文档内容
2023 年高考考前押题密卷（全国甲卷）
数学（文科） 全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．（改编）复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】复数 在复平面内对应的点为 ，则
故选：C.
2．已知全集 ，集合 ， 则集合 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知 ， ，
所以 ， ，故选：B．
3．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在华中地区的三省中，湖北省
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学科网（北京）股份有限公司的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是（ ）
A．该公司2022年营收总额约为30800万元
B．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多
C．该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多
D．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%
【答案】D
【详解】A：湖南省的营收额约为2156万元，占比7.00%，
所以2022年营收额约为 万元，故A正确；
B：华南地区的营收额占比为19.34%，河南省的营收额占比为6.19%，
有 ，所以华南地区的营收额比河南省的3倍还多，故B正确；
C：华东地区的营收额占比为35.17%，西南地区的营收额占比为13.41%，
东北地区的营收额占比为11.60%，湖北的营收额占比为7.29%，
有13.41%+11.60%+7.29%=32.3%<35.17%，故C正确；
D：湖南的营收额占比为7.00%，华中地区的营收额占比为20.48%，
有 ，故D错误. 故选：D.
4．如图，网格小正方形的边长为1，网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为 （ ）
A．14 B．7 C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【详解】如图，由三视图还原可得，原几何体为三棱台，且有 ， ， ，
.
因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 .
又 ，所以，三棱台的高即为 .
又 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
所以，由棱台的体积公式 .故选：C.
5．（改编）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的
概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为
，10种情况，
若这三个数之积为偶数有 ，9种情况，
它们之和大于8共有 ，5种情况，
从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，
若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为 . 故选:D.
3
学科网（北京）股份有限公司6．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，可得 ，则 定义域为 ，
则 ，
，
则 为偶函数，其图像关于y轴轴对称，排除选项CD；
又 ，则排除选项B，正确选项为A.故选：A
7．数列 中， ，定义：使 为整数的数 叫做期盼数，则区
间 内的所有期盼数的和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ， ，
，
又 为整数， 必须是2的 次幂 ，即 ．
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学科网（北京）股份有限公司内所有的“幸运数”的和：
，故选：D．
8．（改编）在平面直角坐标系 y中，圆 的方程为 ，若直线 上存在一点 ，使
过点 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ，则圆心 ，半径 ，
因为过点 所作的圆的两条切线相互垂直，所以 ， 及两切点构成正方形，且对角线 ，
在直线 上，则圆心到直线的距离 ，解得 或
根据选项，满足条件的为B.故选：B.
9．将函数 图象所有点的纵坐标伸长到原来的 倍，并沿x轴向左平移 个单
位长度，再向上平移2个单位长度得到 的图象．若 的图象关于点 对称，则函数 在
上零点的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】将 图象所有点的纵坐标伸长到原来的 倍，得到 的图象，
继续沿x轴向左平移 个单位长度，再向上平移2个单位长度得 的图象，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 的图象关于点 对称，得 ， ．
又∵ ，∴ ，∴ ．
令 ，当 时，有 ，由 ，可得 ， ，
结合函数 的图象可得， 在 上只有2个解，
即函数 在 上零点的个数是2．故选：B.
10．如图，在已知直四棱柱 中，四边形 为平行四边形， 分别是
的中点，以下说法错误的是（ ）
A．若 ， ，则 B．
C． 平面 D．若 ，则平面 平面
【答案】B
【详解】对于A，连接 ， ， ，
6
学科网（北京）股份有限公司，又 ， ，即 ；
， ， 四边形 为平行四边形， ， ，A正确；
对于B，连接 ， 分别为 中点， ，又 ， ，
， 与 不平行，B错误；
对于C，连接 ， 分别为 中点， ， ；
， ， 四边形 为平行四边形， ， ，
为 中点， ， ， ， 四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，C正确；
对于D，连接 ， ，四边形 为平行四边形， 四边形 为菱形， ；
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ，D正确. 故选：B.
11．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点， 是线段
的中点，过 作 轴的垂线交抛物线 于点 ，则下列判断不正确的是（ ）
A．若 过点 ，则 的准线方程为 B．若 过点 ，则
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学科网（北京）股份有限公司C．若 ，则 D．若 ，则点 的坐标为
【答案】D
【详解】设 ，对于A项，若 过点 ，则点 的坐标为 ，所以 ，
故 的准线方程为 ，故A项正确；对于B项，由A可得 的方程为 ，
与 的方程联立，消去 并整理，得 ，则 ， ，
根据抛物线的定义，可得 ， ， .
