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2011年数学（一）真题解析
一、选择题
（1） 【答案】（C）.
[解】由/（2）+/（3）=0>/（^）,竺厂⑷心）
得（3,0）为曲线的拐点，应选（C）.
（2） 【答案】（C）.
【解】 因为Sn + a2 +…+ a”无界，所以limS”不存在，
n-*°o
于是级数发散，即级数工0”工"在工=1处发散；
因为仏”｝单调递减且lima” =0,所以由莱布尼茨审敛法得》（一l）"a”收敛，
n_*°° n = l
oo oo
即级数 在工=-1处收敛，从而级数的收敛半径为R=l,且收敛域为
n=\ n=1
[—191） 9故级数> a” （工一1）"的收敛域为一1 x — 1 < I：即[0,2）,应选（C）・
zi =]
（3）【答案】（A）.
【解】
3Z _f{jc )f\y)
f 3
dz dz
显然 =0,即（0,0）为函数z == /(jc )ln fCy)的驻点.
3jc (0,0) cJy (0,0)
32 z
「52（。），"总q2
=0, c = |4
A = =r(o),
2 (0,0) d y (0,0)
AC — B2 =//，2 (0)ln /(0),则(0,0) z = /(jt )ln f(y )的极小值点的一个充分条件为
/(0) > 1J〃(O) > 0,应选(A).
(4)【答案】(E).
【解】当0 VhV 丁时，由sin工 V cos x V cot jc 得 In sin 乂 < In cos 工 V In cot jc 9
4
从而 In sin jc djr 0, 2严 工〉0,
心工）= 显然 f2 Qx )分
z W 0, 0, •z W 0,
别为参数为1和2的指数分布的密度函数，九（工”2 （z）= |2e Z > 0 9
lo,
因为]/i (工)九(e )dr = 2〔 e~3r dr 2
m工1，所以力Cz）九（工）不是概率密度，（A）不对；
J —OO J 0
取川亠匚 工> 0, f2(^)= (2e， F2） JC $ 0 9
爲:则
•X £ 0, 10, •z V 0，
于是2九（工）厂（工）=『“ 工〉0 9
【0, •Z V 0 9
因为［2九（工）F］（工）dz =4 *4-00 2
(e"2j —ef ）山=三工1，所以2九（工）尸］（工）不是概率
J —OO « 0
密度，（B）不对;
1 e~r , z > 0 9 2严， •z > 0 9 {1 _ e_2j j?〉0,
取 /[ (x )= 7%（工）= F2 (j?)=
【0, 乂 W 0 9 Io, h W 0， lo,
囂因为 *4-00 +°° 92
fi (x )F2 (j：)= fi Q )F2 (rr )dr (e-^ — e~3j )dz = — # 1,
0, o 33
所以f^x）F2（x）不是概率密度，（C）不对，应选（D）.
（8）【答案】（E）.
【解】 因为UV = XY,所以E（L7V） =E（XY）.
又因为 X,Y 独立，所以 E（UV） =E（XY） =E（X）E（Y）,应选（E）.
二、填空题
（9）【答案】ln（l+V2）.
T
【解】由山= 1 + djr = \/1 + tan2 jc dr = sec x dr 9= ln(l +短).
0
方法点评：本题考查变积分限函数求导、弧微分的公式、定积分的计算.
需要熟练掌握曲线的弧长计算公式：
(1) 若 L -y = Wb),则 ds = a/1 + f'~ (j? ) dr ,s =[丿1 + 广(rr ) ；
J a
(2) 若 jL：[ 卩 '(aW/W0)，则 &= J C (t) + W (/) d/ ,s= [ J©' (/) + 中"(t) d/
\y — 0(i) J a
(3) 若 L ：r = r (0) (a W 0 W 仔)，则 ds = Jr，2 ((9) + r2 ((9) d。，s = ] J,* (0)十 r? (&)
(10)[答案】e~r sin .
【解】方法一 由 yf y = cos x 9 得
夕=([e=r cos x • J山 djr + C)e '山=(sin jc + C)= Ce_r + e_J sin jc ,
因为)(0)=0,所以 C =0,于是 y = e~r sin x .
