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2020年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣ 的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【分析】依据绝对值的性质求解即可．
【解答】解：|﹣ |＝ ．
故选：A．
2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a8÷a4＝a2
C．5a﹣3a＝2a D．（﹣ab2）2＝﹣a2b4
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝a5，故A错误．
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（B）原式＝a4，故B错误．
（D）原式＝a4b2，故D错误．
故选：C．
4．（3分）一组数据1，4，3，1，7，5的众数是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3.5
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数据；据此即可求得正确答案．
【解答】解：本题中数据1出现了2次，出现的次数最多，所以本组数据的众数是1．
故选：A．
5．（3分）一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从
袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率，即可求出①答案． ②
【解答】解：根据题意可得：袋中有4个红球、2个白球，共6个，
从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是 ＝ ．
故选：D．
6．（3分）不等式组 的整数解的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式3+x＞1，得：x＞﹣2，
解不等式2x﹣3≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
所以不等式组的整数解有﹣1、0、1、2这4个，
故选：C．
7．（3分）我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为 400米的公
路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程
队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、
乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据
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题意，所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还
剩50米的工程和甲工程队每天比乙工程队多施工 2米，可以列出相应的二元一次方程
组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
8．（3分）一个零件的形状如图所示，AB∥DE，AD∥BC，∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，
则∠A的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠ADB＝60°和∠ABD的度数，再根据三角形内
角和，即可得到∠A的度数．
【解答】解：∵AB∥DE，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠BDE，∠ADB＝∠CBD，
∵∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，
∴∠ADB＝60°，∠ABD＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝80°，
故选：B．
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9．（3分）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点E（1，
0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
【分析】过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，得矩形OFDH，根据点E
（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，可以求出EG和DH的长，进而可得OH
的长，所以得点D的坐标，即可得k的值．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，
∵DF∥x轴，
∴得矩形OFDH，
∴DF＝OH，DH＝OF，
∵E（1，0）和点F（0，1），
∴OE＝OF＝1，∠OEF＝45，
∴AE＝EF＝ ，
∵四边形ABCD是矩形，
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∴∠A＝90°，
∵∠AEG＝∠OEF＝45°，
∴AG＝AE＝ ，
∴EG＝2，
∵DH＝OF＝1，
∠DHG＝90°，∠DGH＝∠AGE＝45°，
∴GH＝DH＝1，
∴DF＝OH＝OE+EG+GH＝1+2+1＝4，
∴D（4，1），
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∵k＝4．
则k的值为4．
故选：C．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四
个结论中： abc＞0， 2a+b＝0， 4a+b2＜4ac， 3a+c＜0．正确的个数是（
） ① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】 根据抛物线开口向下可得a＜0，对称轴在y轴右侧，得b＞0，抛物线与y
轴正半轴相①交，得c＞0，进而即可判断；
根据抛物线对称轴是直线x＝1，即﹣ ＝1，可得b＝﹣2a，进而可以判断；
②
根据抛物线与x轴有2个交点，可得△＞0，即b2﹣4ac＞0，进而可以判断；
③当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，根据b＝﹣2a，可得3a+c＜0，即可判断．
④
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【解答】解： 根据抛物线开口向下可知：
a＜0， ①
因为对称轴在y轴右侧，
所以b＞0，
因为抛物线与y轴正半轴相交，
所以c＞0，
所以abc＜0，
所以 错误；
因①为抛物线对称轴是直线x＝1，
②
即﹣ ＝1，
所以b＝﹣2a，
所以b+2a＝0，
所以 正确；
因②为抛物线与x轴有2个交点，
③所以△＞0，
即b2﹣4ac＞0，
所以b2﹣4ac+4a＞4a，
所以4a+b2＞4ac+4a，
所以 错误；
当③x＝﹣1时，y＜0，
④即a﹣b+c＜0，
因为b＝﹣2a，
所以3a+c＜0，
所以 正确．
所以④正确的个数是 2个．
故选：B． ②④
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实
际参与人数将达到450000000，将数据450000000用科学记数法表示为 4.5×1 0 8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
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同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数据450000000用科学记数法表示为4.5×108．
故答案为：4.5×108．
12．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝ a （ b + 3 ）（ b ﹣ 3 ） ．
【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案．
【解答】解：原式＝a（b2﹣9）
＝a（b+3）（b﹣3），
故答案为：a（b+3）（b﹣3）．
13．（3分）甲、乙两人参加“环保知识”竞赛，经过6轮比赛，他们的平均成绩都是97
分．如果甲、乙两人比赛成绩的方差分别为s甲 2＝6.67，s乙 2＝2.50，则这6次比赛成绩
比较稳定的是 乙 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵s甲 2＝6.67，s乙 2＝2.50，
