第3次课作业解答_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_04.寒假集训营_第一章求极限_课程作业+测试

第 3 次课作业解答  1 xcosxsinx 1.【解1】 原式lim   （有理化） x0 1xcosx  1sinx x3  1 xcosxsin x  lim （极限非零的因子极限先求出来） 2 x0 x3 1 cosxxsinxcosx  lim （洛必达法则） 2 x0 3x2 1  6 1 (xcosxsin x) 2  【解2】 原式lim (拉格朗日中值定理) x0 x3 1 xcosxsin x  lim （极限非零的因子极限先求出来） 2 x0 x3 1 xcosxx xsin x  [lim lim ] 2 x0 x3 x0 x3 1 1 1  [  ] 2 2 6 1  6 12sin x x1 12sin x x1 2.【解1】 lim lim （等价无穷小代换） x0 xln(1 x) x0 x2 cosx 1 12sin x lim （洛必达法则） x0 2x 1 cosx 12sin x lim x0 12sin x 2x cosx sin x 12sin x 1 lim  . x0 2 2 12sin x x1 12sin x x1 【解2】 lim lim （等价无穷小代换） x0 xln(1 x) x0 x2 1 12sin x(x1)2 lim  （分子有理化） x0 12sin x x1 x2 1 2(sin xx)x2 1  lim  . 2 x0 x2 2 13.【解1】由洛必达法则，得 1x 2 2 2arctanxln  1x 1x2 1x2 lim lim x0 xn x0 nxn1 4x2 4 lim lim c0 x0 nxn1(1x4) x0 nxn3 4 则 n3,c . 3 1 1 【解2】由xarctanx～ x3得，xarctanx  x3(x3) 3 3 1 arctanx  x x3(x3) 3 x2 x3 又 ln(1x) x  (x3) 2 3 x2 x3 ln(1x)x  (x3) 2 3 1x 4 2arctanxln  x3(x3) 1x 3 则 lim lim c0 x0 xn x0 xn 4 n3,c . 3  x (1t2)et2 dt ex2 x2ex2 4.【解】 lim 0  lim x xex2 xex2 2x2ex2 1 1 x2 1  lim  x 1 2 2 x2 x  f(t)dt(xa)f(a) 5.【解】 原式lim a x xa (xa)f(a) f(t)dt a x  f(t)dt(xa)f(a) x x lim a [ f(t)dt～ f(a)dt (xa)f(a)] xa (xa)2 f 2(a) a a f(x) f(a) lim (洛必达法则) xa 2(xa)f 2(a) f(a)  （导数定义） 2f 2(a) 2x x 1 6.【解】由于当x0时，arcsinx2 ~ x2,则 arcsint2dt ~  t2dt  x3. 0 0 3 cosx2 x x 又lim 1,则 cost2dt ~  1dt  x. x0 1 0 0 x2 (arctanx)2 (xarctanx)(xarctanx) lim lim x x 1 x0  arcsint2dt cost2dt x0 x3x 0 0 3 1 x3 xarctanx 3 x3 3[lim lim ] (xarctanx ~ ) x0 x x0 x3 3 1 3[2 ]2 3  x arctan 4 x1 7.【解1】原式 lim 1 x x 1 (x1)x   x (x1)2 1( )2 x1  lim （洛必达法则） 1 x  x2 x2 1  lim  x2x2 2x1 2  x   x  【解2】 lim x arctan   lim xarctan1arctan . x  4 x1 x  x1 x  x   lim 1  (拉格朗日中值定理) x12  x1 1 x 1  lim  2x1x 2 x  2  8.【解】考虑极限 lim  arctanx x  x x  2   2  lim  arctanx  lim 1[ arctanx1] x  x   2 arctanx1 2  lim [ arctanx1]x lim x  x 1 x 32 1 1x2 2  lim  x 1   x2  2  n  2 则 lim arctann e  n  3 9.【解】 lim x2( x1 x12 x） x 1 1  lim x2( 1  1 2） x x x 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1  lim x2[(1  2 2 （ )) (1  2 2 （ ))2] x 2x 2! x2 x2 2x 2! x2 x2 1 1 1 1  lim x2[( （ )]  x 4 x2 x2 4 f(x)2x f(x)2 10.【解1】 lim lim （洛必达法则） x0 x2 x0 2x 1 f(x) f(0)  lim 2 x0 x f(0)  （导数定义） 2 1  2 【解2】函数 f(x)带有佩亚诺余项的二阶麦克劳林公式为 f(0) f(x) f(0) f(0)x x2 (x2) 2! 1 即 f(x)2x x2 (x2) 2 1 x2 (x2) f(x)2x 1 2 则 lim lim  x0 x2 x0 x2 2 f(x)2x f(x)2 f(x) f(0) 1 【注】 经典错误： lim lim lim   . x0 x2 x0 2x x0 2 2 2 4