方法二 y'+_y=0 的通解为 y =Ce =C e_r.
令原方程的通解为y =C(_z)eF，代入原方程得C'Q)eF =e-" cos工，
解得C(_z ) = sin z + C ,即原方程的通解为= (sin + C)e_J ,
由夕(0) =0得C =0,故原方程满足初始条件的特解为y =ePsin工.
(11) ［答案】4.
3F ysin xy 32 F y (1 + x2 y2 )cos xy — 2a：v sin xy
【解】
狂=m^7，乔=$ (lUE ，
则共
=4.
djC x=0
y = 2
(12) 【答案】TV.
【解】 方法一 设L所在的截面为X,按右手法则Q的法向量指向上侧,
■S 的法向量为"=(一 1, — 1,1)，方向余弦为 cos a = — 占，cos 0 = — 2，cosy =二
73 V3 V3
cos a 1
d
2
dz + 工 dy + ^-dz = aZ ds
2
xz
T
一 j/ + l)dS =—『揑(—x 一 j； + 1)djr dj/
D
\x = COS t 9
方法二 令 L Ay = sin t, (起点 i =0,终点 t = 2?r),则
[z = sin t + cos ty
> xzax + jc dj/ H— dz
L 2
■2n
cos t (sin t + cos t) (— sin £ )ck + cosLdt + —sin2Z (cos t 一 sin t)dt
2
o
1 . 2 、i
— sin Zcos t 一 s• in cos2 t i十 cos2 t----1sin. 3t j at
1 . 1.
—sin 2 Zcos t 一 sm• 才 cos 2 t 十i cos 9 t----sin t 3j A\ t1
*sinLcos t + cosL)ck =-
sinl2 t cos tdt + 2 cos21 dt
o 0
“ 1 兀
2 cosSdr = 4I2=4X — X — = tc.
J o 2 2
方法点评:本题考查三维空间对坐标的曲线积分的计算.
三维空间对坐标的曲线积分^Pdx +Qdy+Rdz常用的计算方法有：
方法一定积分法
pr =卩（/）,
设 L =0（/）,（起点 t =a，终点 t =/?）,则
[z
J PcLz+Qdy +Rdz=] [P卩'（/）+Q0‘‘（/）+）]d/.
方法二 斯托克斯公式
cos a cos /
Pdx +Qdy-\-Rdz =『 3 a
dS,
djC aZ
P R
其中 cos a , cos B , cos 7 为曲面工的法向量的方向余弦.
（13）[答案】1.
/I a 1 、 （工\
【解】令A=a 3 1 ,x
y）,则二次曲面表示为X\4X=4.
I1
h 1
因为X「AX= 4经过正交变换化为嶄+4喝=4,所以A的特征值为入i= 0,A2= 1,A3= 4,
于是r(A)==2.
I1
a 1 \ I1 1 /Il 1 \
而 A = 3 !- a 1 -a(0 a — 1 0 故 a=l・
1 J J
4 3 F 0 3 — a 1 — a
（14）【答案】z2 十//.
【解】因为（X,Y） 〜N （〃，〃 y2；0),所以 X 〜Ng,/),Y 〜N(〃， 0(工 > 0),
1 +工 (1 + H ¥
1f(0)=0, , 工
由｛ 得 /(rr) >0(j7 >0),即当 h>0 时，-~~!-- < ln( 1 + z )；
[/'(工)> 0(工 > 0), 1+工
令 g (乂)=工一ln(l + 工)，g(0)=0, g'Q)=l— ~—>0(工〉0),
1十z
(g (0) = 0， r
由 . 得 £(乂)〉0(工>0)，即当工〉0 时，ln(l+«z)VH9
\g (jc )〉0(乂 > 0) 9
于是当 h〉0 时 9 -―.- r -- -V ln( 1 + ) Vi 取工=一1 9 则有——I V lnl 1 / H----- 1 - ) \ V — 1 .
1 十 h n 十 1 \ Ti 丿 n
方法二 中值定理
令 /(r) =ln(l +/)&〉0), /(0) =0, f\t)
由拉格朗日中值定理，存在£ 6(0,丄)，使得于(丄)一于(0)=匚空，即
TI
\ 72 / ' 77 /
ln(1 + 7) ___ i____
n(l +f)
因为一丄亍V 1 EE i v I,所以一Hr 0 9
所以｛- ｝单调减少且有下界，故｛- ｝收敛.
