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专题 35 最值模型之费马点模型
费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考
试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位
不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之
外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三
个顶点距离之和最小的点。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.费马点模型...........................................................................................................................................1
模型2.加权费马点模型.................................................................................................................................12
..................................................................................................................................................20
模型1.费马点模型
结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，
MA+MB+MC的值最小。
图1 图2 图3
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就
是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°）
证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
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∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵ ，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，
设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在 中， ，点 为
内部一点，则点 到 三个顶点之和的最小值是 ．
【答案】
【分析】将 绕着点A顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，过点C作 ，交 的
延长线于N，由旋转的性质可得 ， ， ， ， ，易
得 是等边三角形，可得 ，进而得到 ，当点H、E、P、C
共线时， 有最小值 ，再求出 和 的长度，由勾股定理可求解．
【详解】解：将 绕着点A顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，过点C作 ，交
的延长线于N，
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∴ ， ， ， ， ，
∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，∴当点H、E、P、C共线时， 有最小值 ．
∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．
在 中， ，即点P到 三个顶点之和的最小值是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角
形的性质，构造旋转图形是本题的关键．
例2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在矩形 中， 是 的中点， 是 边上
一动点，将 沿着 翻折，使得点 落在点 处，矩形内有一动点 连接 则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】将 绕点D逆时针旋转 得到 ，连接 ，从而将 转化到
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，当点E、 、P、 、 在同一条直线上时， = 取得最小
值．
【详解】
如图，将 绕点D逆时针旋转 得到 ，连接 ，则有：
、 是等边三角形， =
由折叠的性质可知， 的运动轨迹是以E为圆心，EB长为半径的圆（如图所示），故当E、 、P、
、 在同一直线上时取最小值；
是 的中点， 、 是等边三角形，
DC=4， ，
，
的最小值为： = = ；
故答案为 ．
【点睛】本题考查了图形中求最短距离的问题，解题的关键是把所求线段转化到同一直线中求解．
例3．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知 所在平面内求一点P，使它到三
角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在
1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图
2，把 绕A点逆时针旋转 得到 （点P，C的对应点分别为点 ， ），连接 ，则
， ．
∵______，∴ 为等边三角形，∴ ，∴ ，
∴当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，即点P是 的“费马点”．
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任 务 ： （ 1 ） 横 线 处 填 写 的 条 件 是 ______ ； （ 2 ） 当 点 P 是 的 “ 费 马 点 ” 时 ，
______；
（3）如图 3，△ABC 中， ， ，E，F 为 BC 上的点，且 ，判断
之间的数量关系并说明理由；
【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口， ， ，
AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则 的
最小值是______．
【答案】问题背景：（1）见解析；（2） ；（3） ，理由见解析；实际应用；
【分析】问题背景：（1）先证明 为等边三角形，得到 ，则 ，
由此可得当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，即点P是 的“费马点”．
（2）由旋转的性质可得 ， ，进而利用三角形内角和定理得到
，再由等边三角形的性质得到 ，则 ， ，即可
利用周角的定义得到 ；
（3）将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，利用旋转的性质和等边对等角，得到
， 为直角三角形，进而得到 ，证明 ，得到 ，即
可得出结论；
实际应用：如图所示，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，由问题背景（1）可得当
