北京市2019年中考数学真题试题（含解析）_中考真题_2.数学中考真题2015-2024年_2019年全国中考数学206份

2019年北京市中考数学试卷 一.选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星 “东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点 439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（） A.0.439×106 B.4.39×106 C.4.39×105 D.139×103 a10N 1|a|10 a 4.39,N 5 【解析】本题考察科学记数法较大数， 中要求 ，此题中 ，故 选C 2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【解析】本题考察轴对称图形的概念，故选C 3．正十边形的外角和为（） A.180° B.360° C.720° D.1440° 【解析】多边形的外角和是一个定值360°，故选B 4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得 到点C．若CO=BO，则a的值为（） A.-3 B.-2 C.-1 D.1 【解析】本题考察数轴上的点的平移及绝对值的几何意义.点A表示数为a，点B表示数为2， |a1|2 a 1 a3 点C表示数为a+1，由题意可知，a＜0，∵CO=BO，∴ ，解得 （舍）或 ， 故选A 15．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC P M  PQ 长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD； A C  PQ （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于点M，N； O D B N （3）连接OM，MN． Q 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（） A.∠COM=∠COD B.若OM=MN，则∠AOB=20° C.MN∥CD D.MN=3CD 【解析】连接ON，由作图可知△COM≌△DON. A. 由△COM≌△DON.，可得∠COM=∠COD，故A正确. B. 若OM=MN，则△OMN为等边三角形，由全等可知∠COM=∠COD=∠DON=20°，故B正确 180COD C.由题意，OC=OD，∴∠OCD= 2 .设 OC 与 OD 与 MN 分别交于 R，S，易证 180COD △MOR≌△NOS，则OR=OS，∴∠ORS= 2 ，∴∠OCD=∠ORS.∴MN∥CD，故C正确. D.由题意，易证MC=CD=DN，∴MC+CD+DN=3CD.∵两点之间线段最短.∴MN＜MC+CD+DN=3CD，故选 D  2mn 1     m2 n2   mn 1  m2 mn m 6．如果 ，那么代数式 的值为（）A.-3 B.-1 C.1 D.3  2mn 1     m2 n2    m2 mn m 【解析】： 2 2mn mn    (mn)(mn)   m(mn) m(mn) 3m  (mn)(mn)3(mn) m(mn)  mn1 ∴原式=3，故选D 1 1  a b ab 0 a b 7．用三个不等式 ， ， 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作 为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】本题共有3种命题： 1 1  命题①，如果 a b,ab0 ，那么a b . ab 1 1 0  ∵ ab ，∴ ab0 ，∵ ab0 ，∴ ab ，整理得b a ，∴该命题是真命题. 1 1 ab,  , 命题②，如果 a b 那么 ab0 . 1 1 1 1 ba  ,  0, 0. ∵a b ∴a b ab ∵ ab ，∴ ba0 ，∴ ab0 . ∴该命题为真命题. 1 1 ab 0,  命题③，如果 a b ，那么 ab . 31 1 1 1 ba  ,  0, 0. ∵a b ∴a b ab ∵ ab0 ，∴ ba0 ，∴ ba ∴该命题为真命题. 故，选D 8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时 间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分． 0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40 t≥40 学生 类型 人数 时间 性 男 7 31 25 30 4 别 学生类别 女 8 29 26 32 8 学 初中 25 36 44 11 段 高中 4人均参加公益劳动时间/小时 30 27.0 25.5 24.5 25 21.8 20 15 10 5 0 男生 女生 初中生高中生 学生类别 下面有四个推断： ①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间 ③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是（） A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④ 【解析】①由条形统计图可得男生人均参加公益劳动时间为24.5h，女生为25.5h，则平均数一 定在24.5~25.5之间，故①正确 ②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15,60,51,62,12，则中位数在20~30之间， 故②正确. ③由统计表计算可得，初中学段栏 0≤t＜10的人数在0~15之间，当人数为0时，中位数在 20~30之间；当人数为15时，中位数在20~30之间，故③正确. ④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为0~15，35,15，18,1.当 0≤t＜10时间段人数为0时，中位数在10~20之间；当0≤t＜10时间段人数为15时，中位数 在10~20之间，故④错误 5故，选C 二、填空题（本题共16分，每小题2分） x1 x x ______ 9．若分式 的值为0，则 的值为 . x10 x0 【解析】本题考查分式值为0，则分子 ，且分母 ，故答案为1 10．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2.