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四川省广元市 2021 中考数学试题
一、选择题．（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．每小题3分，共30分）
1. 计算 的最后结果是（ ）
A. 1 B. C. 5 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算绝对值，再将减法转化为加法运算即可得到最后结果．
【详解】解：原式 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值化简和有理数的加减法运算，解决本题的关键是牢记绝对值定义与有理数运算
法则，本题较基础，考查了学生对概念的理解与应用．
2. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案．
【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故选：C.
【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对
称轴折叠后能完全重合；中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180°后，两部分能
够完全重合；熟练掌握定义是解题关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则进行计算
即可判断求解．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，不合题意；
B. ，原选项计算正确，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不合题意；
D. ，原选项计算错误，不合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，乘法公式等知识，熟知乘法公式和整式的乘法法则是解题关键．
的
4. 一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化 统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【详解】解：A、原来数据的平均数是 2，添加数字3后平均数为 ，所
以平均数发生了变化，故A不符合题意；B、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故B与要求相符；
C、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和 3，故C与要求不符；
D、原来数据的方差= ，
添加数字3后的方差= ，故方差发生了变化，
故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
5. 下列命题中，真命题是（ ）
A.
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形
D. 已知抛物线 ，当 时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质可直接进行排除选项．
【详解】解：A、 ，错误，故不符合题意；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，错误，故不符合题意；
C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，错误，故不符合题意；
D、由抛物线 可得与x轴的交点坐标为 ，开口向上，然后可得当
时， ，正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质，熟练掌握零次幂、
菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质是解题的关键．
6. 观察下列作图痕迹，所作线段 为 的角平分线的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可．
【详解】 ：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为 的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故选：Ｃ.
【点睛】本题考查点到直线距离的画法，角平分线的画法，中垂线的画法，能够区别彼此之间的不同是解
题切入点．
7. 如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为 的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那
么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先计算 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于 的长度，根据公式计算即可．
【详解】解：如下图：
连接BC，AO，
∵ ，
∴BC是直径，且BC=2，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ 的长度为： ，
∴围成的底面圆周长为 ，
设圆锥的底面圆的半径为 ，则： ，
∴ ．
故选：
【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出
扇形的半径是解题的关键．
8. 将二次函数 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直
线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数解析式 ，可求与x轴的两个交点A、B，直线 表示的图像可
看做是直线 的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线 经过B点时，
恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线 经过C点时，恰与所给图像有
三个交点，即直线 与函数 关于x轴对称的函数 图像只有一个交
点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．
【详解】解：由 知，当 时，即解得：
作函数 的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：
平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当 时，只有一个交点
当 的函数图像由 的图像关于x轴对称得到
当 时对应的解析式为
即 ，整理得：
综上所述 或
故答案是：A．
【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方
程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的
条件．
9. 如图，在边长为2的正方形 中， 是以 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】取 BC 的中点 O，设 AE 与⊙O 的相切的切点为 F，连接 OF、OE、OA，由题意可得
OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解
阴影部分的面积即可．
【详解】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵ 是以 为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题主要考查切线 的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌
握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10. 如图，在 中， ， ，点D是 边的中点，点P是 边上一个动
点，连接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ．则 的最小值是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以CD为边作等边三角形 CDE，连接 EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得
△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值
为CQ⊥QE时，最后问题可求解．【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵∠CDQ是公共角，
∴∠PDC=∠QDE，
∴△PCD≌△QED（SAS），
∵ ， ，点D是 边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°， ，
∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角
形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）
11. 的算术平方根是 _____．【答案】2
【解析】
【详解】∵ ， 的算术平方根是2，
∴ 的算术平方根是2.
【点睛】这里需注意： 的算术平方根和 的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、
立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错.
