第1次课后作业解答_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_04.寒假集训营_第二章求导数_课程讲义+测试

C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 第 1 次课大作业解答 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 (x−1)(x−2) (x−n) L 1.已知 f(x) = ，则 f′(1) = . (x+1)(x+2) (x+n) L f(x)− f(1) C 【解】由导数的定义 C f′(1) =lim C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O x→1 x−1 O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 (x−2学) (x−n) (−1)n−1 学 学 学 学 学 学 学 学 L =lim = 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 x→1 (x+ 国 1)(x+2) L (x+n) n(n+ 国 1) 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 2.设函数 f(x)对任意x均满足 f(1+ x) = af(x),且 f ′(0) =b,其中a,b为非零常数，则 （A） f(x)在x =1处不可导 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M （B） f(x)M在x =1处可导,且 f ′(1) =Ma M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 （C）国f(x)在x =1处可导,且 f国′(1) = b 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 （D） f(x)在x =1处可导,且 f ′(1) = ab C 【解】在 f(1+ x) = a C f(x)中令x =0得 f(1)=a C f(0), C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O f(1+Δx)− f(1) M M M M M M M M M M M 由导数的定义可知 f′(1)=lim 学 学 x→1 学Δx 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 af(Δx)−af(0) 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 =lim 中 中 中 x→1 Δx 中 中 中 中 中 中 中 中 f(Δx)− f(0) =alim x→1 Δx C C =af′(0)=ab C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M 故选（D）. M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 3.设 f(x)大=sinxsin3xsin5x,则 f′′(0大)= ________. 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 【解】中显然 f(x)=sinxsin3xsin中5x是奇函数，则 f′(x)是偶中函数， f′′(x)是奇函数，中故 中 中 中 中 中 中 f′′(0)=0. C 1−Cx C C C C C C C C C O 4.设 f(x) =ln O ,则 f′′(0)= O . O O O O O O O O O 1O+ x2 O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学1 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 【解】 f(x大)= [ln(1−x)−ln(1+x2)大] 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 2 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 1 1 2x f′(x)= [ − ] 2 x−1 1+x2 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 1 −1 2(1−x2) 大 f′′(大x)= [ − 大] 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 2 (x−1)2 (1+x2国)2 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 3 则 f′′(0)=− 2 C ⎧ C1 C C C C C C C C C O ⎪ | x|Osin , x ≠ 0 O O O O O O O O O O 5.设 f(x) = ⎨ O x2 ,则 f(x)O在x =0处 O O O O O O O O M ⎪ ⎩ M0 x =0 M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 （A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 （C）连续,但不可导, （D）可导 1 【解】由于lim f(x)=lim x sin =0= f(0) x→0 x→0 x2 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O 则 f(x)在x =0处极限存在且连续. O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 1 学 学 学 学 学 学 学 学 学 x sin −0 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 x2 国 又 国 f′(0)= lim 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 + x→0+ x 中 中 中 中 中 中 中 中 中 1 1 = lim sin x→0+ x x2 C C C C C C C C C C C O 该极限不存在，则 Of(x)在x =0处不可导,故选O（C）. O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M ⎧ x 学 学 , x≠0, 学 学 学 学 学 学 学 学 学 ⎪ 大 6.设 f(x)大=⎨ 1 则 f(x)大在x =0处（ ） 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 1−ex 国 国 国 国 国 国 国 国 国 ⎪ 中 中 ⎩ 0, x=0, 中 中 中 中 中 中 中 中 中 （A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续,但不可导, （D）可导 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O x O O O O O O O O O O O 【解】由于lim f(x)=lim =0= f(0) M M M M M M M M M M M 1 x→0 x→0 学 学 1−ex 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 则 f(x国)在x =0处极限存在且连续国. 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 x −0 1 1−ex 1 又 f′(0)= lim = lim =0 C + x→C0+ x x→0+ 1 C C C C C C C C C O O 1−exO O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M x 学 学 −0 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 1 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国f′(0)= lim 1−ex =国lim 1 =1 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 − x→0− x 中x→0− 1 中 中 中 中 中 中 中 中 1−ex 则 f(x)在x =0处不可导,故选（C）. CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 ⎧b(1+sinx)+a+2, x≥0 大 7. 