方法点评：在本题基础上需要掌握不等式证明中使用的放缩法：
【例】 证明：ln( 1 + ?? ) W 1 ~i—-— -----W 1 + In n.
2 Tl
…r i 1 r2 1 c2 1 r2 i
【证明】 当x G ［1，2］时9由—，得 —dx —djc，即1 $ —dx.
1 x J1 1 J1 X J1 x
1 1 f3 1 「3 1 1 f3 1
当H W ［2,3］时，由得斗归A 土比r，即苛羽土dr.
Z
L X J 2 J 2 X L J 2 X同理+‘4 —1 dr 1 *+i 1 1 1 *+i i
—dr，相加得］+百+・・•---$ —dz = ln(l ~i~n)
3 X n n x L n J1 3C
又当x E [1,2]时，由士1 W丄得| ‘2 -1^-dr ，2 上1 d,r,即心三 1€| 』 W1■ 血. ；
2 1 2 1 z 2 J 1 x
2 ，3 1 一 3 1 , » 1 ，3 1 .
当无€ ［2,3］时今由 9得 —dr —dr，艮卩可W —山
x 2 3 2 X 3 2 X
11 「T 1 1 . 1
同理 ~7~W ―dr,…，一W —dr 9相加得古 H—z— ----冬| —dr = In X，于是
44 二J 3 x n n-］ x X Z 3 n J i x
1 . . 1 1
W 1 + In 9 故 ln( 1 + W 1 H—-— ・• -----W 1 + In n.
1 -|—~2-—j—
3
- —
1
• • •----
n
----
n
I 1 CI 1
(19)［解】1 = 山 yfxy Cx 9歹)迥= j o^dz jydX Cz ,y),
0 J 0 0
由［(工，y)= yfx(工，夕 f'xkx ,j/)dj/= fx (j: ,1) — f _/lQ,y)dy,
J 0 0 J 00
f'x •1 fl
得/ = JCf 工(J7 9l)dz 一 吐［ (H，夕心= jc ,1) 一 j:dr I f x (jc ?
0 」 0 J 0 0 0
由 ,1) = 0 得
［ ［ X Q | 1
I = — {x ,y}^y =— xf'x(JC ,y)dz ,
J 00 Jo 0
•1 fl '1
xf'x (h ,y)cLz = a-d/Cjr ,夕)=jc/(jc ,y) Io — J f (工,_y)clz = 一 | f {x ,y)dz ,
J 0 0
由 7"(1，夕)=0 得
J
|
0
=f‘工(工,y)clz = —
J
I
(
o/(JC ，夕)dr ,
fl fl
故/ = f(jc ^y)(h:(ly = a.
0
.D
方法点评：本题主要考查二重积分转化为累次积分及改变累次积分的积分次序，抽象函
数的定积分的分部积分法.
1 0 1
(20)【解】(I )方法一 a} ,a2, 为3个3维向量，因为| a} ,a2 ,a3 | = 0 1 3 =1 H 0,
1 1 5
所以a | ,a2 ,a3线性无关.因为01,02,03 —定可由a! ,a2 ,a3线性表示，而5 ,a2 ,a3不
能由0i，02,03线性表示，所以01 ,02，03 的秩小于«i ,a2 .a3的秩，
1 1 3 1 1 3
从而 1 01 9 02 903 1 = 1 2 4 = 0 1 1 =a — 5=0,故 a = 5.
1 3 a 0 2 a — 3
方法二 01,02,03,a, G =1,2,3)为4个3维向量，则0i，比，庆，a( = 1,2,3) 一定线
性相关.
若“1，“2，03线性无关，而01，02,03,a,(=1,2,3)线性相关，则a( =1,2,3)可由向量
组0] ,02,03线性表示，矛盾，于是| 01,02,03 1 = 0.
1 1 3
由 1 2 4 =a — 5=0,得 a = 5.