12. 中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91
岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失．袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻
亩产量做出了巨大贡献．截至2012年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增
产20多亿公斤．将20亿这个数据用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法要求，小数点在第一个不为零的整数后面，其他数为小数，小数点移动位数等于幂的
指数，向左移动，指数为正，向右移动，指数为负．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】本题考查科学记数法，根据相关原则进行计算是解题关键点．
13. 如图，实数 ， ，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若
m为整数，则m的值为________．
【答案】-3
【解析】
【分析】先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可．
【详解】解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为 ，∴点D表示的数为 ，
∵A点表示 ，C点位于A、D两点之间，
∴ ，
∵m为整数，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解
等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法．
14. 如图，在 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在 上，
点E是线段 与 的交点．则 的正切值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴ ，故答案为 ．
【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．
15. 如图，点 在反比例函数 的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，
且 ．点 是线段 上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，
连接 、 ．当 时，x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出线段MN的解析式，最后联立两个解析式求出B和C两个点
的坐标，再根据k的几何意义，确定P点位置，即可得到相应的x的取值范围．
【详解】解：∵点
∴ ，
所以反比例函数的解析式为： ，
因为 ，
∴ ,
设线段MN解析式为： ，∴ ，
∴ ，
∴线段MN解析式为： ，
联立以上两个解析式得： ，
解得： 或 ，经检验，符合题意；
由图可知，两个函数的图像交点分别为点B和点C，
∴ ， ，
∵ ，
∴P点应位于B和C两点之间，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题涉及到了动点问题，考查了反比例函数的图像与性质、k的几何意义、待定系数法等内容，
解决本题的关键是牢记反比例函数的图像与性质，理解k的几何意义，以及能联立两个函数的解析式求交
点坐标等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
16. 如图，在正方形 中，点O是对角线 的中点，点P在线段 上，连接 并延长交 于
点E，过点P作 交 于点F，连接 、 ， 交 于G，现有以下结论：① ；
② ；③ ；④ 为定值；⑤ ．以上结论正确的有
________（填入正确的序号即可）．【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】由题意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，对于①：易知点A、B、
F、P四点共圆，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，则问题可判定；对于②：把△AED绕点A顺时针旋转
90°得到△ABH，则有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，则有HF=EF，则可判定；对
于③：连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易证△AOP∽△ABF，进
而问题可求解；对于④：过点A作AN⊥EF于点N，则由题意可得AN=AB，若△AEF的面积为定值，则
EF为定值，进而问题可求解；对于⑤由③可得 ，进而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比为
，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形， ，
∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，
①∵ ，
∴由四边形内角和可得 ，
∴点A、B、F、P四点共圆，
∴∠AFP=∠ABD=45°，
∴△APF是等腰直角三角形，
∴ ，故①正确；
②把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示：∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，
∴ ，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴HF=EF，
∵ ，
∴ ，故②正确；
③连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：
∵点O是对角线 的中点，
∴OB=OD， ，
∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，
∴ ，
由①可得点A、B、F、P四点共圆，
∴ ，
∵ ，
∴△AOP∽△ABF，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
④过点A作AN⊥EF于点N，如图所示：
由②可得∠AFB=∠AFN，
∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，
∴△ABF≌△ANF（AAS），
∴AN=AB，
若△AEF的面积为定值，则EF为定值，
∵点P在线段 上，
∴ 的长不可能为定值，故④错误；
⑤由③可得 ，
∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，
∴△APG∽△AFE，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故⑤正确；
综上所述：以上结论正确的有①②③⑤；
故答案为①②③⑤．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握
正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（96分）要求写出必要的解答步骤或证明过程
17. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据整式方程的计算过程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，就可以得到结果．
【详解】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项并合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查整式方程的计算，注意每个步骤的要求是解题的关键．
18. 先化简，再求值： ．其中 ， ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先算括号内的，再进行分式的除法运算进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：原式= ，把 ， 代入得：原式= ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是
解题的关键．
19. 如图，在平行四边形 中，E为 边的中点，连接 ，若 的延长线和 的延长线相交
于点F．
（1）求证： ；