已知函数大f(x)=⎨ 大 处处可导，则（大 ） 大 大 大 大 大 大 大 国 国 ⎩ eax −1,国 x<0 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 （A）a =1,b=2 （B）a =1,b=−1 （C）a =−1,b=2 （D）a =−1,b=−1 C C C C C C C C C C C O 【解】显然 f(x)在Ox ≠0处可导，要使 f(x)处O处可导，只要 f(x)在x=O0处可导，从而 O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M f(x)在x=0处连续，则 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 lim f(x)= lim(eax 国 −1)=0= f(0)=b+a+2 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 x→0− x→0− 中 中 中 中 中 中 中 中 中 f′(0)=[b(1+sinx)+a+2]′ =b + x=0 (eax −1)− f(0) C f′(0C)= lim C C C C C C C C C O −O x→0− x O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M (eax −1)−(b+a+2) 学 学 = lim 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 x→0− 大x 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 eax中−1 中 中 中 中 中 中 中 中 = lim =a x→0− x 或者 f′(0)=(eax −1)′ =a C − C x=0 C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O 则a =b,b+a+2O=0,由此可得a =b=−1,故O应选（D）. O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 x π 大 8. 设g(x)大=limt2sin [f(x+ )−大f(x)],其中 f(x)具有二阶导大数，则 大 大 大 大 大 大 大 国 国 t→∞ t t 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 g′(x)= ______. x π 【解】g(x) =limt2sin [f(x+ )− f(x)] C t→∞ Ct t C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O x π O =lim O t2⋅ [f(x+ )− f(x)] O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M t→∞ t t 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 π 大 大 大 大 大 大 大 大 大 f(x+ )− f(x) 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 t 中 中 =πxlim 中 中 中 中 中 中 中 中 中 π t→∞ t =πxf′(x) C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M g′(x)=Mπ[f′(x)+ xf′′(x)] M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 ln(1−大2x)+2xf(x) 大 大 大 大 大 大 大 国 9.设 f(x国)在x=0的邻域内有定义国, f(0)=1,且满足lim 国 =0.考察函国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 x→0 中 x2 中 中 中 中 中 中 中 数 f(x)在x=0处的可导性，若可导，求 f′(0). CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学ln(1−2x)+2xf(x) 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 【解1】 l大im 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国x→0 x2 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 ln(1−2x)+2x中+2x(f(x)−1) 中 中 中 中 中 中 中 中 = lim =0 x→0 x2 1 − (−2x)2 ln(1−2x)+2x ln(1−2x)−(−2x) C lim C =lim C=lim 2 =−2 C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O x→0 x O 2 x→0 x2 O x→0 x2 O O O O O O O O M 2x(fM(x)−1) f(x)−1 M M M M M M M M M 学 lim 学 =2lim 学=2f′(0)=2 学 学 学 学 学 学 学 学 大 x→0 大x2 x→0 x 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 则中 f ′(0) =1 中 中 中 中 中 中 中 中 中 ln(1−2x)+2xf(x) 【解2】 lim x→0 x2 C C C C C C C C C C C O O 4x2 O O O O O O O O O O −O2x− +o(x2)+2xf(xO) O O O O O O O O M M 2 M M M M M M M M M 学 = l 学 im 学 学 学 学 学 学 学 学 学 x→0 x2 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 f(x)−1 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 = −2+2lim = 0 x→0 x f(x)−1 则 lim =1. 即 f ′(0) =1 x→0 x C C C C C C C C C C C O 10.设 f(x)在(−∞， O+∞)上二阶导数连续, f(0O) = 0， O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M ⎧ f(x) 学 学⎪ , x ≠ 0 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 g大(x) = ⎨ x 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 ⎪ ⎩ a x = 0 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 1) 确定a使g(x)在(−∞,+∞)上连续. 2) 证明对以上确定的a,g(x)在(−∞,+∞)上有连续一阶导数. C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O 【解】1) 显然g(Ox)在x ≠ 0处连续，而 O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 f(x) 大 limg(大x) =lim = f ′(0) 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 x→0国 x→0 x 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 则若a = f ′(0)时g(x)在(−∞,+∞)上连续. 2) 当x ≠ 0时， C C C C C C C C C C C O Oxf ′(x)− f(x) O O O O O O O O O O g′ O (x) = O O O O O O O O O M M x2 M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 且g′(大x)连续. 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 g(x中)−g(0) 中 中 中 中 中 中 中 中 当x = 0时，g′(0) =lim x→0 x CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 f(x) 大 大 − f′(0) 大 大 大 大 大 大 大 大 大 f(x)− f′(0)x 国 国 x 国 国 国 国 国 国 国 国 国 =lim =lim 中 中 x→0 x x→ 中 0 x2 中 中 中 中 中 中 中 中 f′(x)− f′(0) f′′(0) =lim = （导数定义） x→0 2x 2 xf ′(x)− f(x) x(f ′(x)− f ′(0))+ xf ′(0)− f(x) O C limg′(x) =lim O C = lim O C O C O C O C O C O C O C O C O C O x→0 xO→0 x2 x→0 O x2 O O O O O O O O M Mf′(x)− f′(0) f(xM)− xf′(0) f′′(0)Mf′′(0) M M M M M M M 学 学=lim −lim 学 = f′′(0)− 学= = g′(0) 学 学 学 学 学 学 学 大 大x→0 x x→大0 x2 大2 2 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 则中g′(x)在x = 0处连续，故中g(x)在(−∞,+∞)上有连续的中一阶导数. 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中