，
， ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
(1)将线段 绕点 逆时针旋转 ，画出对应线段 ；
(2)在线段 上画点 ，使 (保留画图过程的痕迹)；
的
(3)连接 ，画点 关于直线 对称点 ，并简要说明画法．
21.如图，在 中， ，以 为直径的⊙O交 于点 ， 与过点 的切线互相
垂直，垂足为 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ，求 的值．
22.某公司分别在 ， 两城生产同种产品，共100件． 城生产品的总成本 (万元)与产品数量 (件)之
间具有函数关系 ，当 时， ；当 时， ． 城生产产品的每
件成本为70万元．
(1)求 ， 的值；(2)当 ， 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求 ， 两城各生产多少件？
的
(3)从 城把该产品运往 ， 两地 费用分别为 万元/件和3万元/件；从 城把该产品运往 ， 两
地的费用分别为1万元/件和2万元/件， 地需要90件， 地需要10件，在(2)的条件下，直接写出 ，
两城总运费的和的最小值(用含有 的式子表示)．
23.问题背景：如图(1)，已知 ，求证： ；
尝试应用：如图(2)，在 和 中， ， ， 与
相交于点 ．点 在 边上， ，求 的值；
拓展创新：如图(3)， 是 内一点， ， ， ，
，直接写出 的长．
24.将抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线 ，再将抛物线 向左平移2个单位长度
得到抛物线 ．(1)直接写出抛物线 ， 的解析式；
(2)如图(1)，点 在抛物线 对称轴 右侧上，点 在对称轴 上， 是以 为斜边的等腰直角三
角形，求点 的坐标；
(3)如图(2)，直线 ( ， 为常数)与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点；直线
与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点．求证：直线 经过一个定点．湖北省武汉市 2020 年中考数学真题
一、选择题
1. 的相反数是( )
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的性质可得结果.
【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，
故选B．
【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .
2.式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由二次根式有意义的条件列不等式可得答案．
【详解】解：由式子 在实数范围内有意义，
故选D．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
3.两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中
分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是( )
A. 两个小球的标号之和等于1 B. 两个小球的标号之和等于6
C. 两个小球的标号之和大于1 D. 两个小球的标号之和大于6
【答案】B
【解析】【分析】
随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解．
【详解】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2，
选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误；
选项B：“两个小球的标号之和等于6”为随机事件，故选项B正确；
选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误；
选项D：“两个小球的标号之和大于6”为不可能事件，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各事件的定义是解决本题的关键．
4.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫
做轴对称图形”逐项判断即可得．
【详解】A、不是轴对称图形，此项不符题意
B、不是轴对称图形，此项不符题意
C、是轴对称图形，此项符合题意
D、不是轴对称图形，此项不符题意
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．
5.下图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
根据左视图的定义即可求解．
【详解】根据图形可知左视图为
故选A．
【点睛】此题主要考查三视图，解题的关键是熟知左视图的定义．
6.某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选于的概率是(
)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据概率公式即可求解．
【详解】画树状图为：
∴P(选中甲、乙两位)=
故选C．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选
出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
7.若点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则 的取值范围是(
)
.