（结果保留一位小数） 【解析】本题考查三角形面积，直接动手操作测量即可，故答案为“测量可知” ______ 11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】本题考查对三视图的认识.①长方体的主视图，俯视图，左视图均为矩形；②圆柱的 主视图，左视图均为矩形，俯视图为圆；③圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为圆.故答 案为①② C A B 第10题图 P ①长方体 ②圆柱 ③圆锥 A B 第11题图 第12题图 PAB＋PBA __________ 12．如图所示的网格是正方形网格，则 ＝ °（点A，B，P是网 格线交点）. 6【解析】本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算 PQ BQ 5，PB 10 PQ2 BQ2  PB2 ， ∴ ， 即 △ PBQ 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∴∠BPQ=45°，∵∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45 k y  1 xOy a，b a 0，b 0 A x A 13．在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上．点 关 k y  2 x B x k k ______ 于 轴的对称点 在双曲线 上，则 1 2的值为 . k y  1 【解析】本题考查反比例函数的性质，A（a，b）在反比例 x 上，则 k 1 ab ，A关于 x 轴 k y  2 的对称点B的坐标为 (a,b) ，又因为B在 x 上，则 k 2 ab ，∴ k 1 k 2 0 故答案为0 14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图 ______ 2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ． 75 1 图1 图2 图3 【解析】设图1中小直角三角形的两直角边分别为a，b（b＞a），则由图2，图3可列方程组 ab5 a2 1  ,  S  4612. ba 1 解得 b3 ，所以菱形的面积 2 故答案为12. s2 15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差 0．在计算平均数的过程中，将   这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4， 4，9， 5．记这组新数据的方 s2 s2 s2 差为 1 ，则 1 ______ 0. (填“  ”，“”或“  ”) 【解析】本题考查方差的性质。两组数据的平均值分别为91和1， (9291)2 (9091)2 (9491)2 (8691)2 (9991)2 (8591)2 116 68 s2   0 6 = 6 3 (21)2 (01)2 (41)2 (41)2 (91)2 (51)2 136 68 s2    1 6 6 3 s2 s2 ∴ 0 1 ，故答案为= 16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）． 对于任意矩形ABCD，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形； 8②存在无数个四边形MNPQ是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ是正方形． ______ 所有正确结论的序号是 ． 【解析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定可知，存在无数个平行四边 形，无数个矩形，无数个正方形，故答案为①②③ 三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分， 第26题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 1  3 40 2sin60 （ ）1 4 17．计算： . 3 312 4 【解析】原式= 2 2 33 4(x1)  x2,  x7  x.   3 18．解不等式组： 【解析】解不等式①得： 4x4 x2，4xx42,3x6 x2 ，∴ 97 x 解不等式②得： x73x,x3x7,2x7 ，∴ 2 x2 ∴不等式组的解集为 x2 2x2m1 0 19．关于x的方程 有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的 根． x2 2x2m10 (2)2 4(2m1)0 m1 【解析】∵ 有实数根，∴△≥0，即 ，∴ m1 x2 2x10, (x1)2 0 ∵m为正整数，∴ ，故此时二次方程为 即 x  x 1 ∴ 1 2 m1 x  x 1 ∴ ，此时方程的根为 1 2 20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF． （1）求证：AC⊥EF； （2）延长 EF 交 CD 的延长线于点 G，连接 BD 交 AC 于点 O，若 BD=4， A E F 1 B D 2 tanG= ，求AO的长． C 【解析】证明：∵四边形ABCD为菱形∴AB=AD，AC平分∠BAD AB BE  AD DF ∵BE=DF，∴ ，∴AE=AF ∴△AEF是等腰三角形，∵AC平分∠BAD，∴AC⊥EF 1 （2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=2 BD=2，∵EF∥BD 101 ∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=2 AO AO 1   ∴tan∠ABD= BO 2 2，∴AO=1 21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排 名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组： 30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； 频数（国家个数） 12 9 8 6 2 1 30 40 50 60 70 80 90 100 国家创新指数得分 b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是： 61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图： 11国家创新指数得分 l 1 A 100 l 2 B 90 80 C 70 60 50 40 30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 人均国内生产总值/万元 d．