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第七章 随机变量及其分布（A卷基础卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2020春•郑州期末）随机变量X的分布列如下：
X ﹣1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵随机变量X的分布列如下：
X ﹣1 0 1
P a b c
∴a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．①
∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a+c，②
联立①②，得b ，a+c ，
∴P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）＝a+c ．
故选：D．
2．（2019春•来宾期末）随机变量X～B（100，p），且EX＝20，则D（2X﹣1）＝（ ）
A．64 B．128 C．256 D．32
【解答】解：由于X～B（100，p），且EX＝20，
则100p＝20，得p＝0.2，
D（X）＝100p（1﹣p）＝20×（1﹣0.2）＝16，
D（2X﹣1）＝22D（X）＝64．
故选：A．
3．（2020•柳州模拟）袋中装有形状和大小完全相同的 4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取
两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（ ）A． B． C． D．
【解答】解：在这两次摸球过程中，设A＝“第一次摸到黑球”，B＝“第二次摸到白球”．
则n（A） ， ，
所以P（B|A） ．
故选：C．
4．（2020•江西模拟）新冠肺炎病毒可以通过飞沫传染，佩戴口罩可以预防新冠肺炎病毒传染，已知 A，
B，C三人与新冠肺炎病人甲近距离接触，由于A，B，C三人都佩戴了某种类型的口罩，若佩戴了该种
类型的口罩，近距离接触病人被感染的概率为 ，记A，B，C三人中被感染的人数为X，则X的数学期
望EX＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意A，B，C三人与新冠肺炎病人甲近距离接触，由于A，B，C三人都佩戴了某种类
型的口罩，若佩戴了该种类型的口罩，近距离接触病人被感染的概率为 ，
所以，A，B，C三人中被感染的人数为X，满足 ，
所以 ，
故选：B．
5．（2020•长春四模）田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试
跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比
赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为 0.8（每次试跳之间互不影
响），则本次比赛他获得冠军的概率是（ ）A．0.832 B．0.920 C．0.960 D．0.992
【解答】解：每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8，
则本次比赛他获得冠军的概率P＝0.8+0.2×0.8+0.22×0.8＝0.8+0.16+0.032＝0.992
故选：D．
6．（2020•安阳二模）2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府
部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标ξ～N（15，0.0025），单位为
g，该厂每天生产的质量在（14.9g，15.05g）的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量
在15.15g以上的口罩数量为（ ）
参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ
﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9973．
A．158 700 B．22 750 C．2 700 D．1 350
【解答】解：由题意知，ξ～N（15，0.0025），即μ＝15，σ2＝0.0025，即σ＝0.05；
所以P（14.9＜ξ＜15.05）＝P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+σ） 0.8186，
所以该厂每天生产的口罩总量为818600÷0.8186＝1000000（件），
又P（ξ＞15.15）＝P（ξ＞μ+3σ） ，
所以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为1000000 1350（件）．
故选：D．
7．（2020•温州模拟）已知随机变量ξ的分布列如表：
ξ x x x
1 2 3
P P P P
1 2 3
其中x ﹣x ＝x ﹣x ＞0．若E（ξ）＞x ，则（ ）
2 1 3 2 2
A．P ＞P B．P ＜P C．P ＞P D．P ＜P
1 2 2 3 2 3 1 3
【解答】解：不妨设x ＝1，x ＝2，x ＝3，则E（ξ）＝P +2P +3P ＞2，
1 2 3 1 2 3
∵P +P +P ＝1，∴P ＝1﹣P ﹣P ，
1 2 3 3 1 2
∴P +2P +3（1﹣P ﹣P ）＞2，∴2P +P ＜1，
1 2 1 2 1 2
∴P ＜1﹣P ﹣P ，即P ＜P ．
1 1 2 1 3故选：D．
8．（2020•葫芦岛一模）从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在
第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：依次抽出2张（取后不放回），第一次抽到卡片是偶数的取法数： 8；
第一次是偶数，第二次是奇数的取法数： ．
故所求的概率为P ．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
9．（2020春•亭湖区校级期中）若随机变量X服从两点分布，其中 ，E（X）、D（X）分别
为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4
C．D（3X+2）＝4 D．
【解答】解：随机变量X服从两点分布，其中 ，
∴P（X＝1） ，
E（X） ，
D（X）＝（0 ）2 （1 ）2 ，
在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正确；在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝3 4，故B正确；
在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝9 2，故C错误；
在D中，D（X） ，故D错误．
故选：AB．
10．（2020春•皇姑区校级期中）如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣分别为A，B，C，D，E．箱中
所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（ ）
A．AB所在线路畅通的概率为