B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，最小值为 ，过点 作 交
延长线于D，证明 是等腰直角三角形，得到 ，则
，利用勾股定理得到 ，则 得最小值为
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．
【详解】解：问题背景：（1）如图2，把 绕A点逆时针旋转 得到 （点P，C的对应点分
别为点 ， ），连接 ，则 ， ．
∵ ，∴ 为等边三角形，∴ ，∴ ，
∴当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，即点P是 的“费马点”．
（2）如图 2 所示，设 交于 O，由（1）可得当 B，P， ， 四点在同一直线上时，
的值最小，由旋转的性质可得 ， ，又∵ ，∴
∵ 为等边三角形，∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，故答案为： ；
（3） ，理由如下：∵ ， ，∴ ，
如图所示，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，
则： ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ；
实际应用：如图所示，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，
由问题背景（1）可得当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，最小值为 ，
过点 作 交 延长线于D，由旋转的性质可得 ， ，
∵ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 得最小值为 ，故答案为： ．
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【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，
等腰直角三角形的性质与判定等等，通过旋转构造全等三角形是解题的关键．
例4．（2023春·重庆·九年级专题练习）背景资料：在已知 所在平面上求一点P，使它到三角形的三
个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求
的点被人们称为“费马点”．如图1，当 三个内角均小于120°时，费马点P在 内部，当
时，则 取得最小值．
(1)如图2，等边 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 的度数，为
了解决本题，我们可以将 绕顶点A旋转到 处，此时 这样就可以利用旋转变换，
将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 _______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三
角形并连接等边三角形的顶点与 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下
问题．(2)如图3， 三个内角均小于120°，在 外侧作等边三角形 ，连接 ，求证：
过 的费马点．(3)如图4，在 中， ， ， ，点P为 的费马
点，连接 、 、 ，求 的值．(4)如图5，在正方形 中，点E为内部任意一点，
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连接 、 、 ，且边长 ；求 的最小值．
【答案】(1)150°；(2)见详解；(3) ；(4) ．
【分析】（1）根据旋转性质得出 ≌ ，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，
BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，
∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理 ，得出 PP′C是直角三角形，
△
∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；
（2）将 APB逆时针旋转60°，得到 AB′P′，连结PP′，根据 APB≌ AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，
AB=AB′，△根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和 ABB′均为等边三△角形，△得出PP′=AP，根据
，根据△两点之间△线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，
=CB′，点P在CB′上即可；
最小
（3）将 APB逆时针旋转60°，得到 AP′B′，连结BB′，PP′，得出 APB≌△AP′B′，可证 APP′和 ABB′
均为等边△三角形，得出PP′=AP，BB′=△AB，∠ABB′=60°，根据 △ △，可得△点C，
点P，点P′，点B′四点共线时， =CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾
最小
股定理BC= ，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在
Rt CBB′中，B′C= 即可；
△
（4）将 BCE逆时针旋转60°得到 CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出
BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE△′，CB=CB′，可证 ECE′与 BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，
△BB′=BC，△∠B′BC=60°， △，得出△点C，点E，点E′，点B′四点共线时，
=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求
最小
∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF= ，勾股
定理BF= ，可求AF=AB+BF=2+ ，再根据勾股定理AB′=
即可．
【详解】（1）解：连结PP′，∵ ≌ ，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，
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BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在 P′PC中，PC=5，
， △
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案为150°；
（2）证明：将 APB逆时针旋转60°，得到 AB′P′，连结PP′，∵△APB≌ AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，
AB=AB′， △ △ △
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和 ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，
∵ ，∴△点C，点P，点P′，点B′四点共线时， =CB′，