中国的国家创新指数得分为69.5. （以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》） 根据以上信息，回答下列问题： ______ （1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ； （2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少 l  数几个国家所对应的点位于虚线 1的上方．请在图中用“ ”圈出代表中国的点； ______ （3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 万美元； （结果保留一位小数） ______ （4）下列推断合理的是 ． ①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设 创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力； ②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面 建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值． 【解析】 （1）17 （2） 12（3）2.7（4）①② 22．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于 ABC a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G， 的平分线交图形G于点D， 连接AD，CD． （1）求证：AD=CD；   （2）过点D作DE BA，垂足为E，作DF BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM． 若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数． A B C 13【解析】如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示 （1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD， ADCD ∴ ，∴AD=CD （2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90° 在Rt△CDF和Rt△CMF中 CDCM  CF CF ，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线 ∴BC为⊙O的直径，连接OD ∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE. 又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线. ∴直线DE与图形G的公共点个数为1个. 23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： x ①将诗词分成4组，第i组有 i首，i =1，2，3，4； 14i+1 i +3 ②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（ ）天背诵第二遍，第（ ）天背诵第三遍， i  三遍后完成背诵，其它天无需背诵， 1，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 x x x 第1组 1 1 1 x x x 第2组 2 2 2 第3组 x x x 第4组 4 4 4 ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 解答下列问题： x （1）填入 3补全上表； x 4 x 3 x  4 x _________ （2）若 1 ， 2 ， 3 ，则 4的所有可能取值为 ； ______ （3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首． 【解析】（1）如下图 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 x x x 第3组 3 3 3 第4组 （2）根据上表可列不等式组： 154 x x x 14 1 3 4  4 x x 14 2 4   4 x 14 4 x 6 4 ，可得 4 x x x 14 （3）确定第4天， 1 3 4 ，由第2天，第3天，第5天可得 4 x x 14 1 2  4 x x 14 2 3 28  23x   4 x 2 x 4 14 ，∴ 12 x 1 x 3 x 4 3x 2 42 ，∴ 2 3 ， x x x x x 14923 可取 2最大整数值为9，∴ 1 2 3 4   24．如图，P是AB与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB上一动点，连接PC交弦AB 于点D． C A D P B 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：  （1）对于点C在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值， 如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 16PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00 ______ ______ ______ 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的 长度都是这个自变量的函数； xOy （2）在同一平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象； y/cm 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 x/cm ______ （3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为 cm． 