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第一章 函数与极限
第十节 闭区间上连续函数性质
主讲 武忠祥 教授一、有界性与最大最小值定理
定理1（最大最小值定理）设函数 在区间 上连续,则
f ( x) [a,b]
在 上必有最大值和最小值.
f ( x) [a,b]
定理2（有界性定理）设函数 在区间 上连续,则
f ( x) [a,b] f ( x)
在 上必有界.
[a,b]二、零点定理与介值定理
定理3（零点定理）设函数 在区间 上连续,且
f ( x) [a,b]
f (a) f (b) 0 ，则 (a,b) 使 f () 0.
定理4（介值定理）设函数 在区间 上连续,且
f ( x) [a,b]
f (a) f (b), 为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任何值,则至
少存在一个 (a,b) 使 f () u .
推论：设函数 在区间 上连续,则 在
f ( x) [a,b] f ( x) [a,b]
上能取得介于它的最大值 与最小值 之间的任何值.
M m例1 证明方程 x asin x b, 其中 a 0,b 0, 至少有一个正根,
并且它不超过 a b.
例2 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续,a c d b. 试证至少存在一个
[c,d], 使
3 f (c) 2 f (d ) 5 f ().内容小结
四个定理
设函数 在区间 上连续
f ( x) [a,b]
定理1（最大最小值定理）
定理2（有界性定理）
定理3（零点定理）
定理4（介值定理）作业 ： ；
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