所以 ，所以 ，故B项正确；
对于C项，将 的方程与 的方程联立，得 ，所以 ， .
设 ，则 ，所以 ，即 ，
由 得 ，即 ，
所以 ，所以 ，故C正确；
对于D项，由C知， ，所以焦点 ，故D错误.故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司12．已知函数 ，若函数 恰有5个零点，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 恰有5个零点，
所以方程 有 个根，所以 有 个根，
所以方程 和 共有5个根；
当 时， ， ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
因为 ，所以 ， ，当 且 时， ， 时， ，
当 时， ， ，
故函数 在 上的图象为对称轴为 ，顶点为 的抛物线的一段，
根据以上信息，作函数 的图象如下：
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学科网（北京）股份有限公司观察图象可得函数 的图象与函数 的图象有2个交点，所以方程 有两个根，
所以方程 有3个异于方程 的根，
观察图象可得 ，所以 的取值范围为 ..故选：D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线 在点 处的切线方程为___________.
【答案】
【详解】因为 ，
所以 ，所以切线方程为： ，
即： . 故答案为： .
14．已知向量 ， 满足 ， ， ， 的夹角为150°，则 与 的夹角为______.
【答案】
【详解】因为 ， 与 的夹角为 ，所以 ，
所以 ，
得 ，又 ，所以 ，
又因为 ，所以 .故答案为： .
15．写出一个具有下列性质①②的数列 的通项公式 ______．① ；②数列 的前n
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学科网（北京）股份有限公司项和 存在最小值．
【答案】 (答案不唯一)
【详解】∵ ，∴数列 是等差数列，
∵数列 的前n项和 存在最小值，∴等差数列 的公差 ， ，
显然 满足题意．故答案为： ．
16．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 是 的一条渐近线上的两点，且
（ 为坐标原点）， .若 为 的左顶点，且 ，则双曲线 的离心率
为
【答案】
【详解】设双曲线的焦距为 ，
因为 ，所以 ，所以 关于原点对称，所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以四边形 为矩形，因为以 为直径的圆的方程为 ，
不妨设 所在的渐近线方程为 ，则 ，
由 解得 或 ，不妨设 ，
因为 为双曲线的左顶点，所以 ，所以 ，
又 ，由余弦定理得 ，
即 ，整理得 ，所以离心率 .
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分．
17．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
(1)求 的值；(2)若 ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 存在且唯一确定，求
的面积．条件①： ；条件②： ；条件③： 的周长为9．
【答案】(1)2 (2)
【详解】（1）∵ ， 则 ， （3
分）
∴ . （4分）
（2）由（1）可得 ，由正弦定理可得 ， （5分）
若选条件①：由余弦定理 ，即 ， （7分）
注意到 ，解得 ，则 ，由三角形的性质可知此时 存在且唯一确定， （9分）
∵ ，则 ，可得 ， （11分）
12
学科网（北京）股份有限公司∴ 的面积 . （12分）
若选条件②：∵ ，可得 ，则有：
若 为锐角，则 ，由余弦定理 ，即 ，
整理得： ，且 ，解得 ，则 ；（7分）
若 为钝角，则 ，由余弦定理 ，即 ，
整理得： ，且 ，解得 ，则 ；（10分）
综上所述：此时 存在但不唯一确定，不合题意.（12分）
若条件③：由题意可得： ，即 ，解得 ，则 ，（6分）
由三角形的性质可知此时 存在且唯一确定，（7分）
由余弦定理可得 ，（9分）
则 ，可得 ，（11分）
∴ 的面积 .（12分）
18．一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入 （单
位：千万元）对每件产品成本 （单位：元）的影响，对近 年的年技术创新投入 和每件产品成本
的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得： ， ， ， ，
.
13
学科网（北京）股份有限公司(1)根据散点图可知，可用函数模型 拟合 与 的关系，试建立 关于 的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额 （单位：千万元）与每件产品成本 的关系为 .该
企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本 千万元，根据（1）的结果回答：当年技术
创新投入 为何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润=年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据 、 、 、 ，其回归直线 的斜率和截距的最小乘估
计分别为： ， .