B．ABC所在线路畅通的概率为
C．DE所在线路畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为
【解答】解：由题意知， ， ， ， ， ，
所以A，B两个盒子畅通的概率为 ，因此A错误；D，E两个盒子并联后畅通的概率为 ，因此C错误；
A，B，C三个盘子混联后畅通的概率为 ，B正确；
根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为 ，D正确．
故选：BD．
11．（2019秋•崂山区校级月考）已知随机变量X服从正态分布N（100，102），则下列选项正确的是（
）
（参考数值：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826），P（μ﹣2σ＜ξ
＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974）
A．E（X）＝100 B．D（X）＝100
C．P（X≥90）＝0.8413 D．P（X≤120）＝0.9987
【解答】解：∵随机变量X服从正太分布N（100，102），
∴曲线关于x＝100对称，
根据题意可得，P（90＜x＜110）＝0.6826，P（80＜x＜120）＝0.9544，
∴P（x≥90）＝0.5 0.8413，故C正确；
P（x≤120）＝0.5 ．，故D错误．
而A，B都正确．
故选：ABC．
12．（2020•山东模拟）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为 和 ，甲、乙两人各射击一次，下
列说法正确的是（ ）
A．目标恰好被命中一次的概率为B．目标恰好被命中两次的概率为
C．目标被命中的概率为
D．目标被命中的概率为1
【解答】解：甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为 和 ，甲、乙两人各射击一次，
在A中，目标恰好被命中一次的概率为P ，故A错误；
在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：
目标恰好被命中两次的概率为 ，故B正确；
在C中，目标被命中的概率为P＝1﹣（1 ）（1 ），故C错误；
在D中，目标被命中的概率为P＝1﹣（1 ）（1 ），故D正确．
故选：BD．
三．填空题（共4小题）
13．（2020•全国三模）随着国内疫情形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈
西某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满1000元的顾客，可参加抽奖，规则如下：盒中有大小质地
均相同5个球，其中2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，若在第一次和第二次均摸到红球
则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率是 ．
【解答】解：设2个红球分别为A，B，3个白球分别为a，b，c，不放回地依次摸出2个球，
基本事件总数有10个，分别为：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，
c），（b，c），
第一次和第二次均摸到红球包含的基本事件只有（A，B），
则顾客获得特等奖的概率是P ．
故答案为： ．
14．（2020•厦门模拟）排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M国女排相遇，统计以
往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为 ，M国女排获胜的概率为 ，则中国女排在先输一局的
情况下最终获胜的概率为 ．
【解答】解：排球比赛实行“五局三胜制”，
某次比赛中，中国女排和M国女排相遇，统计以往数据可知，
每局比赛中国女排获胜的概率为 ，M国女排获胜的概率为 ，
中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种结果：
①中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局连胜三局；
②中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局两胜一负，第五局中国女排胜，
则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为：
P＝（ ）3 ．
故答案为： ．
15．（2020春•桃城区校级月考）世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续
人传人”．通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”．那么A、B、C就
会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名
第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其
中一个接触，感染的概率有多大 0.91 5 ．
【解答】解：设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，
则由已知得：p（A）＝0.5，p（B）＝0.3，p（C）＝0.2，p（D|A）＝0.95，p（D|B）＝0.90，p（D|C）
＝0.85，
则p（D）＝p（D|A）p（A）+p（D|B）p（B）+p（D|C）p（C）＝0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2＝0.915，
故答案为：0.915
16．（2020•吉林模拟）在人类与大自然的较量中，经常面对影响人类生存、反复无常的天气变化．人类对
天气变化经历了漫长的认识过程，积累了丰富的气象经验，三国时期，孙刘联军运用气象观测经验，预
报出会有一场大雾出现，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹．小明计划
8月份去上海游览，受台风“利马奇”的影响，上海市8月份一天中发生雷雨天气的概率上升为0.8，那
么小明在上海游览的3天中，只有1天不发生雷雨天气的概率约为 0.38 4
【解答】解：小明计划8月份去上海游览，受台风“利马奇”的影响，
上海市8月份一天中发生雷雨天气的概率上升为0.8，
则小明在上海游览的3天中，只有1天不发生雷雨天气的概率约为：
P 0.384．
故答案为：0.384．
四．解答题（共5小题）
17．（2020春•南阳期中）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演
活动．
（1）求男生甲被选中的概率；
（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
【解答】解：（1）从6名成员中挑选2名成员，共有15种情况，记“男生甲被选中”为事件A，事件
A所包含的基本事件数为5种，故 ．（2）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则 ，由（1）知 ，
故 ．
（3）记“挑选的2人一男一女”为事件C，则 ，“女生乙被选中”为事件B，
，故 ．