（2）连接 和 相交于点为G，若 的面积为2，求平行四边形 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）24．
【解析】
【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到 ，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得
到 ，再根据 ，即可得到 ，则答案可证；
（2）先证明 ，根据相似三角形的性质得出 ， ，进而得出
，由 得 ，则答案可解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点E为DC的中点，∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的面积为2，
∴ ，即 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的
关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格
出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球
数量的 ．学校有哪几种购买方案？
（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%
收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学
校到哪家商场购买花费少？
【答案】（1）有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9
个足球；（2）学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮
球，9个足球到乙商场购买花费少．
【解析】
【分析】（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据“学校计划用不超过3550元 的总费用购
买”和“购买篮球的数量多于购买足球数量的 ”列出不等式组，求解即可；
（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，分别计算出在甲，乙两商场的费用列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据题意得，
解得，
∵x是整数，
∴x=9，10或11
∴20-x=12，10或9
故有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；
（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，
在甲商场花费： 元；
在乙商场花费： 元；
∴要使学校到甲商场花费最少，则有：解得，
∵ ，且x是整数，
∴x=9,
即：学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足
球到乙商场购买花费少．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根
据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出不等式，再求解．
21. “此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发
出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫
苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某
天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：
甲医院 乙医院
年龄段 频数 频率 频数 频率
18－29周岁 900 0.15 400 0.1
30－39周岁 a 0.25 1000 0.25
40－49周岁 2100 b c 0.225
50－59周岁 1200 0.2 1200 0.3
60周岁以上 300 0.05 500 0.125
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空： _________， _________， _________；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为
_________；
（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．【答案】（1）①1500，0.35，6=900；②108°；（2）
【解析】
【分析】（1）①分别用甲、乙两医院18-29周岁的年龄段的频数除以频率即可求出接种总人数，然后根据
频数与频率的关系求出相应的值；②甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数与
接种总人数的百分比乘以360°即可得到在扇形统计图中所占圆心角；
（2）画出树状图，得出所有等可能的结果数与三人在同一家医院接种的结果数，运用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）①900 0.15=6000（人），400 0.1=4000（人）
∴a=6000-900-2100-1200-3÷00=1500 ÷
b=1-0.15-0.25-0.2-0.05=0.35
c=4000-400-1000-1200-500=900
故答案为：1500，0.35，6=900；
②360°
故答案为：108°；
（2）画树状图为：∴所有等可能的结果共有8种情况，而同在一所医院接种的有2种结果数，
∴三人在同一家医院接种的概率 ．
【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及概率的计算，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
22. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控
者A的俯角为 ，测得小区楼房 顶端点C处的俯角为 ．已知操控者A和小区楼房 之间的距
离为45米，小区楼房 的高度为 米．
（1）求此时无人机的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．
问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：， ．计算结果保留根号）
【答案】（1） 米；（2） 秒
【解析】
【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE的值，进而得到DH的值；
（2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC的度数，接着求出∠GFA的度数，作辅助线构造直角三角形
求出DG和GF，进而得到DF的值，最后除以无人机速度即可．
【详解】解：如图1，过D点作DH⊥AB，垂足为点H，过C点作CE⊥DH，垂足为点E，
可知四边形EHBC为矩形，
∴EH=CB，CE=HB，
∵无人机测得小区楼房 顶端点C处的俯角为 ，测得操控者A的俯角为 ，DM∥AB，
∴∠ECD=45°，∠DAB=75°，
∴∠CDE=∠ECD=45°，
∴CE=DE，
设CE=DE=HB=x，
∴AH=45-x，DH=DE+EH=x+ ，
在Rt DAH中，DH AH ，
△ =tan75°× =
即 ，
解得：x=30，∴DH=
∴此时无人机的高度为 米；
（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF刚好经过点C，
过A点作AG⊥DF，垂足为点G，此时，由（1）知，AG= （米），
∴ ；
∵ ，
∴
∵DF∥AB，
∴∠DFA=∠CAB=30°，
∴ ,
∴ ,
因为无人机速度为5米/秒，
所以所需时间为 （秒）；所以经过 秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特
殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，
能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
23. 如图，直线 与双曲线 相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，
（1）求直线 的解析式及点B的坐标；
（2）以线段 为斜边在直线 的上方作等腰直角三角形 ．求经过点C的双曲线的解析式．