【答案】(1) (2)当年技术创新投入为 千万元时，年利润的预报值取最大值
【详解】（1）解：令 ，则 关于 的线性回归方程为 ， （1分）
由题意可得 ， ， （3分）
则 ，所以， 关于 的回归方程为 . （5分）
（2）解：由 可得 ， （7分）
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学科网（北京）股份有限公司年利润 ， （9分）
当 时，年利润 取得最大值，此时 ， （11分）
所以，当年技术创新投入为 千万元时，年利润的预报值取最大值. （12分）
19．如图，已知正方体 的棱长为 分别为 的中点.
(1)已知点 满足 ，求证 四点共面；(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：如图，作 中点 ，连接 ，
因为 是平行四边形，所以 ， （2分）
在 中， 为中位线，故 ，所以 ，故 四点共面． （5分）
（2）设 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ， （7分）
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ．故 的面积 ． （9分）
同理 ，由三棱锥 的体积 ， （10分）
所以 ，得 ．故 到平面 的距离为 ． （12分）
20．已知椭圆 的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，
且 ．(1)求椭圆C的方程；(2)若P为直线 上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点 ；②椭圆的左焦点为 ，求 的周长是否为定值，若是，求出该定
值，若不是，请说明理由．
【答案】(1) (2)①证明见解析；②定值为8.
【详解】（1）由已知得： ， ， ，
设 ，因为M在椭圆上，所以 ①（2分）
因为 ，
将①式代入，得 ，得 ，（4分）
所以椭圆 ．（5分）
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学科网（北京）股份有限公司（2）①证明：设 ，则 ， ，同理可得 ， ，（6分）
联立方程 ，得 ， ，则 ． （7分）
同理联立方程 ，可得 ， ，则 . （8分）
又椭圆的右焦点为 ，所以 ， ，（9分）
因为 ，说明C，D， 三点共线， 即直线CD恒过 点．（10分）
②周长为定值．因为直线CD恒过 点，根据椭圆的定义，所以 的周长为 ．（12分）
21．已知函数 ， 为常数，且 .(1)判断 的单调性；(2)当 时，如果存
在两个不同的正实数 ， 且 ，证明： .
【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ，记 ，（1分）
①当 ，即 时， 恒成立，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.（2分）
②当 ，即 时，
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学科网（北京）股份有限公司方程有两个不等实根，且 ， ，
∴ ， ， ， 单调递增，
， ， ， 单调递减，
， ， ， 单调递增，（4分）
综上所述：①当 时， 在 上单调递增，②当 时， 在 和
上单调递增，在 上单调递减.（5分）
（2）∵ ，∴ ，（6分）
由（1）可知 时， 在 上单调递增，故不妨设 ，
要证： ，即证： ，（7分）
又∵当 时， 在 上单调递增，∴只需证 ，
又∵ ，∴只需证： ，（8分）
即证： ，（ ），记 ， ，
，
∴当 时， 恒成立， 单调递增，（11分）
∴ ，∴原命题得证.即 .（12分）
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022），简称“杭州2022年亚运会”，
将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办；2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣
布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变。某高中体育爱好者为纪念在我国举
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学科网（北京）股份有限公司办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会。如图，
在极坐标系Ox中，方程 表示的图形为“四叶草”对应的曲线C．
(1)设直线l： 与C交于异于O的两点A、B，求线段AB的长；
(2)设P和Q是C上的两点，且 ，求 的最大值．
【答案】(1)9 (2)
【详解】（1）设A、B两点的极坐标分别为 、 ，（2分）
则 ，
，因此， ；（5分）
（2）根据对称性，不妨设 、 ，
．（8分）
∵ ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时，即 ， 时， ．（10分）
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数 ．(1)求不等式 的解集；(2)若 的最小值为m，正数a，b，c
满足 ，求证 ．
【答案】(1) (2)答案见详解
【详解】（1）当 时， ，
解 ，即 ，解得 ；
当 时， ，
解 ，即 ，解得 ，无解；
当 时， ，
解 ，即 ，解得 .（4分）
综上所述，不等式 的解集为 . （5分）
（2）由（1）可知， .
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，（7分）
所以函数 的最小值为2，所以 ，所以 .（8分）
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学科网（北京）股份有限公司由柯西不等式可得， ，（9分）
当且仅当 时，等号成立.所以 ，所以 。（10分）
21
学科网（北京）股份有限公司22
学科网（北京）股份有限公司