I 01，02 '03 I =
1 3 a（
II
）将矩阵
（a1，,a2 ,a3,0
】，P2 ,庆）进行初等行变换得
I1 0 1 1 1 3\ /】 0 0 2 1 5
(a 】 9 (X 2 9 tt 3 901 9 fl 2 903)= 1 0 1 3 1 2 4 - 1 0 4 2 10
5/ 'o
h 1 5 1 3 0 1 -1 0 -2
[01 = 2a i + 4a 2 — a 3,
于是 =a 1 + 2a2 + 0a3,
〔0 -― 5 a + 10 a 2 a
3 i 2 3.
方法点评：本题使用向量组的如下性质：
（1） 若一个向量组的向量个数大于向量的维数，则该向量组一定线性相关；
（2） 若一个向量组的个数与维数相等，则该向量组线性相关的充分必要条件是该向量组
构成胡行列式为零；
（3） 若向量组A可由向量组B线性表示，但向量组於不可由向量组A线性表示，则向量组
A的秩小于向量组B的秩.
（21）【解】（I）由厂（A）=2<3,得 0,于是入 = 0为 的一个特征值.
|A| = 1 A
1
又由已知条件，得 A 0 ，根据特征值与特征向量的定义得
L1
入 为 的特征值,其对应的特征向量为§ 0 j ；
2 = — 1 A 2 = [
入 为 的特征值,其对应的特征向量为
3 = 1 A §3 =
令§1 = ”2 为入1 =0对应的一个特征向量，由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正
•Z
3
〔豎亍即 X ! 一 X 3 ::基础解系为学即◎
交得 为入1 = 0对应的一个
1 § =09 X ! + S
3
特征向量.故 的特征值为入 心=—1，入 =1，其对应的所有特征向量为C1S，
A 1 =0, 3
C2^,C3^3（C1,C2,C3为不为零的任意常数）.
1° 0 0\
（n）方法一 令 P=（S，§2，S） P AP = 0 -i o ,得
'0 o r
0 1
0 0
'o
0 0
方法二 由 A（gi ,§2，S）=（A§1 ,A§2，A§3）=（0, — §2，§3），得/° -1 /° 1 -1 /° 0 1\
A=(0,—g2，§3)(L，§2，§3)T= 0 0 0 0 0 = 0 0
'o J 'o J 4 0/
1 —] 0
方法点评：本题注重考查特征值与特征向量的定义，很多考生忽视了定义而不知道本题
所给已知条件如何解读.事实上求特征值常用方法有：
(1) 公式法，即由|入E —A | = 0求出特征值；
(2) 定义法，即令AX=AX,根据矩阵的关系式，求出矩阵A的特征值；
(3) 关联矩阵法，即找矩阵使得P AP=B，即A〜B ,从而丨AE-A |=| AE-B | ,于
是求出A的特征值.
求特征向量常用方法有：
(1) 设如为A的特征值，则属于入。的特征向量为(A0E-A)X=0的非零解；.
(2) 定义法，满足AX =A0X的非零X即为；I。对应的特征向量；
(3) 利用矩阵关系求特征向量，如A xa =Aoa，则a为A的属于特征值吕-的特征向量.
入
0
(22)【解】(I )由 P{X' =丫2}=],得 p{X?工 丫2} =0,
于是 P{X = 0,Y = — l}=P{X=0,Y = l}=P{X=l,Y = 0}=0,
故(X,Y)的联合分布律为
y
X
—1 0 1
1
0 0 0
T
1 1
1 0
T T
(n)z = xY的可能取值为一且
p{z = -i}=p{x = i,y = -i}=j,
P{Z =0} =P{X =Q,Y = -1} + P{X=0,Y = 0} +
P{X = 0,Y = l} +P{X =l,Y = 0}
1
/- 1 0 1
J3 {Z = 1} = 1 — P {Z = — 1} 一 P {Z =0} = *,贝U Z 的分布律为 Z〜(111
' T T §
2
(in )由 E(X) = y ,E(Y) = 0,E(XY) = E(Z) = 0,
得 Cov(X,Y) = E(XY) — E(X)E(Y) = 0,于是 =0.
(23)【解】(I )似然函数为 L 2) =y(z 1 )/(0 2)…/(①”)=(2兀a?) 2 e a !=1
取对数得 In L (
