第2次课作业解答_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_04.寒假集训营_第一章求极限_课程作业+测试

第 2 次课作业解答
ex2
cosx1
ex2
cosxcosx cosx1
1.【解1】lim lim lim
x0 x2 x0 x2 x0 x2
1
 x2
ex2
1 1 1
2
lim lim 1 
x0 x2 x0 x2 2 2
ex2
cosx1
ex2 cosxex2 ex2
1
【解2】lim lim lim
x0
x2
x0
x2
x0
x2
cosx1 x2 1 1
lim lim  1
x0 x2 x0 x2 2 2
ex2
cosx1 cosx1 1
【注】lim lim  .是“经典的错误，标准的0分”.
x0 x2 x0 x2 2
1 1 1 1
2.【解1】 lim [ex 1x2 x]  lim [ex 1x2 exx]  lim [exxx]
x x x
1
 lim [ 1x2 x] lim x[ex 1]
x x
1 1
 lim  lim x[ ]1
x 1x2 x x x
1 1  1
【解2】 lim [ex 1x2 x]  lim x[ 1 e x]
x x
x2
1  1
 lim x[( 1 1)(e x 1)]
x
x2
1 1
 lim x[( )( )]1
x 2x2 x
1 1
【注】 lim [ex 1x2 x]  lim [ 1x2 x]  lim 0,是“经典的错误，
x x x 1x2 x
标准的0分”.
2
3.【解1】 lim x2[3 x3 13 x3 1]  lim x23 x31[3 1 1]
x x x31
1 2 2
 lim x23 x31[ ]
x 3 x31 3
1 1
【解2】 lim x2[3 x3 13 x3 1]  lim x3[3 1 3 1 ]
x x x3 x3
11 1
 lim x3[(3 1 1)(3 1 1)]
x
x3 x3
1 1 2
 lim x3[( )( )]
x 3x3 3x3 3
arcsin xsin x (arcsin xx)(sin xx)
4.【解】lim lim
x0arctanxtanx x0 (arctanxx)(tanxx)
x3 x3
( )( )
6 6 1
lim 
x0 x3 x3 2
( )( )
3 3
(1x)(1 x)(1n x) (1x)(1 1(x1))(1n 1(x1))
5.【解】lim lim
x1 (1x)n x1 (1x)n
1x 1x
(1x)( )( )
2 n 1
lim 
x1 (1x)n n!
 1  1 1 
6.【解】lim xx2ln(1 ) lim x2 ln(1 )
   
x x  x x x 
 1  1
lim x2 
 
x 2x2 2
1

cos2x cos2x cos2x[1cos 2 2x]
7.【解】alim lim
x0
xk
x0
xk
1
 (2x)2
4
lim
x0
xk
则 k 2,a1.
x[e(x1)lnx 1] (x1)ln x
8.【解1】 原式=lim lim
x1 ln[1(x1)](x1) x1  1 (x1)2
2
(x1)ln[1(x1)]
2lim
x1
(x1)2
(x1)2
2lim 2
x1(x1)2
2x[(1(x1)(x1) 1]
【解2】 原式=lim
x1 ln[1(x1)](x1)
(x1)2
lim 2
1
x1  (x1)2
2
1  xln 2cosx   
9.【解1】原式lim e  3  1
x0
x3
 
2cosx
xln 
 3 
lim （等价无穷小代换）
x0
x3
 cosx1
ln1 
 3 
lim
x0
x2
cosx1
lim （等价无穷小代换）
x0
3x2
1
 x2
1
2
lim 
x0 3x2 6
1   cosx1 x 
【解2】原式lim 1  1
x0 x3   3  
cosx1
x 
 3 
lim （等价无穷小代换）
x0
x3
cosx1
lim
x0
3x2
1
 x2
1
2
lim 
x0 3x2 6
【注】当x0时，(1x)1~x.这个结论推广可得，若(x)0,(x)(x)0,
则 (1(x))(x) 1~(x)(x)
x
 cosx1 x(cosx1)
由此可得1  ~ .
 3  3
(2sin2 x)x 2sinx (2sin2 x)x 2x 2x 2sinx
10.【解】lim lim lim
x0
x3
x0
x3
x0
x3
3sin2 x
2x[(1 )x 1]
2ln2(xsin x)
2
lim lim
x0 x3 x0 x3
sin2 x 1
x ln2( x3)
2 6
lim lim
x0 x3 x0 x3
1 1
  ln2
2 6
1 1
arcsin xx2  arcsin xxx2
11.【解】由于lim  lim1 
x0 x  x0 x 
1
x3
arcsinxx 6 1
lim lim 
x0 x3 x0 x3 6
1
arcsin xx2 1
则 lim  e6
x0 x 
1
 1 x 1 ln(1x)
(1 x)x  ex2 1 ln(1x) 1
12.【解】lim lim limex2 x
x0  e  x0 1 x0
  ex
 1 1 1
 
lim ln(1x) lim ln(1x)x
 
x0x2 x x0 x2
1 1  1
lim x2 
 
x0 x2  2  2
1
 1 x
(1x)x   1
lim e 2
x0  e 
 
1
 1 x 1
(1 x)x  ex
【注】lim lim 1是“经典的错误，标准的0分”.
x0  e  x0  e  
 
4