∴s甲 2＝＞s乙 2，
∴这6次比赛成绩比较稳定的是乙，
故答案为：乙．
14．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
是 k ＞﹣ 1 ．
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2+4k＞0，
解得k＞﹣1．
故答案为：k＞﹣1．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半
径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径
作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，
AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为 1 2 ．
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【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD＝DF，即可
得出答案．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝8，AF＝AB，
∴FC＝AC﹣AF＝8﹣5＝3，
由作图方法可得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△AFD中
，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴BD＝DF，
∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+3＝12．
故答案为：12．
16．（3分）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接
FE，FC，则∠EFA的度数是 66 ° ．
【分析】根据正五边形和电视背景下的性质得到∠EAF＝108°﹣60°＝48°，根据等腰三
角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠EAB＝ ＝108°，
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∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB＝60°，
∴∠EAF＝108°﹣60°＝48°，
∵AE＝AF，
∴∠AE＝∠AFE＝ （180°﹣48°）＝66°，
故答案为：66°．
17．（3分）一张菱形纸片ABCD的边长为6cm，高AE等于边长的一半，将菱形纸片沿直
线MN折叠，使点A与点B重合，直线MN交直线CD于点F，则DF的长为 （ 3
+3 ）或（ 3 ﹣ 3 ） cm．
【分析】根据题意分两种情况： 如图1：根据菱形纸片ABCD的边长为6cm，高AE
等于边长的一半，可得菱形的一个①内角为30°，根据折叠可得BH＝AH＝3，再根据特殊
角三角函数即可求出CF的长，进而可得DF的长；如图2，将如图1中的点A和点B交
换一下位置，同理即可求出DF的长就是如图1中的CF的长．
【解答】解： 根据题意画出如图1：
①
∵菱形纸片ABCD的边长为6cm，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵高AE等于边长的一半，
∴AE＝3，
∵sin∠B＝ ＝ ，
∴∠B＝30°，
将菱形纸片沿直线MN折叠，使点A与点B重合，
∴BH＝AH＝3，
∴BG＝ ＝2 ，
∴CG＝BC﹣BG＝6﹣2 ，
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∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝30°，
∴CF＝CG•cos30°＝（6﹣2 ）× ＝3 ﹣3，
∴DF＝DC+CF＝6+3 ﹣3＝（3 +3）cm；
如图2，BE＝AE＝3，
②
同理可得DF＝3 ﹣3．
综上所述：则DF的长为（3 +3）或（3 ﹣3）cm．
故答案为：（3 +3）或（3 ﹣3）．
18．（3分）如图，∠MON＝45°，正方形ABB C，正方形A B B C ，正方形A B B C ，正
1 1 1 2 1 2 2 3 2
方形A B B C ，…，的顶点A，A ，A ，A ，…，在射线OM上，顶点B，B ，B ，B ，
3 3 4 3 1 2 3 1 2 3
B ，…，在射线ON上，连接AB 交A B 于点D，连接A B 交A B 于点D ，连接A B
4 2 1 1 1 3 2 2 1 2 4
交A B 于点D ，…，连接B D 交AB 于点E，连接B D 交A B 于点E ，…，按照这个
3 3 2 1 1 2 2 2 1 3 1
规律进行下去，设△ACD与△B DE的面积之和为S ，△A C D 与△B D E 的面积之和
1 1 1 1 1 2 1 1
为S ，△A C D 与△B D E 的面积之和为S ，…，若AB＝2，则S 等于 ×4 n ﹣ 1 ．
2 2 2 2 3 2 2 3 n
（用含有正整数n的式子表示）
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【分析】设△ADC的面积为S，利用相似三角形的性质求出S ，S ，…S 与S的关系即
1 2 n
可解决问题．
【解答】解：设△ADC的面积为S，
由题意，AC∥B B ，AC＝AB＝2，B B ＝4，
1 2 1 2
∴△ACD∽△B B D，
2 1
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴ ＝4S，
∵ ＝ ＝ ，CB ＝2，
1
∴DB ＝ ，
1
同法D B ＝ ，
1 2
∵DB ∥D B ，
1 1 2
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴S ＝S+ ＝ ，
1
∵△A C D ∽△ACD，
1 1 1
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∴ ＝（ ）2＝ ，
∴ ＝4S，
同法可得， ＝ ，
∴S ＝4S+ ＝ ＝ ×4，
2
…
S ＝ ×4n﹣1，
n
∵S＝ ×2× ＝ ，
∴S ＝ ×4n﹣1．
n
故答案为： ．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：（x﹣1﹣ ）÷ ，其中x＝3．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式
子即可解答本题．
【解答】解：（x﹣1﹣ ）÷
＝
＝
＝ ，
当x＝3时，原式＝ ．
20．（12分）某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必
须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学
校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图
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两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 6 0 人；
（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
（3）通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，
现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出
所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）根据摄影的人数和所占的百分比求出抽取的总人数；
（2）用总人数减去其他兴趣小组的人数求出航模的人数，从而补全统计图；用 360°乘
以“航模”所占的百分比即可得出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
（3）根据题意画出图表得出所有等可能的情况数和所选的2人恰好是1名男生和1名女
生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）本次被调查的学生有：9÷15%＝60（人）；
故答案为：60；
（2）航模的人数有：60﹣9﹣15﹣12＝24（人），
补全条形统计图如图：
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“航模”所对应的圆心角的度数是：360°× ＝144°；
（3）设两名男生分别为男1，男2，两名女生分别为女1，女2，列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1）