【答案】（1）y=-0.5x+2；点B坐标为（3，0.5）；（2）过点C的双曲线解析式为 ．
【解析】
【分析】（1）把点A横坐标代入反比例函数解析式，可求出点 A坐标，代入 可求出直线解析
式，联立反比例函数与一次函数解析式即可得点B坐标；
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为 ，根据点A、B坐标可求出AB的长，根据
等腰直角三角形的性质可得AC=BC= ，根据两点间距离个数求出m、n的值即可得点C坐标，代入
反比例函数解析式求出k值即可得答案．【详解】（1）∵点A在双曲线 上，点A 的横坐标为1，
∴当x=1时，y=1.5，
∴点A坐标为（1，1.5），
∵直线 与双曲线 相交于点A、B，
∴k+2=1.5，
解得：k=-0.5，
∴直线 的解析式为y=-0.5x+2，
联立反比例函数与一次函数解析式得 ，
解得： ， （舍去），
∴点B坐标为（3，0.5）．
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为 ，
∵A（1，1.5），B（3，0.5），
∴AB= = ，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC= = ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，解得： ，
∴ 或0（舍去），
∴点C坐标为（ ，2），
把点C坐标代入双曲线解析式得： ，
解得： ，
∴过点C的双曲线解析式为 ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键．
24. 如图，在Rt 中， ， 是 的平分线，以 为直径的 交 边于点
E，连接 ，过点D作 ，交 于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【答案】（1）证明见详解；（2） ．
【解析】
【分析】（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明∠EAD=∠FDE，再根据AD为 直
径，得到∠ADE+∠DAE=90°，进而得到AD⊥FD，问题得证；（2）先求出DE=3，证明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt 中求出AC=6，
进而得到AE=6，求出 ,证明△ADE∽△AFD，得到 ，即可求出 ．
【详解】解：（1）证明：连接DE，
∵
∴∠CAD=∠CED，
∵ 是 的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠CED=∠EAD，
∵ ，
∴∠CED=∠FDE，
∴∠EAD=∠FDE，
∵AD为 直径，
∴∠AED=∠ACD=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠FDE=90°，
即AD⊥FD，
又∵ 为 直径，
∴ 是 的切线；
（2）∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴ ,
∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴DE=DC=3，
∴BC=BD+CD=8，在Rt 中，∵ ，
∴设AC=3x，AB=5x，
∴ ，
∵x＞0，
∴x=2，
∴AB=5x=10，AC=3x=6，
∵△AED≌△ACD，
∴AE=AC=6，
∴在Rt△ADE中， ,
∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，
∴△ADE∽△AFD，
∴ ，
即 ,
∴ ．
【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，圆的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，
根据题意添加辅助线，熟知圆的性质，利用三角函数解直角三角形是解题关键．
25. 如图1，在 中， ， ，点D是 边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线 ，垂足为E，点F在射线 上，且 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 ，点P、M、N分别为线段 、 、 的中点，连接 、 、 ．求
的度数及 的值；
（3）在（2）的条件下，若 ，直接写出 面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ； ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．
（2） 的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可， 的比值转
换为 的比值即可求得.
（3）过点 作 垂直于 的延长线于点 ， ，将相关线段关系转化为CE，可得关系 ，观察图象，当 时，可得最大值．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ,
∵ 垂直于射线 ,
∴
又∵
∴ ,
∵
即：
又∵
∴
（2）解：∵点P、M、N分别为线段 、 、 的中点
∴ ， ，
∴ ,
∴
又∵
∴
又∵
∴∴
又∵
∴
又∵
又∵
∴
∴
（3）如下图：
过点 作 垂直于 的延长线于点 ,又∵
∴
∴
∴当 取得最大值时， 取得最大值，
在以 的中点为圆心， 为直径的圆上运动，
当 时， 最大，
∴ ，
【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解
题关键．
26. 如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相
交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点 的坐标值：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2） 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求 的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 轴，垂足为F， 的外接圆与
相交于点E．试问：线段 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1） ； ；（2） ；（3）是，1．
【解析】
【分析】（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；
的
（2）利用平移和找对称点 方式，将 的长转化为 ，再利用两点之间线段最
短确定 的最小值等于CE的长，加1后即能确定 的最小值；
（3）设出圆心和D点的坐标，接着表示出E点的坐标，利用圆心到B点的距离等于圆心到D点的距离，
求出q和e的关系，得到E点的纵坐标，进而确定EF的长为定值．
【详解】解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）
设抛物线解析式为： ，
将点（0,3）代入解析式得：3=a+4，
∴ ，
∴抛物线解析式为： ，顶点坐标 ．
（2）由表格可知，抛物线经过点A（-1,0），C（0,3），
如图3，将A点向上平移一个单位，得到 ，
则∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
作 关于MQ的对称点E，则
∴ ，
∴ ，
当P、E、C三点共线时， 最短，
设直线CE的解析式为： ，
将C、E两点坐标代入解析式可得： ，
∴ ，
∴直线CE的解析式为： ，
令 ，则 ，
∴当 时，P、E、C三点共线，此时 最短，
∴ 的最小值为 ．
（3）是；
理由：设 ，
因为A、B两点关于直线x=1对称，
所以圆心位于该直线上，
所以可设 的外接圆的圆心为 ，作 ，垂足为点N，则 ，
由 轴，
∴ ，
∵ ，且由表格数据可知
∴ ，
化简得： ，
∵点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长不变，为1．【点睛】本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、平行
四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式，
能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都
有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
