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2022 年辽宁省丹东市中考数学试卷
一、选择题
1. －7的绝对值是（ ）
A. 7 B. －7 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【详解】解：－7的绝对值是7，
故答案选：A．
【点睛】本题考查绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
的
2. 下列运算正确 是（ ）
A. a2•a3＝a6 B. （a2）3＝a5 C. （ab）3＝a3b3 D. a8÷a2＝a4
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法运算、同底数幂乘方运算、积的乘方、幂的除法运算法则，对选项进行逐一
计算即可．
【详解】解：a2•a3＝a5，A选项错误；
（a2）3＝a6，B选项错误；
（ab）3＝a3b3，C选项正确；
a8÷a2＝a6，D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的基本运算，解题关键在于要注意指数在计算过程中是相加还是相乘．
3. 如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】从左边看该组合体，所得到的图形即为左视图．
【详解】解：从左边看到第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，
看到的图形如下：
故选：A．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，把从左边看到的图形画出来是解题的关键．
4. 四张不透明的卡片，正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们
背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是﹣10的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，从中随机抽取一张卡片，﹣10的个数是1，再根据概率公
式直接求解即可求得概率．
【详解】解：由题意可知，共有4张标有数字﹣2，3，﹣10，6的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，
其中为﹣10的有1种，所以随机抽取一张，这张卡片正面的数字是﹣10的概率是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提．
5. 在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A. x≥3 B. x≥﹣3 C. x≥3且x≠0 D. x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是
解题的关键．
6. 如图，直线l//l，直线l 与l，l 分别交于A，B两点，过点A作AC⊥l，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2
1 2 3 1 2 2
的度数是（ ）
A. 32° B. 38° C. 48° D. 52°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵直线l∥l，∠1＝52°，
1 2
∴∠ABC＝∠1＝52°，
∵AC⊥ l，
2
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，
故选：B．
【点睛】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：
①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
7. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是s 2＝
甲
0.12，s 2＝0.59，s 2＝0.33，s 2＝0.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
乙 丙 丁
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．进行判断即可．
【详解】解：∵s 2＝0.12，s 2＝0.59，s 2＝0.33，s 2＝0.46，
甲 乙 丙 丁
∴s 2＜s 2＜s 2＜s 2，
甲 丙 丁 乙
∴成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离
平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平
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学科网（北京）股份有限公司均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（
）
A. 6π B. 2π C. π D. π
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴ 的长是 =π，
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角
为n°的弧的长度是 ．
9. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，
结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝
kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝
．其中正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③
错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析
式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴
于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣ ＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
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学科网（北京）股份有限公司∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴a2＝ ，
∵a＞0，
∴a＝ ，故⑤正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方
程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
10. 美丽的丹东山清水秀，水资源丰富．2021年水资源总量约为12600000000立方米，数据12600000000
用科学记数法表示为______．
【答案】1.26×1010
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，
当原数绝对值＜1时，n是负整数．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：12600000000=1.26×1010．
故答案为：1.26×1010．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11. 因式分解：2a2＋4a＋2＝___________．
【答案】2（a＋1）2
【解析】
【分析】先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解.
【详解】2a2＋4a＋2=2（a2＋2a＋1）=2（a＋1）2
故答案为：2（a＋1）2
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握提公因式法和公式法是解题关键.
12. 若关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．
【答案】m≤
【解析】
【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求出m的取
值范围．
【详解】∵方程x2+3x+m=0有实数根，
∴△=32-4m≥0，
解得：m≤ ．
故答案为m≤ ．
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合跟的判别式得出
不等式．
13. 某书店与一所中学建立帮扶关系，连续6个月向该中学赠送书籍的数量（单位：本）分别为：200，
300，400，200，500，550，则这组数据的中位数是______本．
【答案】350
【解析】
【分析】根据中位数的概念求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司的
【详解】解：将数据200，300，400，200，500，550按照从小到大 顺序排列为：200，200，300，400，
500，550．则其中位数为： ＝350．
故答案为：350．
【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数．
14. 不等式组 的解集为______．
【答案】1.5＜x＜6
【解析】
【分析】先解每一个不等式，再求它们的解集的公共部分．
【详解】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
所以不等式组的解集为：1.5＜x＜6，
故答案为：1.5＜x＜6．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，熟练解一元一次不等式是解题的关键．
15. 如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，
△
两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为______．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用勾股定理求出AC，再利用线段的垂直平分线的性质求出AD．
【详解】解：在Rt ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，
△
∴AC= = =4 ，
由作图可知，PQ垂直平分线段AC，
∴AD=DC= AC=2 ，
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象
信息，灵活运用所学知识解决问题．
16. 如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y= （x＞
0） 的图象上，点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则
k=______．
【答案】-4
【解析】
【分析】连接OB，根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|+3=7，进而即可求得k的值．
【详解】解：连接OB，
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S = |k|，S = = ，
AOD BOD
△ △
∴S =S +S = |k|+ ，
△AOB △AOD △BOD
∴S =2S =|k|+3，
平行四边形OABC △AOB
∵平行四边形OABC的面积是7，
