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2024-2025 学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学第一学期高一期中联
考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(0,1)，B={x|y=√x−1}，则A∪B=( )
A. ⌀ B. (−∞,1] C. {0}∪[1,+∞) D. (0,+∞)
2.下列函数在定义域上为减函数的是( )
1
A. f(x)= B. f(x)=|1−x|
x
C. D.
f(x)=1−2x f(x)=log (x−1)
2
1
3.“ >1”是“x<2”的( )
x−1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知幂函数 为偶函数，则 ( )
f(x)=(a2−a−1)xa a=
A. −1或2 B. 2 C. −1 D. 1
5.声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强 通常人耳能听到声音的最小声强为 瓦
. I =10−12 ( /
0
平方米).在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强I，用声强I与I 比值的常用对数来表示声强I的“声强
0
级数n”，即n=lgI−lgI ，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的( )
0
A. 20倍 B. lg200倍 C. 100倍 D. 1000倍
1
{ (x+1) 2+1,x⩽1,
6.已知函数 4 若当 时， ，则 的最大值是( )
f(x)= x∈[m,n] 1≤f(x)≤2 n−m
4
x+ −3,x>1.
x
A. 4 B. 3 C. 7 D. 5
7.已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，则 ( )
f(x) R y=f(x)+2ex y=f(x)−4ex f(1)=
3 3 3
A. e+ B. e− C. ex+ D. 0
e e ex
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1 18.已知函数 ，若函数 在区间 上的值域为 ，则实数 的取
f(x)=4x−4−x f(x) [m,n] [k(4m−1),k(4n−1)] k
值范围是( )
A. (0,+∞) B. (−∞,2)∪(2,+∞)
C. (1,2)∪(2,+∞) D. (1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 命题“∀x，y∈R，x2+2y≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+2y<0”
x2−4
B. f(x)=x−2与g(x)= 是同一个函数
x+2
C. 函数y=2x+√x−1的值域为[2,+∞)
D. 若函数f(x−1)的定义域为[2,5]，则函数f(x)的定义域为[1,4]
10.若a>0，b>0，且2a+b=1，下列结论正确的是( )
1 1
A. ab的最大值为 B. 4a2+b2的最小值为
8 2
1 a
C. a+b+ab的最大值为1 D. + 的最小值为3
a b+a
11.已知函数f(x)，g(x)的定义域都为R，f(x+3)+f(x)=1，且f(x+1)为偶函数，
，对于 都有 ，则( )
g(x+2)+g(−x)=4 ∀x∈[0,2] f(x)+g(x)=2x−x3
A. 函数g(x)的图象关于(−1,2)对称 B. f(−1)=f(3)
f(0) 7
C. f(x+6)=f(x) D. =−
g(0) 9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1
12.2log 2 3+( ) −2= ．
2
13.已知函数 2024x ，用 表示不超过 的最大整数，则函数 的值域为 ．
f(x)= [x] x y=[f(x)−1]
2024x+1
b
14.已知函数f(x)=(x+ +a)(ex−e)，当x>0时，f(x)≥0恒成立，则a的最小值为 ．
x
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
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2 1x
已知a∈R，A={x|(x−4)(x+a)<0}，B={x| ≥0}
x−3
(1)当a=−2时，求集合A;
(2)若A⊆B，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log x.
2
(1)求函数f(x)的解析式;
x
(2)若g(x)=f(x)⋅f( )，x∈[1,8]，求函数g(x)的值域．
4
17.(本小题15分)
经市场调查，某商品在过去30天的日销售量f(t)(件)与日销售价格g(t)(元/件)都是时间t(天)的函数，其
{
38−t,00,a>0且a≠1)为奇函数．
ax−1
(1)求实数b的值;
(2)当0g(2024x)．
19.(本小题17分)
ax
已知函数f(x)=2−|x−a|，g(x)= ，其中a∈R.
x2+4
(1)当a=1时，写出f(x)在(0,+∞)上的单调性以及最大值(不用证明);
若 ，函数 ， ，是否存在实数 ，使得 的最大值为 若存
(2) a=0 m(x)=f2 (x)+b⋅2x−1 x∈[−3,0] b m(x) 1?