A B. C. D. 或
【答案】B
【解析】【分析】
由反比例函数 ，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分
三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第
四象限且点B在第二象限讨论即可．
【详解】解：∵反比例函数 ，
∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，
∵ ，
∴a-1＞a+1，
此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
③由y＞y，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
1 2
综上， 的取值范围是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分
情况讨论，不要遗漏．
8.一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始 内只进水不出水，
从第 到第 内既进水又出水，从第 开始只出水不进水，容器内水量 (单位： )与时
间 (单位： )之间的关系如图所示，则图中 的值是( )A. 32 B. 34 C. 36 D. 38
【答案】C
【解析】
【分析】
设每分钟的进水量为 ，出水量为 ，先根据函数图象分别求出b、c的值，再求出 时，y的值，
然后根据每分钟的出水量列出等式求解即可．
【详解】设每分钟的进水量为 ，出水量为
由第一段函数图象可知，
由第二段函数图象可知，
即
解得
则当 时，
因此，
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象的应用，理解题意，从函数图象中正确获取信息，从而求出每分钟的进水量
和出水量是解题关键．
9.如图，在半径为3的⊙O中， 是直径， 是弦， 是 的中点， 与 交于点 ．若 是
的中点，则 的长是( )A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接DO、DA、DC，设DO与AC交于点H，证明△DHE≌△BCE，得到DH=CB，同时OH是三角形ABC
中位线，设OH=x，则BC=2x=DH，故半径DO=3x，解出x，最后在Rt△ACB中由勾股定理即可求解．
【详解】解：连接DO、DA、DC、OC，设DO与AC交于点H，如下图所示，
∵D是 的中点，∴DA=DC，∴D在线段AC的垂直平分线上，
∵OC=OA，∴O在线段AC的垂直平分线上，
∴DO⊥AC，∠DHC=90°，
∵AB是圆的直径，∴∠BCA=90°，
∵E是BD的中点，∴DE=BE，且∠DEH=∠BEC，
∴△DHE≌△BCE(AAS)，
∴DH=BC，
又O是AB中点，H是AC中点，
∴HO是△ABC的中位线，
设OH=x，则BC=DH=2x，
∴OD=3x=3，∴x=1，即BC=2x=2，
在Rt△ABC中， ．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等、勾股定理等，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决
此题的关键
10.下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“ ”形纸片，图(2)是一张由
6个小正方形组成的 方格纸片．把“ ”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，
共有如图(3)中的4种不同放置方法，图(4)是一张由36个小正方形组成的 方格纸片，将“ ”形纸
片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有 种不同放置方法，则 的值是( )
A. 160 B. 128 C. 80 D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算出 方格纸片中共含有多少个 方格纸片，再乘以4即可得．
【详解】由图可知，在 方格纸片中， 方格纸片的个数为 (个)
则
故选：A．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确得出在 方格纸片中， 方格纸片的个数是解题关键．
二、填空题
11.计算 的结果是_______.【答案】3
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质进行求解即可.
【详解】 = =3，
故答案为3.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质 是解题的关键.
12.热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间(单位： )，分别为：4，3，3，
5，5，6．这组数据的中位数是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据中位数的定义即可得．
【详解】将这组数据按从小到大进行排序为
则这组数据的中位数是
故答案为： ．
【点睛】本题考查了中位数的定义，熟记定义是解题关键．
13.计算 的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式的减法法则进行计算即可．
【详解】原式故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟记运算法则是解题关键．
14.在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图， 是平行四边形 的对角
线，点 在 上， ， ，则 的大小是________．
【答案】26°．
【解析】
【分析】
设∠BAC=x，然后结合平行四边形的性质和已知条件用 x 表示出∠EBA、∠BEC、 ∠BCE、 ∠BEC、
∠DCA、∠DCB，最后根据两直线平行同旁内角互补，列方程求出x即可．
【详解】解：设∠BAC=x