男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2）
女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1）
女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2）
由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰
好是1名男生和1名女生的情况有8种．
则所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率是 ＝ ．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．
在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个
数与用480元购买B种书架的个数相同．
（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可
以购买多少个A种书架？
【分析】（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为（x+20）元，根据数量
＝总价÷单价结合用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同，
即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设准备购买m个A种书架，则购买B种书架（15﹣m）个，根据题意列出不等式
并解答．
【解答】解：（1）设B种书架的单价为x元，根据题意，得 ．
解得x＝80．
经检验：x＝80是原分式方程的解．
∴x+20＝100．
答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．
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（2）设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80（15﹣m）≤1400．
解得m≤10．
答：最多可购买10个A种书架．
22．（12分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观
测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为
14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M
在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）
（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25， ≈1.73）
【分析】（1）根据正切的定义求出AM；
（2）根据正切的定义求出BM，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵AB垂直于桥面，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°，
在Rt△AMC中，CM＝60，∠ACM＝30°，
tan∠ACM＝ ，
∴AM＝CM•tan∠ACM＝60× ＝20 （米），
答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20 米；
（2）在Rt△BMC中，CM＝60，∠BCM＝14°，
tan∠BCM＝ ，
∴MB＝CM•tan∠BCM≈60×0.25＝15，
∴AB＝AM+MB＝15+20 ≈50（米）
答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．
五、解答题（满分12分）
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23．（12分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网
店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关
系，三对对应值如下表：
销售单价x（元） 12 14 16
每周的销售量y（本） 500 400 300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为 x元（12≤x≤15，且x为整
数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润
最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答
本题．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
，得 ，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，
∵a＝﹣50＜0
∴w有最大值
∴当x＜16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，
∴w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，四边形ABCD内接于 O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的
直线与CA的延长线相交于点E，且∠E⊙DA＝∠ACD．
（1）求证：直线DE是 O的切线；
（2）若AD＝6，CD＝8⊙，求BD的长．
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【分析】（1）连接OD．想办法证明OD⊥DE即可．
（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，想办法求出BF，DF
即可．
解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．证明△BDH是等腰直角三角形，求出
DH即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDA＝∠ACD，
∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是 O的切线．
⊙
（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，
∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，
∴AC＝10，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
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∵ ，
∴ ，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∵在Rt△ADF中，AD＝6，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在Rt△ABF中，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．
∴∠DBH＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABD＝90°﹣∠DBC∠CBH＝90°﹣∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBH，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°⊙，
∵∠BCD+∠BCH＝180°，
∴∠BAD＝∠BCH，
∵AB＝CB，
∴△ABD≌△CBH（ASA），
∴AD＝CH，BD＝BH，
∵AD＝6，CD＝8，
∴DH＝CD+CH＝14，
在Rt△BDH中，∵BD2＝DH2﹣BH2＝98，
∴ ．
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七、解答题（满分12分）
25．（12分）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD，将△BEC
绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO．
（1）如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量
关系；
（2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证
明过程，若不成立，请说明理由；
（3）若BC＝4，CD＝2 ，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，