在，求出b的值，若不存在，说明理由;
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3 1设 {g(x),x≥2,，若对 ， ，使得 成立，求实
(3) ℎ(x)= ∀x ∈[2,+∞) ∃x ∈(−∞,2) ℎ(x )= ℎ(x )
4f(x),x<2. 1 2 1 2
数a的取值范围．
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4 1参考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.D
6.C
7.A
8.C
9.ACD
10.AB
11.BCD
12.7
13.{−1}
14.−1
15.解：(1)当a=−2时解不等式(x−4)(x−2)<0，
所求的集合A=(2,4)；
(2)解得B=(−∞,0]∪(3，+∞)，
①当a=−4时，A=⌀，满足题意，所以a=−4；
②当a>−4时，A=(−a,4)要满足A⊆B，
只要−a≥3，解得−40时，f(x)=log x，所以当x<0时，−x>0，
2
f(x)=−f(−x)=−log (−x)，
2
{ log x,x>0
2
所以 f(x)= 0,x=0 ．
−log (−x),x<0
2
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5 1x
(2)g(x)=(log x)⋅(log )=(log x)⋅(log x−2)，
2 24 2 2
令log x=t∈[0,3]，问题等价于求y=t2−2t，t∈[0,3]的值域，
2
因为y=t2−2t在t∈[0,1]上单调递减，t∈(1,3]上单调递增，
所求值域为[−1,3]，所以函数g(x)的值域为[−1,3]．
{
(t+4)(38−t−10),00，故15≤t≤30时，W的最大值为315，
13 13
因为315>256，所以该店日销售利润W的最大值为315元．
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6 118.解：(1)由题意得x≠0，故f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
2 2
由f(x)+f(−x)= +2b+ +mx+(−mx)=0，
ax−1 a−x−1
化简得2(1−ax
) ，解得
+2b=0 b=1;
ax−1
(2)判断：f(x)在(0,+∞)上单调递增，证明如下，设00，0g(2024x)可得x>2024x，解得x<0，
当a>1时，同理可证g(x)在(0,+∞)的单调递减，且函数g(x)为奇函数，
所以g(x)在(−∞,0)的单调递减，
又因为x，2024x同号，所以
由g(x)>g(2024x)可得x<2024x，解得x>0，
综上，当01时，解集为(0,+∞).
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7 119.解： 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
(1) a=1 f(x)=2−|x−1| (0,1] (1,+∞)
当x=1时，f(x)有最大值为1;
当 时， ，
(2) x∈[−3,0] m(x)=22x+b⋅2x−1
1 b b2
令t=2x∈[ ,1]，则y=t2+bt−1=(t+ ) 2− −1，
8 2 4
b 9 9 1
当− ≤ 即b≥− 时，y=t2+bt−1在[ ,1]上有最大值m(1)=1，解得b=1符合；
2 16 8 8
b 9 9
当− > 即b<− 时，y=t2+bt−1<0，所以无解;
2 16 8
综上，b=1;
(3)若对∀x ∈[2,+∞)，∃x ∈(−∞,2)，使得ℎ(x )= ℎ(x )成立，
1 2 1 2
ax
即 {ℎ(x )| ℎ(x )= 1 }⊆{ℎ(x )| ℎ(x )=4·2−|x−a| } ，
1 1 x 2+4 2 2
1
①当a<0时，g(x)在[2,+∞)上符号是负，
而f(x)在(−∞,2)上符号是正的，所以不满足题目的条件;
②当a=0时，当x≥2时，g(x)=0，而f(x)在(−∞,2)上符号为正，所以也不符合条件;
a
③当0g(x) = ，满足题意，所以0 ，即4⋅22−a− >0，即4⋅22−a− 为减函数，
4 4 4
a a
又因为a=4时4⋅22−a− =0，所以22−a− >0的解为2≤a<4，
4 4
综上，实数a的取值范围为0