∵平行四边形 的对角线
∴DC//AB,AD=BC,AD//BC
∴∠DCA=∠BAC=x
∵AE=BE
∴∠EBA =∠BAC=x
∴∠BEC=2x
∵
∴BE=BC
∴∠BCE=∠BEC =2x∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x
∵AD//BC，
∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°．
故答案为26°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质，运用平行四边形结合已知条件判
定等腰三角形和掌握方程思想是解答本题的关键．
15.抛物线 ( ， ， 为常数， )经过 ， 两点，下列四个结论：
①一元二次方程 的根为 ， ；
②若点 ， 在该抛物线上，则 ；
③对于任意实数 ，总有 ；
④对于 的每一个确定值，若一元二次方程 ( 为常数， )的根为整数，则 的值
只有两个．
其中正确的结论是________(填写序号)．
【答案】①③
【解析】
【分析】
①根据二次函数与一元二次方程的联系即可得；②先点 ， 得出二次函数的对称轴，再根
据二次函数的对称性与增减性即可得；③先求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数图象的平移规律即
可 得 ； ④ 先 将 抛 物 线 向 下 平 移 个 单 位 长 度 得 到 的 二 次 函 数 解 析 式 为
，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】 抛物线 经过 ， 两点
一元二次方程 的根为 ， ，则结论①正确
抛物线的对称轴为的
时 函数值与 时的函数值相等，即为
当 时，y随x的增大而减小
又
，则结论②错误
当 时，
则抛物线的顶点的纵坐标为 ，且
将抛物线 向下平移 个单位长度得到的二次函数解析式为
由二次函数图象特征可知， 的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上
即 恒成立
则对于任意实数 ，总有 ，即 ，结论③正确
将抛物线 向下平移 个单位长度得到的二次函数解析式为
函数 对应的一元二次方程为 ，即
因此，若一元二次方程 的根为整数，则其根只能是 或 或
对应的 的值只有三个，则结论④错误
综上，结论正确的是①③
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质(对称性、增减性)、二次函数图象的平移问题、二次函数与一
元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键．16.如图，折叠矩形纸片 ，使点 落在 边的点 处， 为折痕， ， ．设
的长为 ，用含有 的式子表示四边形 的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意可以设DE EM x，在三角形AEM中用勾股定理进一步可以用t表示出x，再可以设CF y，
连接MF，所以BF 2 y，=在三=角形MFN与三角形MFB中利用共用斜边，根据勾股定理可求出用t表=示出
y，进而根据四边形=的−面积公式可以求出答案.
【详解】设DE EM x，
= =
∴ ，
∴x ，
=
设CF y，连接FM，
=
∴BF 2 y，
又∵F=N− y，NM 1，
= =
∴ ，∴y ，
=
∴四边形 的面积为： 1，
= ∙
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了勾股定理的综合运用，熟练掌握技巧性就可得出答案.
三、解答题
17.计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据同底数幂相乘、乘积的幂、幂的乘方、同底数幂相除运算法则逐步求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了整式的乘除中幂的运算法则，熟练掌握公式及其运算法则是解决此类题的关键．
18.如图，直线 分别与直线 ， 交于点 ， ． 平分 ， 平分 ，且 ∥
．求证： ∥ ．
【答案】证明见解析．【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义可得 ，再根据平行线的性质可得
，从而可得 ，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】 平分 ， 平分
，即
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关
键．
19.为改善民生；提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，
按四个类别： 表示“非常支持”， 表示“支持”， 表示“不关心”， 表示“不支持”，调查他
们对该政策态度 的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)这次共抽取了________名居民进行调查统计，扇形统计图中， 类所对应的扇形圆心角的大小是
________；
(2)将条形统计图补充完整；
(2)该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的 类居民大约有多少人？【答案】(1)60， ；(2)图见解析；(3)该社区表示“支持”的 类居民大约有1200人．
【解析】
【分析】
(1)根据C类的条形统计图和扇形统计图的信息可得出总共抽取的人数，再求出D类居民人数的占比，然
后乘以 即可得；
(2)根据(1)的结论，先求出A类居民的人数，再补全条形统计图即可；
(3)先求出表示“支持”的 类居民的占比，再乘以2000即可得．
的
【详解】(1)总共抽取 居民人数为 (名)
D类居民人数的占比为
则 类所对应的扇形圆心角的大小是
故答案为：60， ；
(2)A类居民的人数为 (名)
补全条形统计图如下所示：
(3)表示“支持”的 类居民的占比为
则 (名)