最小
∴点P在CB′上，∴ 过 的费马点．
（3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵ ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时， =CB′，
最小
∵ ， ， ，∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt CBB′中，B′C=
△
∴ =CB′= ；
最小
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（4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵ ，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时， =AB′，
最小
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，∴BF= ，BF= ，
∴AF=AB+BF=2+ ，∴AB′= ，∴ =AB′=
最小
．
【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间
线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾
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股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题
关键．
例5．（2024·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上， 公里，
公里，现在要设立两个车站E，F，则 的最小值为______公里．
【答案】15+10
【分析】将 AEB绕A顺时针旋转60°得 AGH，连接BH、EG，将 DFC绕点D逆时针旋转60°得到
DF'M，连△接CM、FM、FF'，如图2，此△时EH、EF、FM共线，E△A+EB+EF+FC+FD是最小值，利用旋
△转的性质和等边三角形的性质，相加即可得出结论．
【详解】解：如图1，将 AEB绕A顺时针旋转60°得 AGH，连接BH、EG，将 DFC绕点D逆时针旋转
60°得到 DF'M，连接CM△、FF'， △ △
△
由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，
∴△AEG和 ABH是等边三角形，∴AE=EG，
同理得： D△FF'和 DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M，
∴当H、G△、E、F、△F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2，
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∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD，
∵AB=10，∴△ABH的高为5 ，
∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5 +5 =15+10 ，
则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10 ）公里．故答案为：（15+10 ）．
【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E和
F的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论．
模型2.加权费马点模型
结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点）
证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。
x z
y( AP+BP+ CP)
y y
如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP= ，如图，B、P、P、A 四点共线时，取得最小值。
2 2
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例1．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形 和矩形 中， ， ， ,
．矩形 绕着点A旋转，连接 ， ， ， ．
(1)求证： ；(2)当 的长度最大时，①求 的长度；②在 内是否存在一点P，使得
的值最小?若存在，求 的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)① ；②存在，最小值是
【分析】（1）根据矩形的性质，先证 ，利用相似三角形的性质准备条件，再证
即可；（2）①先确定当 在矩形 外，且 三点共线时， 的长度最大，并画
出图形，在 中求出 的长，最利用 的性质求解即可；②将 绕着点A顺时针旋
转 ,且使 ，连接 ，同理将 绕着点A顺时针旋转 ,得到 , 且使 ，连接
，过P作 于S，过点L作 垂直 的延长线于点Q，确定 ，当C、
P、K、L四点共线时， 的长最小，再根据 直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，∴ ，
∵矩形 和矩形 ，∴ ， ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
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即 ， ，∴
（2）∵ ，∴当 在矩形 外，且 三点共线时， 的长度最大，如图所示：
此时 ， ，
①∵ ， ，∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，由（1）得： ，
∴ ， 即 ，∴ ；
②如图，将 绕着点A顺时针旋转 ,且使 ，连接 ，同理将 绕着点A顺时针旋转 ,
得到 , 且使 ，连接 ，
由旋转可得： ，∴ ，∴ ，∴ ,
过P作 于S，则 ， ，
∴ ，则 ， ∴ ，∴ ，
∵ ，即 ，当C、P、K、L四点共线时， 的长最小，
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由题意， ， ， ， ，
过点L作 垂直 的延长线于点Q， ，
∴ ， ，则 ，
在 中，根据勾股定理得 ，∴ 的最小值为 .
【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解
直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与
联系，适当添加辅助线是解答的关键.
例2．（2024·重庆·二模）已知 中 ，点 和点 是平面内两点，连接 ， 和 ，
．
(1)如图1，若 ， ， ，求 的长度；(2)如图2，连接 和 ，点 为
中点，点 为 中点，连接 和 ，若 ，求证： ；(3)若 ，
，当 取得最小值，且 取得最大值时，直接写出 的面积．
【答案】(1) (2)见解析(3)
【分析】（1）过点 作 交 于点 ，证明 即可求解；
（2）取 的中点 ，连接 ，根据中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，
得出 ，再证明 ，得出 ，进而即可得证；
