第2次课作业解答_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_04.寒假集训营_第一章求极限_课程作业+测试

第 2 次课作业解答 ex2 cosx1 ex2 cosxcosx cosx1 1.【解1】lim lim lim x0 x2 x0 x2 x0 x2 1  x2 ex2 1 1 1 2 lim lim 1  x0 x2 x0 x2 2 2 ex2 cosx1 ex2 cosxex2 ex2 1 【解2】lim lim lim x0 x2 x0 x2 x0 x2 cosx1 x2 1 1 lim lim  1 x0 x2 x0 x2 2 2 ex2 cosx1 cosx1 1 【注】lim lim  .是“经典的错误，标准的0分”. x0 x2 x0 x2 2 1 1 1 1 2.【解1】 lim [ex 1x2 x]  lim [ex 1x2 exx]  lim [exxx] x x x 1  lim [ 1x2 x] lim x[ex 1] x x 1 1  lim  lim x[ ]1 x 1x2 x x x 1 1  1 【解2】 lim [ex 1x2 x]  lim x[ 1 e x] x x x2 1  1  lim x[( 1 1)(e x 1)] x x2 1 1  lim x[( )( )]1 x 2x2 x 1 1 【注】 lim [ex 1x2 x]  lim [ 1x2 x]  lim 0,是“经典的错误， x x x 1x2 x 标准的0分”. 2 3.【解1】 lim x2[3 x3 13 x3 1]  lim x23 x31[3 1 1] x x x31 1 2 2  lim x23 x31[ ] x 3 x31 3 1 1 【解2】 lim x2[3 x3 13 x3 1]  lim x3[3 1 3 1 ] x x x3 x3 11 1  lim x3[(3 1 1)(3 1 1)] x x3 x3 1 1 2  lim x3[( )( )] x 3x3 3x3 3 arcsin xsin x (arcsin xx)(sin xx) 4.【解】lim lim x0arctanxtanx x0 (arctanxx)(tanxx) x3 x3 ( )( ) 6 6 1 lim  x0 x3 x3 2 ( )( ) 3 3 (1x)(1 x)(1n x) (1x)(1 1(x1))(1n 1(x1)) 5.【解】lim lim x1 (1x)n x1 (1x)n 1x 1x (1x)( )( ) 2 n 1 lim  x1 (1x)n n!  1  1 1  6.【解】lim xx2ln(1 ) lim x2 ln(1 )     x x  x x x   1  1 lim x2    x 2x2 2 1  cos2x cos2x cos2x[1cos 2 2x] 7.【解】alim lim x0 xk x0 xk 1  (2x)2 4 lim x0 xk 则 k 2,a1. x[e(x1)lnx 1] (x1)ln x 8.【解1】 原式=lim lim x1 ln[1(x1)](x1) x1  1 (x1)2 2 (x1)ln[1(x1)] 2lim x1 (x1)2 (x1)2 2lim 2 x1(x1)2 2x[(1(x1)(x1) 1] 【解2】 原式=lim x1 ln[1(x1)](x1) (x1)2 lim 2 1 x1  (x1)2 2 1  xln 2cosx    9.【解1】原式lim e  3  1 x0 x3   2cosx xln   3  lim （等价无穷小代换） x0 x3  cosx1 ln1   3  lim x0 x2 cosx1 lim （等价无穷小代换） x0 3x2 1  x2 1 2 lim  x0 3x2 6 1   cosx1 x  【解2】原式lim 1  1 x0 x3   3   cosx1 x   3  lim （等价无穷小代换） x0 x3 cosx1 lim x0 3x2 1  x2 1 2 lim  x0 3x2 6 【注】当x0时，(1x)1~x.这个结论推广可得，若(x)0,(x)(x)0, 则 (1(x))(x) 1~(x)(x) x  cosx1 x(cosx1) 由此可得1  ~ .  3  3 (2sin2 x)x 2sinx (2sin2 x)x 2x 2x 2sinx 10.【解】lim lim lim x0 x3 x0 x3 x0 x3 3sin2 x 2x[(1 )x 1] 2ln2(xsin x) 2 lim lim x0 x3 x0 x3 sin2 x 1 x ln2( x3) 2 6 lim lim x0 x3 x0 x3 1 1   ln2 2 6 1 1 arcsin xx2  arcsin xxx2 11.【解】由于lim  lim1  x0 x  x0 x  1 x3 arcsinxx 6 1 lim lim  x0 x3 x0 x3 6 1 arcsin xx2 1 则 lim  e6 x0 x  1  1 x 1 ln(1x) (1 x)x  ex2 1 ln(1x) 1 12.【解】lim lim limex2 x x0  e  x0 1 x0   ex  1 1 1   lim ln(1x) lim ln(1x)x   x0x2 x x0 x2 1 1  1 lim x2    x0 x2  2  2 1  1 x (1x)x   1 lim e 2 x0  e    1  1 x 1 (1 x)x  ex 【注】lim lim 1是“经典的错误，标准的0分”. x0  e  x0  e     4