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2021 年呼和浩特市中考试卷
数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 几种气体的液化温度（标准大气压）如表：
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度°C
其中液化温度最低 的气体是（ ）
A. 氦气 B. 氮气 C. 氢气 D. 氧气
【答案】A
2. 如图，在 中， ， ，直线 经过点A， ，则 的度数是
（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
【答案】D
3. 下图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A. B.C. D.
【答案】B
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
5. 已知关于x的不等式组 无实数解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
6. 某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图
中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7
②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．
③若从该校初一学生中抽取120人作为样本调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中
分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
【答案】C
7. 在平面直角坐标系中，点 ， ．以 为一边在第一象限作正方形 ，则对角线所在直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8. 如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根
据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计
的值，下面d及 的值都正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
9. 以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个
足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛
的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平
均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有（
）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
10. 已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点 ， ，且过 ，
两点（b，a是实数），若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规定
的横线上，不需要解答过程）
11. 因式分解： =_____________________________．
【答案】xy（x+2）（x-2）
12. 正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，若A点坐标为 ，则
__________．
【答案】
13. 已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的
代数式表示），圆心角为__________度．
【答案】 ①. ②.
14. 动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设
刚出生的这种动物共有a只．则20年后存活的有__________只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是
__________．
【答案】 ①. ②.
15. 已知菱形 的面积为 ﹐点E是一边 上的中点，点P是对角线 上的动点．连接 ，
若AE平分 ，则线段 与 的和的最小值为__________，最大值为__________．
【答案】 ①. ②.
16. 若把第n个位置上的数记为 ，则称 ， ， ，…， 有限个有序放置的数为一个数列A．定义
数列A的“伴生数列”B是： ﹐ ， … 其中 是这个数列中第n个位置上的数， ，2，…k
且 并规定 ， ．如果数列A只有四个数，且 ， ， ， 依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是__________．
【答案】0，1，0，1
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算求解
（1）计算
（2）解方程组
【答案】（1）2；（2）
18. 如图，四边形 是平行四边形， 且分别交对角线 于点E，F．
（1）求证： ；
（2）当四边形 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 的形状．（无需说明理由）
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BEDF是平行四边形与菱形．
19. 某大学为了解大学生对中国共产党党史识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试
活动，现从一二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格：40
分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，
37，43，43，37，25
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如下图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、
中位数、优秀率如表所示：年级 平均数 众数 中位数 优秀率
大一 a b 43 m
大二 39.5 44 c n
请你根据上面提供 的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝__________，b＝__________，c＝__________，m＝__________，n__________；根据样本
统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即
可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩
合格的学生人数能否超过1000人；
（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的
概率．
【答案】（1） ， ， ， ， ，二年级，见解析；（2）1000人；
（3）
20. 如图，线段 与 表示某一段河的两岸， ．综合实践课上，同学们需要在河岸 上测
量这段河的宽度（ 与 之间的距离），已知河对岸 上有建筑物C、D，且 米，同学们
首先在河岸 上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B
处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函
数或根式表示即可）【答案】 米
21. 下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3
电话计费问题
月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
考虑下列问题：
①设一个月内用移动电话主叫为min（t是正整数）根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，
按方式一和方式二如何计费
②观察你 的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把
主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写
出：
x表示问题中的__________，y表示问题中的__________．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；
（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间
选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）【 答 案 】 （ 1 ） 主 叫 时 间 ， 计 费 ； 方 式 一 ： ； 方 式 二 ：
；（2）见解析，当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种
方式相同，超过270分钟选方式二
22. 为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”
活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，
且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参
加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了
调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过
去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？
【答案】最多可购进33个B足球
23. 已知 是⊙O的任意一条直径，
（1）用图1，求证：⊙O是以直径 所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知⊙O的面积为 ，直线 与⊙O相切于点C，过点B作 ，垂足为D，如图2，求证：
① ；
②改变图2中切点C的位置，使得线段 时， ．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析
24. 已知抛物线
（1）通过配方可以将其化成顶点式为__________，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可
以判断，当顶点在x轴__________（填上方或下方），即 __________0（填大于或小于）时，该
抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点 ， ，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你
结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便
于说明，不妨设 且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意
图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当 ， 时，
．
【答案】（1） ；下方；＜；（2）见解析；（3）见解析