∴|k|=4，
∵在第四象限，
∴k=-4，
故答案为：-4．
【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义、平行四边形的面积，熟知在反比例函数的图象上任意一点
向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|是解答此题的关键．
17. 如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线
段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于
点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面
积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2 ﹣2 ．其中正确的是
______．（请填写序号）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】①②
【解析】
【分析】①证明△ABC是等边三角形，进而得出三角形全等的三个条件；
②可推出点G是AD的中点，可以得出S ＝S ＝2S ，根据点O是BD的中点，可以得到S ＝
△COD △AOD △DOG △BOG
S ，进一步得出结果；
△DOG
③根据AB∥CD得出 ，从而得出CG＝3，于是BE：CG＝4：3；
④可推出∠BPC＝120°，从而得出点P在以等边三角形BCH的外接圆的 上运动，当点O、P、I共线时，
OP最小．
【详解】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
在△ABF和△BCE中， ，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
故①正确；
②由①知：△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵AF＝BE＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，
∴△AGF∽△CBF，S ＝S ，S ＝S ，
△BOG △DOG △AOD △COD
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴AG＝3，
∴AG＝ ，
∴S ＝2S ，
△AOD △DOG
∴S ＝2S ＝2S ，
△COD △COG △BOG
∴∴S ＝S +S ＝3S ＝3S ，
四边形OCDG △DOG △COD △DOG △BOG
△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；
故②正确；
③如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴ ，
∴ ，
∴CG＝3，
∴BE：CG＝4：3，
故③不正确；
④如图2，
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学科网（北京）股份有限公司由①得：△ABF≌△BCE，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，
∴∠BPC＝120°，
作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，
则点P在⊙I上运动，
点O、P、I共线时，OP最小，
作HM⊥BC于M，
∴HM＝ ＝3 ，
∴PI＝IH＝ ，
∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，
∴OI＝ ＝ ＝ ，
∴OP ＝OI﹣PI＝ ﹣2 ，
最小
故④不正确，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判
定和性质，解直角三角形，确定圆的条件等知识，解决问题的关键熟练掌握“定弦对定角”等模型．
三、解答题
18. 先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中x＝sin45°．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ， ．
【解析】
【分析】根据分式的运算法则进行化简，化简后代入即可得出答案．
【详解】解：原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝ ，
当x＝sin45°＝ 时，则 ，
所以原式＝ ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键．
19. 为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动
时间t（单位：小时）划分为A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四个组，并将调查结果绘制成如图
所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取_____人，条形统计图中的m＝______；
（2）在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）已知该校有960名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的
学生共有多少人？
（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动
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学科网（北京）股份有限公司体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）100，42
（2）72°；补图见解析
（3）估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有672人；
（4）
【解析】
【分析】（1）根据D组的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数乘以C所占的百分比，
即可得出m的值；
（2）用360°乘以B组所占的百分比，求出B组的圆心角度数，再用总人数乘以B所占的百分比，即可得
出B组的人数；
（3）用该校的总人数乘以达到3小时及3小时以上的学生所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求
解．
【小问1详解】
解：这次抽样调查共抽取的人数有：28÷28%=100（人），
m=100×42%=42，
故答案为：100，42；
【小问2详解】
解：B组所在扇形圆心角的度数是：360°×20%=72°；
B组的人数有：100×20%=20（人），
补全统计图如下：
；
【小问3详解】
解：根据题意得：
960×（42%+28%）=672（人），
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学科网（北京）股份有限公司答：估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有672人；
【小问4详解】
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为8，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为 ．
的
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到 知识点为：概率=所
求情况数与总情况数之比．
四、解答题
20. 为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购
买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每
个篮球的原价是多少元？
【答案】每个篮球的原价是120元．
【解析】
【分析】设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据“该公司出资10000元就
购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．
【详解】解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，
根据题意，得 ＝ ．
解得x＝120．
经检验x＝120是原方程的解．
答：每个篮球的原价是120元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
21. 如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作
CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
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学科网（北京）股份有限公司（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin∠ECD＝ ，CE＝5，求⊙O的半径．
【答案】（1）CD是⊙O的切线，理由见解析
（2）⊙O的半径为
【解析】
【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；
（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再
利用勾股定理构建方程求解．
【小问1详解】
解：结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC//BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
【小问2详解】
设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．
∵AB是直径，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四边形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
∵sin∠ECD＝ ＝ ，CE＝5，
∴DE＝3，CD＝4，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝ ，
∴⊙O的半径为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
五、解答题
22. 如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”
的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C
港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，
cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里
【解析】
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF=BC=33.2海里，
AG∥DC，从而可得∠ADC=53°，然后在Rt AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出
AE的长，最后在Rt ADE中，利用锐角三角△函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答．
【详解】解：过点A△作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，