答：该社区表示“支持”的 类居民大约有1200人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
20.在 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 的顶点坐标分别为 ， ，
， ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
(1)将线段 绕点 逆时针旋转 ，画出对应线段 ；
(2)在线段 上画点 ，使 (保留画图过程的痕迹)；
(3)连接 ，画点 关于直线 的对称点 ，并简要说明画法．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析
【解析】
【分析】
(1)根据题意，将线段 是将线段 绕点 逆时针旋转 即可；
(2)将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段
，则四边形 是正方形，连接 ，DB， 交AB于点E，则E点为所求；
(3)将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，过E点作线段 交 于 ，交 于
，则 为所求．
【详解】解：(1)如图示，线段 是将线段 绕点 逆时针旋转 得到的；(2)将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，
将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
则四边形 是正方形，连接 ，DB， 交AB于点E，
则E点为所求，
理由如下：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
则有 ，
∴E点为所求；
(3)将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，
过E点作线段 交 于 ，交 于 ，为
则 所求；
理由如下：∵将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，
∴
∵ ，
∴ ,
∵四边形 的顶点坐标分别为 ， ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
根据 是平行四边形 的对角线，
∴
∴
∴ ，
∴ 垂直平分
∴ 是点 关于直线 的对称点，
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的性质和轴对称的性质，熟悉相关性质是
解题的关键．
21.如图，在 中， ，以 为直径的⊙O交 于点 ， 与过点 的切线互相垂直，垂足为 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；(2) 的值为 ．
【解析】
【分析】
(1)如图(见解析)，先根据圆的切线的性质可得 ，再根据平行线的判定与性质可得
，然后根据等腰三角形的性质可得 ，最后根据角平分线的定义即可得
证；
(2)如图(见解析)，先根据角的和差、等量代换可得 ，再根据三角形全等的判定定理与性质
可得 ，设 ，然后根据相似三角形的判定与性质可得 ，从而可
求出x的值，最后根据正弦三角函数的定义即可得．
【详解】(1)如图，连接OD
由圆的切线的性质得：
又则 平分 ；
(2)如图，连接BD
由圆周角定理得：
在 和 中，
设 ，则 ，且
在 和 中，
，即
解得 或 (不符题意，舍去)
经检验， 是所列分式方程的解
则在 中，故 的值为 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、正弦三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，
较难的是题(2)，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
22.某公司分别在 ， 两城生产同种产品，共100件． 城生产品的总成本 (万元)与产品数量 (件)之
间具有函数关系 ，当 时， ；当 时， ． 城生产产品的每
件成本为70万元．
(1)求 ， 的值；
(2)当 ， 两城生产这批产品的总成本的和最少时，求 ， 两城各生产多少件？
(3)从 城把该产品运往 ， 两地的费用分别为 万元/件和3万元/件；从 城把该产品运往 ， 两
地的费用分别为1万元/件和2万元/件， 地需要90件， 地需要10件，在(2)的条件下，直接写出 ，
两城总运费的和的最小值(用含有 的式子表示)．
【答案】(1) ， ；(2)A城生产20件，B城生产80件；(3)当 时， ， 两城总运费
的和的最小值为 万元；当 时， ， 两城总运费的和的最小值为 万元．
【解析】
【分析】
(1)先根据题意得出产品数量为0时，总成本y也为0，再利用待定系数法即可求出a、b的值；
(2)先根据(1)的结论得出y与x的函数关系式，从而可得出 ， 两城生产这批产品的总成本的和，再根
据二次函数的性质即可得；
(3)设从A城运往C地的产品数量为 件， ， 两城总运费的和为 ，先列出从A城运往D地的产品数量、从B城运往C地的产品数量、从B城运往D地的产品数量，再求出n的取值范围，然后根据题干运费
信息列出 与 的函数关系式，最后根据一次函数的性质求解即可得．
【详解】(1)由题意得：当产品数量为0时，总成本也为0，即 时，
则 ，解得
故 ， ；
(2)由(1)得：
设 ， 两城生产这批产品的总成本的和为
则
整理得：
由二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值，最小值为6600万元
此时
答：A城生产20件，B城生产80件；
(3)设从A城运往C地的产品数量为 件， ， 两城总运费的和为 ，则从A城运往D地的产品数量为
件，从B城运往C地的产品数量为 件，从B城运往D地的产品数量为 件
由题意得： ，解得
整理得：
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当 时，在 内， 随 的增大而减小
则 时， 取得最小值，最小值为②当 时，在 内， 随 的增大而增大
则 时， 取得最小值，最小值为
