2025年10月21日高等数学专题第10节--多元函数极值反问题（题目紧凑版）_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

2026 考研数学保命班
高等数学
@金榜硕哥 薛威
2025 年 10 月北京第 10 节 多元函数极值反问题
金榜时代
@考研数学薛威 硕哥
一、多元函数极值反问题（含参数）
1. 无约束条件函数极值
2. 隐函数极值（一元、二元）
3. 等式约束条件极值（拉格朗日函数极值）
4. 不等式约束条件极值
5. 函数极值的反问题（求参数）
【例题1】求函数u  xy2yz在约束条件下x2y2z210下的最大值和最小值．
（2010年，数学三）
【例题2】求曲线x3xy y3 1(x0,y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．
（2013年，数学二）
【例题3】在第一象限内，过曲线3x2 2xy3y2 a上任一点作其切线，若切线
1
与坐标轴所围成三角形面积的最小值为 ，求a的值．
4
【例题4】设a,b满足a2 b2 1,a0b，求曲线y  x2 ax与y bx所围区域
面积的最大值与最小值．
【例题5】设函数 f(x,y) x3  y3 ax2 by2 (a0,b0)有极小值8，
x2 y2
求a,b的值，使得  1所围面积最大．
a2 b2【作业1】设可微函数 f(x,y)的全微分为df(x,y)(2x4y)dx(10y4x)dy，
且 f(0,0)0．
（Ⅰ）求 f(x,y)；
（Ⅱ）求原点O(0,0)到曲线 f(x,y)1上的点的距离的最大值与最小值．
 
【作业2】求z  x2 12xy2y2在区域D (x,y) 4x2  y2 25 上的最值．
【作业3】设 f(x,y)3x4yax2 2ay2 2bxy．
（Ⅰ）问a,b满足什么条件时， f(x,y)有唯一的极大值；
（Ⅱ）问a,b满足什么条件时， f(x,y)有唯一的极小值．
1 1
【作业4】设 f(x,y) x2  y2满足ax2 2xyby2 1，于点( , )处取得最大值，
2 2
求a,b的值．
x2 y2
【作业5】设函数 f(x,y)(x1)2  y2 (y 0)在条件  1 (a0,b0)
a2 b2
3 3
下于点 , 处取得最小值，求a,b的值．
 
2 2
 
【作业6】设函数 f(x,y) x2 2kxy y2 (k 0)满足x2  y2 1的最大值与最小值
3
分别为和． （Ⅰ）证明： 2； （Ⅱ）当 时，求k的值．
1 2 1 2 1 2
【作业7】设P(x ,y )为椭圆3x2 a2y2 3a2 (a 0)在第一象限部分上的一点，已知
0 0
 1 
在P点处椭圆的切线、椭圆及两坐标轴所围图形D的面积最小值为2 3  1  .
 4 
（Ⅰ）求点P的坐标及a的值； （Ⅱ）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V .