18．（2019春•抚顺期末）唐代饼茶的制作一直延续至今，它的制作由“炙”、“碾”、“罗”三道工序
组成：根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是 0.5，0.6，0.5；能通过“碾”这
道工序的概率分别是0.8，0.5，0.4；由于他们平时学习刻苦，都能通过“罗”这道工序；若这三道工序
之间通过与否没有影响，
（Ⅰ）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率；
（Ⅱ）设只要通过三道工序就可以制成饼茶，求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X的分布列．
【解答】解：（I）设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过“炙”这道工序”，
则所求概率 0.5×（1﹣0.6）×（1﹣0.5）+（1﹣0.5）×0.6×（1﹣
0.5）+（1﹣0.5）×（1﹣0.6）×0.5＝0.35
（Ⅱ）甲制成饼茶的概率为P ＝0.5×0.8＝0.4，同理P ＝0.6×0.5＝0.3，P ＝0.5×0.4＝0.2．
甲 乙 丙
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝（1﹣0.4）×（1﹣0.3）×（1﹣0.2）＝0.336，
P（X＝1）＝0.4×（1﹣0.3）×（1﹣0.2）+（1﹣0.4）×（1﹣0.3）×0.2+（1﹣0.4）×0.3×（1﹣0.2）＝
0.452，
P（X＝2）＝0.4×0.3×（1﹣0.2）+0.4×（1﹣0.3）×0.2+（1﹣0.4）×0.3×0.2＝0.188，
P（X＝3）＝0.4×0.3×0.2＝0.024．
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.336 0.452 0.188 0.024
19．（2019秋•密云区期末）甲、乙两位运动员一起参加赛前培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：86 85 79 86 84 84 85 91
（Ⅰ）请你运用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）若用甲8次成绩中高于85分的频率估计概率，对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3
次成绩中高于85分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；
（Ⅲ）现要从中选派一人参加正式比赛，依据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位选手参加较为合
适？并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）画出的茎叶图如下所示，
（Ⅱ）甲8次成绩中高于85分的有3次，用频率估计概率，
∴甲的成绩高于85分的概率为 ，
ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3， ），
P （ ξ ＝ 0 ） ， P （ ξ ＝ 1 ） ， P （ ξ ＝ 2 ）
，P（ξ＝3） ．
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
数学期望E（ξ） ．（Ⅲ）甲的成绩的平均数为 ，
乙的成绩的平均数为 ，
∴两位选手的成绩的平均数相等，
但从茎叶图可知，乙的方差比甲的方差小，即乙选手的成绩更稳定，
故选派乙选手参加较为合适．
20．（2018秋•黔西县期末）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现
安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（I）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润
100万元，该企业可获利润有哪几种可能，其利润及概率各为多少？
【解答】解：（I）设事件A表示“甲组研发新产品A研发成功”，设事件B表示“乙组研发新新产品
B研发成功”，
则P（A） ，P（B） ，
∴至少有一种新产品研发成功的概率：
P＝1﹣P（ ）P（ ）＝1 ．
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元，若新产品B研发成功，预计企业可获利润
100万元，
该企业可获利润X的可能取值为0，100，120，220，
P（X＝0）＝P（ ） ，
P（X＝100）＝P（ ） ，P（X＝120）＝P（A ） ，
P（X＝220）＝P（AB） ．
21．（2020•香坊区校级二模）新型冠状病毒最近在全国蔓延，具有很强的人与人之间的传染性，该病毒在
进入人体后一般有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间．假
设每位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密切接触者，接触病毒携带者后被感染的概率为p，每位密切
接触者不用再接触其他病毒携带者．
（1）求一位病毒携带者一天内感染的人数X的均值；
（2）若n＝3， 时，从被感染的第一天算起，试计算某一位病毒携带者在 14天潜伏期内，被他平
均累计感染的人数（用数字作答）；
（3）3月16日20时18分，由我国军事科学院军事科学研究院陈薇院士领衔的科学团队，研制重组新
型冠状病毒疫苗获批进入临床状态，新疫苗的使用，可以极大减少感染新型冠状病毒的人数，为保证安
全性和有效性，某科研团队抽取500支新冠疫苗，观测其中某项质量指标值，得到如图频率分布直方图：
①求这500支该项质量指标值得样本平均值 （同一组的数据用该组区代表间的中点值）；
②由直方图可以认为，新冠疫苗的该项质量指标值 Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平
均数 ，σ2近似为样本方差s2，经计算可得这500支新冠疫苗该项指标值的样本方差s2＝150．现有5名
志愿者参与临床试验，观测得出该项指标值分别为：206，178，195，160，229试问新冠疫苗的该项指
标值是否正常，为什么？
参考数据： ，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9973．
【解答】解：（1）依题意可知X～B（n，p），则E（X）＝np，
故一天内被感染人数X的均值为np；
（2）不妨记前m天平均累计感染的人数为a ，
m
则a ＝1，a ＝1+np， ，…， ．
1 2
当n＝3， 时，一位病毒携带者在14天潜伏期内，被他平均累计感染的人数为：
a ；
14
（ 3 ） ① 由 频 率 分 布 直 方 图 得 ， 这 500 支 该 项 指 标 值 的 样 本 平 均 值 为 ：
；
②新冠肺炎该项指标值不正常，理由如下：
由题意知Z～N（200，150），P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝P（163.4＜Z＜236.6）＝0.9973，
即该项指标落在（163.4，236.6）之外的概率为0.0027，是小概率事件．
而160 （163.4，236.6），根据3σ原则，新冠肺炎的该项指标值不正常．
∉
