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数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．-11的相反数是（ ）
A．-11 B． C． D．11
2．如右图所示的圆柱，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截止2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，
数据13 976 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
6．不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．7．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列，下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统
计图．
综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC， ，BC＝44cm，则高
AD约为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
10．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中 ， ，AB＝8，点A对应直尺的刻度
为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到 ，点 对应直尺的刻度为0，则四边形
的面积是（ ）A．96 B． C．192 D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．四边形的外角和度数是______．
12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______．
13．一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，
这个球是红球的概率是______．
14．已知反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个
符合条件的实数）
15．推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令 ，
等式两边都乘以x，得 ． ①
等式两边都减 ，得 ． ②
等式两边分别分解因式，得 ． ③
等式两边都除以 ，得 ． ④
等式两边都减m，得x＝0． ⑤
所以任意一个实数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．
16．已知抛物线 与x轴交于A，B两点，抛物线 与x轴交于C，D两点，其中
n>0．若AD＝2BC，则n的值为______．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）
计算： ．
18．（8分）
如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．
求证：∠A＝∠D．
19．（8分）
先化简，再求值： ，其中 ．
20．（8分）
学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，
组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．
调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时
间t（单位：h），并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，
调查他们一周的课外劳动时间t（单位：h），按同样的分组方法制成如下扇形统计图，其中A组为 ，
B组为 ，C组为 ，D组为 ，E组为 ，F组为 ．
（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；
（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
21．（8分）如图，△ABC内接于⊙O， 交⊙O于点D， 交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，
CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求 的长（结果保留π）．
22．（10分）
在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．
同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．
已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
23．（10分）
如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求
的值．
24．（12分）
已知 ，AB＝AC，AB>BC．（1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，
用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若 ，求
∠ADB的度数．
25．（14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，
且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C， 交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为 ， ，
．判断 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
数学试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识与基本技能．每小题4分，满分40分．
1．D 2．A 3．C 4．A 5．B
6．C 7．C 8．D 9．B 10．B
二、填空题：本题考查基础知识与基本技能．每小题4分，满分24分．11．360° 12．6 13．
14．答案不唯一，负数即可 15．④ 16．8
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．本小题考查二次根式、绝对值、零指数幂等基础知识．满分8分．
解：原式 ．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
18．本小题考查全等三角形的判定与性质等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观．满分8分．
证明：∵BF＝EC，∴ ，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中， ，
∴ ，∴∠A＝∠D．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
19．本小题考查平方差公式、分式基本性质等基础知识，考查因式分解、分式运算、二次根式化简等基本技
能．满分8分．
解：原式
．
当 时，原式 ．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
20．本小题考查统计图、中位数、样本估计总体等基础知识，考查阅读理解能力、应用意识和数据分析观念．
满分8分．
解：（1）活动前调查数据的中位数落在C组；活动后调查数据的中位数落在D组．
（2）一周的课外劳动时间不小于3h的比例为 ， ．
答：根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
21．本小题考查等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的性质和弧长公式等基础知识，考
查化归与转化思想，考查推理能力、空间观念与几何直观等数学素养．满分8分．
证明：（1）∵ ， ，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴ ，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO．
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，∴ ，
∴ ．
∴ 的长 ．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
22．本小题考查一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数的性质等基础知识，考
查函数与方程思想，考查运算能力、模型思想、应用意识等数学素养．满分10分．
解：（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆．
根据题意，得 ，解得 ，
因为38>2×8，所以答案符合题意．
答：可购买绿萝38盆，吊兰8盆．（2）设购买绿萝m盆，吊兰 盆，购买两种绿植的总费用为W元．
，
根据题意，得 ，解得 ，
因为W是m的一次函数，W随m的增大而增大，
又m为整数，所以m取最小值31时，W的值最小．
当m＝31时， （元）．
答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
23．本小题考查直角三角形的性质、特殊平行四边形的判定与性质、圆的概念与性质、锐角三角函数、一元
二次方程等基础知识，考查尺规作图技能，考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力、
运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养，渗透数学文化．满分10分．
解：（1）
如图所示，⊙A即为所求作．
（2）设 ，⊙A的半径为r．
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°．
∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形．
又 ，∴四边形AEFG是正方形．
∴ ．
在Rt△AEB和Rt△DAB中， ， ，
∴ ．在Rt△ABE中， ，∴ ．
∵四边形ABCD是矩形，∴ ，AB＝CD，
∴ ，又 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
在Rt△ADE中， ，即 ，
∴ ，即 ．
∵ ，∴ ．即tan∠ADB的值为 ．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
24．本小题考查平行线的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等基础知识，考
查特殊与一般、函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力、空间观念与几何直观等数学素养．
满分12分．
解：（1）∵ ，∴AC＝DC．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC．
∵CB平分∠ACD，∴ ，∴ ，∴ ，∴四边形ABDC是平行四边形．
又AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形．
（2）结论： ．
∵ ，∴ ．
∵AB＝AC，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ．
（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM．
∵AB＝CD， ，∴ ，∴BM＝BD， ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
设 ， ，则 ．
∵CA＝CD，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，即∠ADB＝30°．
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考．
25．本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角函数、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基
础知识，考查数形结合、函数与方程、函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几
何直观、创新意识等数学素养．满分14分．
解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入 ，
得 ，解得 ．所以抛物线的解析式为 ．
（2）设直线AB的解析式为 ，
将A（4，0），B（1，4）代入 ，
得 ，解得 ．
所以直线AB的解析式为 ．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以 ．
因为A（4，0），B（1，4），所以 ．因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以 ， ．
设 ，则 ．
所以 ，
即 ，
解得 ， ．
所以点P的坐标为 或（3，4）．