【解析】 （1）AD， PC，PD； （2） 17（3）2.29或者3.98 xOy y  kx1k  0 y  k x  k 25. 在平面直角坐标系 中，直线l： 与直线 ，直线 分 y  k x  k C 别交于点A，B，直线 与直线 交于点 ． y l （1）求直线 与 轴的交点坐标； AB，BC，CA （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段 围成的区域（不含边界）为 W ． k  2 W ①当 时，结合函数图象，求区域 内的整点个数； W k ②若区域 内没有整点，直接写出 的取值范围． x0 y 1 l y 【解析】（1）令 ，则 ，∴直线 与 轴交点坐标为（0,1） k 2 l: y 2x1 x2 l y 5 （2）①当 时，直线 ，把 代入直线 ，则 ，∴A（2,5） 183 x 把 y 2 代入直线 l 得： 22x1 ，∴ 2 3 B( ,2),C(2,2) ∴ 2 ，整点有（0，-1），（0,0），（1，-1），（1,0），（1,1）， （1,2）共6个点. ②-1≤k＜0或k=-2 1 y =ax2 +bx- xOy y a 26．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点A，将点A向右平移 2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． a （1）求点B的坐标（用含 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； 1 1 P( ,- ) Q(2,2) 2 a （3）已知点 ， ．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围． 1 y  【解析】（1）∵抛物线与 y 轴交于点A，∴令 x0 ，得 a ， 1 (0, ) ∴点A的坐标为 a ，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B， 1 (2, ) ∴点B的坐标为 a ； 1 1 A(0, ) B(2, ) （2）∵抛物线过点 a 和点 a ，由对称性可得，抛物线对称轴为 02 x 1 直线 2 ，故对称轴为直线 x1 1  0 （3）①当 a0 时，则 a ，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经 过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点. 191  0 ②当 a0 时，则 a . 分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点 A和点P；但当点Q在点B上方 1  2, 或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时 a 即 1 a 2 1 a 综上所述，当 2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点. AOB 30 OH  3 1 27．已知 ，H为射线OA上一定点， ，P为射线OB上一点，M为 OMP 线段OH上一动点，连接PM，满足 为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转 150 ，得到线段PN，连接ON． （1）依题意补全图1； OMP OPN （2）求证： ； （3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有 ON=QP，并证明． B B A O H A O H 图1 备用图 【解析】 20（1）如图所示 （2）在△OPM中，∠OMP=180°-∠POM-∠OPM=150°-∠OPM ∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-∠OPM ∴∠OMP=∠OPN （3）过点P作PK⊥OA，过点N作NF⊥OB. ∵∠OMP=∠OPN，∴∠PMK=∠NPF 在△NPF和△PMK中 21NPF PMK  NFOPMK 90  PN  PM  ，∴△NPF≌△PMK（AAS） ∴PF=MK，∠PNF=∠MPK，NF=PK. 又∵ON=PQ，在Rt△NOF和Rt△PKQ中 ON  PQ  NF  PK ，∴Rt△NOF≌Rt△PKQ（HL），∴KQ=OF. 设MK=y，PK=x ∵∠POA=30°，PK⊥OQ 3x OM  3x y ∴OP=2x，∴OK= ， OF OPPF 2x y MH OH OM  31( 3x y) ∴ ， KH OH OM  31 3x ∵M与Q关于H对称，∴MH=HQ 31 3x 31 3x y 2 322 3x y ∴KQ=KH+HQ= 2 322 3x y 2x y 2 32 x(22 3) ∵KQ=OF，∴ ，整理得 x1 所以 ，即PK=1 ∵∠POA=30°，∴OP=2 D E ! ABC 28．在△ABC中， ， 分别是 两边的中点，如果 上的所有点都在△ABC的内部 或边上，则称 为△ABC的中内弧．例如，下图中 是△ABC的一条中内弧． 22A D E B C AB  AC  2 2，D，E AB，AC （1）如图，在 Rt△ABC 中， 分别是 的中点．画出 △ABC的最长的中内弧 ，并直接写出此时 的长； A D E B C A0,2，B0,0，C4t,0t 0 （2）在平面直角坐标系中，已知点 ，在△ABC中， D，E AB，AC 分别是 的中点． 1 t  2 P ①若 ，求△ABC的中内弧 所在圆的圆心 的纵坐标的取值范围； P ②若在△ABC中存在一条中内弧 ，使得 所在圆的圆心 在△ABC的内部或边上，直接写 出t的取值范围． 【解析】 （1） 23nr 1801 l    180 180 （2） 1 t  ①当 2时，C（2,0），D（0,1），E（1,1） 1 P( ,1) （i）当P为DE的中点时，D  E是中内弧，∴ 2 1 1 1 1 x y  P( , ) y x2,y  x （ii）当⊙P与AC相切时， AC BE ，当 2 时， 2 ，∴ 2 2 1 y  综上，P的纵坐标 y p 1 或 P 2 EF FC 1 2t 1 2  ,  , t2  (t 0), t  ②（i）当PE⊥AC时，△EFC∽△PFE，得 PF FE t 1 ∴ 2 ∴ 2 2 0t  ∴ 2 24PF FC PF 3 3  ,  ,PF  （ii）△PFC∽△ABC，得 AB BC 2 4 2 1 3 PE  ,DP DP=PF=r， 2 2 ，∴ t  2 ，∴ 0t  2 0t  2 综上： 25