(24)--1.14笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第一章 函数与极限 第十节 闭区间上连续函数性质 主讲 武忠祥 教授一、有界性与最大最小值定理 定理1（最大最小值定理）设函数 在区间 上连续,则 f ( x) [a,b] 在 上必有最大值和最小值. f ( x) [a,b] 定理2（有界性定理）设函数 在区间 上连续,则 f ( x) [a,b] f ( x) 在 上必有界. [a,b]二、零点定理与介值定理 定理3（零点定理）设函数 在区间 上连续,且 f ( x) [a,b] f (a) f (b)  0 ，则  (a,b) 使 f ()  0. 定理4（介值定理）设函数 在区间 上连续,且 f ( x) [a,b] f (a)  f (b), 为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任何值,则至 少存在一个  (a,b) 使 f ()  u . 推论：设函数 在区间 上连续,则 在 f ( x) [a,b] f ( x) [a,b] 上能取得介于它的最大值 与最小值 之间的任何值. M m例1 证明方程 x  asin x  b, 其中 a  0,b  0, 至少有一个正根, 并且它不超过 a  b. 例2 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续,a  c  d  b. 试证至少存在一个 [c,d], 使 3 f (c)  2 f (d )  5 f ().内容小结 四个定理 设函数 在区间 上连续 f ( x) [a,b] 定理1（最大最小值定理） 定理2（有界性定理） 定理3（零点定理） 定理4（介值定理）作业 ： ； P70 1; 2; 4 ; 5