由题意得：
EF=BC=33.2海里，AG∥DC，
∴∠GAD=∠ADC=53°，
在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，
∴AF=AB•sin50°≈40×0.77=30.8（海里），
∴AE=AF+EF=64（海里），
在Rt△ADE中，AD= ≈ =80（海里），
∴货船与A港口之间的距离约为80海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线
是解题的关键．
六、解答题
23. 丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区
内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）
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学科网（北京）股份有限公司与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+160
（2）销售单价应定为50元
（3）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【解析】
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法
可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得
销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次
函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【小问1详解】
解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得： ，
解得 ，
∴y＝﹣2x+160；
【小问2详解】
根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x＝50，x＝60，
1 2
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式
和一元二次方程．
七、解答题
24. 已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩
形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
（1）如图1，当 ＝ ＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
（2）如图2，当 ＝ ＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，
ND，若AB＝ ，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．
【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG
（2）BE＝ ，BE⊥DG，理由见解析
（3）S ＝
△MNG
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）证明△BAE≌△DAG，进一步得出结论；
（2）证明BAE∽△DAG，进一步得出结论；
（3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根据（2） 可得DG＝6，从而得出三角形BEG的面积，可
证得△MND≌△MNG，△MNG与△BEG的面积比等于1：4，进而求得结果．
【小问1详解】
解：由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
【小问2详解】
BE＝ ，BE⊥DG，理由如下：
由（1）得：∠BAE＝∠DAG，
∵ ＝ ＝2，
∴△BAE∽△DAG，
∴ ，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
【小问3详解】
如图，
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学科网（北京）股份有限公司作AH⊥BD于H，
∵tan∠ABD＝ ，
∴设AH＝2x，BH＝x，
在Rt△ABH中，
x2+（2x）2＝（ ）2，
∴BH＝1，AH＝2，
在Rt△AEH中，
∵tan∠ABE＝ ，
∴ ，
∴EH＝AH＝2，
∴BE＝BH+EH＝3，
∵BD＝ ＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，
由（2）得： ，DG⊥BE，
∴DG＝2BE＝6，
∴S ＝ ＝ ＝9，
△BEG
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学科网（北京）股份有限公司在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，
∴DM＝GM＝ ，
∵NM＝NM，
∴△DMN≌△GMN（SSS），
∵MN是△BEG的中位线，
∴MN BE，
∴△BEG∽△MNG，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴S ＝S ＝ S ＝ ．
△MNG △MNG △BEG
【点睛】本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知
识，解决问题的关键是类比的方法．
八、解答题
25. 如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P
是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐
标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线
CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）y＝ x2+x+3
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学科网（北京）股份有限公司（2）h＝ m2+ m（0＜m＜6）
（3）m＝1 （4）点Q的坐标为（2， ）或（2，﹣1）或（2，4）
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣ x+3，设点P的横坐标为m，则P（m，
m2+m+3），E（m，﹣ m+3），即可得出h＝ m2+ m；
（3）如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，可证得 BOC∽△PFE，得出 ＝
△
，可求得EF＝ （ m2+ m），再由△CEH∽△CBO，可得 ＝ ，求得CE＝ m，结
合CF＝EF，可得EF＝ CE＝ m，建立方程求解即可得出答案；
（4）设Q（2，t），分两种情况：①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，②当点O′恰好落
在该矩形对角线CD上时，③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，分别求出点Q的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为y＝ x2+x+3；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：∵抛物线y＝ x2+x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+3，
设点P的横坐标为m，则P（m， m2+m+3），E（m，﹣ m+3），
∴h＝ m2+m+3﹣（﹣ m+3）＝ m2+ m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜6，
∴h＝ m2+ m（0＜m＜6）；
【小问3详解】
解：如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，
∵P（m， m2+m+3），E（m，﹣ m+3），
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学科网（北京）股份有限公司∴PE＝ m2+ m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴ ＝ ，
在Rt△BOC中，BC＝ ＝ ＝3 ，
∴EF＝ ×PE＝ （ m2+ m）＝ （ m2+ m），
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH//x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CE＝ m，
∵CF＝EF，
∴EF＝ CE＝ m，
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学科网（北京）股份有限公司∴ m＝ （ m2+ m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
【小问4详解】
解：∵抛物线y＝ x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，
则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝ ＝ ，
∴ ＝tan∠PCQ＝ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ＝ ，
解得：t＝ ，
∴Q（2， ）；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH//OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH//OC//PD，
∴点K是CD的中点，
∴K（2， ），
∴GK＝ ，
∴CK＝KQ＝ ﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
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学科网（北京）股份有限公司∴22+（ ）2＝（ ﹣t）2，
解得：t＝1（舍去），t＝﹣1，
1 2
∴Q（2，﹣1）；
③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点
M，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴O′K＝ ，CK＝ ，
∴OK＝OC+CK＝3+ ＝ ，
∴O′（﹣ ， ），
∵点M是OO′的中点，
∴M（﹣ ， ），
设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
解得： ，
∴直线CQ的解析式为y＝ x+3，
当x＝2时，y＝ ×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
综上所述，点Q的坐标为（2， ）或（2，﹣1）或（2，4）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，矩形的性质，相似三
角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程
解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
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