(24)--1.14笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第一章 函数与极限
第十节 闭区间上连续函数性质
主讲 武忠祥 教授一、有界性与最大最小值定理
定理1（最大最小值定理）设函数 在区间 上连续,则
f ( x) [a,b]
在 上必有最大值和最小值.
f ( x) [a,b]
定理2（有界性定理）设函数 在区间 上连续,则
f ( x) [a,b] f ( x)
在 上必有界.
[a,b]二、零点定理与介值定理
定理3（零点定理）设函数 在区间 上连续,且
f ( x) [a,b]
f (a) f (b)  0 ，则  (a,b) 使 f ()  0.
定理4（介值定理）设函数 在区间 上连续,且
f ( x) [a,b]
f (a)  f (b), 为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任何值,则至
少存在一个  (a,b) 使 f ()  u .
推论：设函数 在区间 上连续,则 在
f ( x) [a,b] f ( x) [a,b]
上能取得介于它的最大值 与最小值 之间的任何值.
M m例1 证明方程 x  asin x  b, 其中 a  0,b  0, 至少有一个正根,
并且它不超过 a  b.
例2 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续,a  c  d  b. 试证至少存在一个
[c,d], 使
3 f (c)  2 f (d )  5 f ().内容小结
四个定理
设函数 在区间 上连续
f ( x) [a,b]
定理1（最大最小值定理）
定理2（有界性定理）
定理3（零点定理）
定理4（介值定理）作业 ： ；
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