请直接写出线段OD的长．
【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出OE＝OA＝ AB，进
而得出∠BOE＝2∠BAE，同理得出OD＝OA＝ AB，∠DOE＝2∠BAD，即可得出结论；
（2）先判断出△AOM≌△BOE（SAS），得出∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，再判断出
∠MAD＝∠DCE，进而判断出△MAD≌△ECD，即可得出结论；
（3）分点B在AC左侧和右侧两种情况，类似（2）的方法判断出OD＝OE，即可得出
结论．
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【解答】解：（1）DO⊥EO，DO＝EO；
理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，点O是AB的中点，
∴OE＝OA＝ AB，
∴∠BOE＝2∠BAE，
在Rt△ABD中，点O是AB的中点，
∴OD＝OA＝ AB，
∴∠DOE＝2∠BAD，
∴OD＝OE，
∵等腰△ADC，且∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∴∠DOE＝∠BOE+DOE＝2∠BAE+2∠BAD＝2（∠BAE+∠DAE）＝2∠DAC＝90°，
∴OD⊥OE；
（2）仍然成立，
理由：如图1，延长ED到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∵∠AOM＝∠BOE，
∴△AOM≌△BOE（SAS），
∴∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，
∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠CAD＝∠ACD＝∠EBC＝∠BCE＝45°，
∵∠OBE＝180°﹣∠EBC＝135°，
∴∠MAO＝135°，
∴∠MAD＝∠MAO﹣∠DAC＝90°，
∵∠DCE＝∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠MAD＝∠DCE，
∵MA＝EB，EB＝EC，
20【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴MA＝EC，
∵AD＝DC，
∴△MAD≌△ECD，
∴MD＝ED，∠ADM＝∠CDE，
∵∠CDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADM+∠ADE＝90°，
∴∠MDE＝90°，
∵MO＝EO，MD＝DE，
∴ ，OD⊥ME，
∵ ，
∴OD＝OE，OD⊥OE；
（3） 当点B在AC左侧时，如图3，
延长E①D到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，
同（2）的方法得，△OBE≌△OAM（SAS），
∴∠OBE＝∠OAM，OM＝OE，BE＝AM，
∵BE＝CE，
∴AM＝CE，
在四边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+∠OBE+∠BAD＝540°，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DCE＝540°﹣90°﹣90°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OBE＝360°﹣∠OAM﹣
∠BAD，
∵∠DAM+∠OAM+∠BAD＝360°，
∴∠DAM＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，
∴∠DAM＝∠DCE，
∵AD＝CD，
∴△DAM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠ADM＝∠CDE，
∴∠EDM＝∠ADM+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，
∵OM＝OE，
21【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴OD＝OE＝ ME，∠DOE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝ BC＝2 ，
过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H，
在 Rt△CHE 中，∠ECH＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°﹣45°＝
30°，
∴EH＝ CE＝ ，
根据勾股定理得，CH＝ EH＝ ，
∴DH＝CD+CH＝3 ，
在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE＝ ＝2 ，
∴OD＝ DE＝2 ，
当点B在AC右侧时，如图4，
②同 的方法得，OD＝OE，∠DOE＝90°，
连①接DE，过点E作EH⊥CD于H，
在Rt△EHC中，∠ECH＝30°，
∴EH＝ CE＝ ，
根据勾股定理得，CH＝ ，
∴DH＝CD﹣CH＝ ，
在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE＝2 ，
∴OD＝ DE＝2，
即：线段OD的长为2或 ．
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八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+ x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与
y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0， ），点M在抛物线上，点N在直线BC
上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
【分析】（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入抛物线的解析式中，列方程组解出即
可；
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（2）如图1，作辅助线，构建相似三角形，证明△DCH∽△CBO，则 ，设点D
的横坐标为t，则 ，列关于t的方程解出可得结论；
（3）利用待定系数法求直线BC的解析式为：y＝﹣ x+3，设N（m，﹣ m+3），当
以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，存在两种情况：如图2和图3，分别
画图，根据平移的性质可表示M的坐标，代入抛物线的解析式列方程可解答．
【解答】解：（1）∵抛物线 经过点A（﹣1，0），C（0，3），
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC，
过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°，
∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC，
∴∠DCH＝∠ABC，
∵∠DHC＝∠COB＝90°，
∴△DCH∽△CBO，
∴ ，
设点D的横坐标为t，则 ，
∵C（0，3），
∴ ，
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵点B是 与x轴的交点，
∴ ，
解得x ＝4，x ＝﹣1，
1 2
∴B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∴ ，
解得t ＝0（舍去），t ＝2，
1 2
∴点D的纵坐标为： ，
则点D坐标为 ；
（3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则 ，解得： ，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣ x+3，
设N（m，﹣ m+3），
分两种情况：
如图2，以DF为边，N在x轴的上方时，四边形DFNM是平行四边形，
①
∵D（2， ），F（0， ），
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∴M（m+2，﹣ m+4），
代入抛物线的解析式得：﹣ ＝﹣ m+4，
解得：m＝ ，
∴N（ ，3﹣ ）或（﹣ ，3+ ）；
如图3，以DF为边，N在x轴的下方时，四边形DFMN是平行四边形，
②
同理得：M（m﹣2，﹣ m+2），
代入抛物线的解析式得：﹣ ＝﹣ m+2，
解得：m＝4 ，
∴N（4+ ，﹣ ）或（4﹣ ， ）；
综上，点 N的坐标分别为：（ ，3﹣ ）或（﹣ ，3+ ）或（4+ ，﹣
）或（4﹣ ， ）．
26