答：当 时， ， 两城总运费的和的最小值为 万元；当 时， ， 两城总运
费的和的最小值为 万元．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的实际应用等知识点，较
难的是题(3)，正确设立未知数，建立函数关系式是解题关键．
23.问题背景：如图(1)，已知 ，求证： ；
尝试应用：如图(2)，在 和 中， ， ， 与
相交于点 ．点 在 边上， ，求 的值；
拓展创新：如图(3)， 是 内一点， ， ， ，
，直接写出 的长．
【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新： ．
【解析】
【分析】
问题背景：通过 得到 ， ，再找到相等的角，从而可证；
尝试应用：连接CE，通过 可以证得 ，得到 ，然后去证
， ，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过 ，
，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】问题背景：∵ ，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴ ；
尝试应用：连接CE，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴ ，
∴ ，由于 ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵
∴ ，
∴ ；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD， ，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴ ，
∴ ，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴ ，
∴ ，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24.将抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线 ，再将抛物线 向左平移2个单位长度
得到抛物线 ．
(1)直接写出抛物线 ， 的解析式；
(2)如图(1)，点 在抛物线 对称轴 右侧上，点 在对称轴 上， 是以 为斜边的等腰直角三
角形，求点 的坐标；
(3)如图(2)，直线 ( ， 为常数)与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点；直线
与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点．求证：直线 经过一个定点．
【答案】(1)抛物线 的解析式为： y=x2-4x-2；抛物线 的解析式为：y=x2-6；(2)点 的坐标为(5，3)
或(4，-2)；(3)直线 经过定点(0，2)
【解析】
【分析】
(1)根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；
(2)先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证
出 是等腰直角三角形．设点A的坐标为(x，x2-4x-2)，把DC和AC用含x的代数式表示出来，利
用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况；(3)根据直线 ( ， 为常数)与抛物线 交于 ， 两点，联立两个解析式，得到关于x的一
元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定
系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可．
【详解】解：(1)∵抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线 ，再将抛物线 向左平移
2个单位长度得到抛物线 ，
∴抛物线 的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，
抛物线 的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6．
(2)如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，
∵ 是等腰直角三角形，
∴∠BOA =45°，
又∵∠BDO=∠BAO=90°，
∴点A、B、O、D四点共圆，
∴∠BDA=∠BOA=45°，
∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴DC=AC．
∵点 在抛物线 对称轴 右侧上，点 在对称轴 上，∴抛物线 的对称轴为x=2，
设点A的坐标为(x，x2-4x-2)，
∴DC=x-2，AC= x2-4x-2，
∴x-2= x2-4x-2，
解得：x=5或x=0(舍去)，
∴点A的坐标为(5，3)；
同理，当点B、点A在x轴的下方时，
x-2= -(x2-4x-2)，
x=4或x=-1(舍去)，
∴点 的坐标为(4，-2)，
综上，点 的坐标为(5，3)或(4，-2)．
(3)∵直线 ( ， 为常数)与抛物线 交于 ， 两点，
∴ ，
∴x2-kx-6=0，
设点E的横坐标为x ，点F的横坐标为x ，
E F
∴x +x =k，
E F
∴中点M的横坐标x = = ，
M
中点M的纵坐标y =kx= ，
M
∴点M的坐标为( ， )；
同理可得：点N的坐标为( ， )，
设直线MN的解析式为y=ax+b(a≠0)，
将M( ， )、N( ， )代入得：，
解得： ，
∴直线MN的解析式为y= ·x+2( )，
不论k取何值时( )，当x=0时，y=2，
∴直线 经过定点(0，2)．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、
用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．