（3）将 绕点 顺时针转 得到 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，
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根据 ，当 四点共线时， 最小，进而确定 的位置，
根据点 在 为圆心， 为半径的圆上运动，由点到圆上的距离关系，得出当 取得最大值时， 在
的延长线上，连接 ，过点 作 于点 ，进而解直角三角形，求得 的长，根据三角形面
积公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点 作 交 于点 ，
∵ 中 ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ， ．
又∵ ，∴ ∴ ∴ ；
（2）解：如图所示，取 的中点 ，连接 ，
又∵ 是 ， ，∴ ，
∵ ∴ ，∵ ， 为 的中点，∴ ，
在 中， ∴ ∴
∴ 即
又∵ 即 ，∴ ∴
∵ ∴ ∴
（3）解：∵ 中 ， ，∴ 是等边三角形，
如图所示，将 绕点 顺时针转 得到 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接
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，
∴ ， ， ， 则 是等边三角形， 是等边三角形，
∵ 取 的中点 ，则 ，
∵ 是 的中点， ， ，∴
∴当 四点共线时， 最小 此时如图所示，∴
∵ ，∴ ，∴ 是直角三角形，∴ 是直角三角形，∴
∵ ∴ ∴ 设 ，则 ， ，
在 中， ∵ 是等边三角形，∴ ，
在 中， ∴ ∴ 解得：
∴ ， 取 的中点 ，连接 ，
∵ ∴点 在 为圆心， 为半径的圆上运动，
∴ ，∴当 取得最大值时， 在 的延长线上，连接 ，过点 作 于点 ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的面积为 ．
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【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三
角形中位线的性质，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，
加权费马点问题，点与圆的位置关系，直径所对的圆周角是直角；熟练掌握以上知识是解题的关键．
例3．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）在等边 中，点D是边 上一点，连接 ，将线段 绕
点A顺时针旋转 得到线段 ，则 ， ，连接 交 于点F，交 于点H．
(1)如图1，当点D为 中点时，且 ，求 的面积；(2)如图2，猜想线段 、 、 之间
的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若 ，在 内部有一个动点P，连接 、 、 ，
直接写出 的最小值．
【答案】(1) (2) ，见解析(3)
【分析】（1）过点E作 ，交 的延长线于点M，求得 ， ，
，利用 计算即可．（2）在 上取点M使 ，
连接 ．则由 可证明 ，从而有 ， ；再由 证明
，得 ，则由线段的和差关系可得结论；（3）过点C作 于点C，使得
，过点C作 于点C，使得 ，证明 ，得到 ，根据勾股定
理，得 ，从而得到 ，根据两点之间线段
最短，得到 ，得到当 共线时， 取得最小值，过点A作
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，交 的延长线于点Q，过点A作 于点R，则四边形 是矩形，利用等边三角形
的性质，勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：过点E作 ，交 的延长线于点M，
∵等边 ，∴ ， ，
∵点D为 中点, ∴ ， ，
∵ ， ， ，∴ ，由勾股定理得 ，解得 ；
∵ ， ，∴ ，∴ ．
（2）解： ．理由如下：在 上取点M使 ，连接 ．
∵ 是等边三角形，∴ ， ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，在 和 中， ，∴ ，
∴ ，即 ，∵ ，∴ ．
（3）解：过点C作 于点C，使得 ，过点C作 于点C，使得 ，根据题意，
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得 ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，根据勾股定理，得 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴当 共线时， 取得最小值，
∵ ，∴ ，∴ ，
过点A作 ，交 的延长线于点Q，过点A作 于点R，则四边形 是矩形，
∴ ，∵等边 ，∴ ， ，
∴
，∴ ，
故 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，
含30度直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相应的知识是解题的关键．本题有一定的
难度，添加适当的辅助线是解题的关键．
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1．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形 内一点，且 ， ，N为
边 上一点，连接 、 、 ，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 、 ，然后即可得 为等边三
角形，同理 为等边三角形，接着证明当 、 、 三条线段在同一直线上，
的值最小，即 的值最小，过点 作 于点E，即
最小值为： ，问题随之得解．
【详解】如图所示，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 、 ，
根据旋转的性质有： ， ， ，
为等边三角形，同理 为等边三角形，
， ， ，
当线段 、 、 三条线段在同一直线上，且该直线与 垂直时， 的值最小，
即 的值最小，如下图，过点 作 于点E，交 于点F，
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最小值为： ，在矩形 中， 于点E，
即可知四边形 是矩形， ，即 ，
为等边三角形， ， ，
， ，
的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定定理与性质，勾股定理，垂线段最
短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键．
2．（2023·广东深圳·二模）如图， 是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任
意一点， ， （点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为 时，正方形的边
长为______．
【答案】
【分析】首先通过SAS判定 ，得出 ，因为 , ,得出
是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且为最小值，我们可以得出EC= ，作辅助线，
过点E作 交CB的延长线于F，由题意求出 ，设正方形的边长为x，在 中，
根据勾股定理求得正方形的边长为 ．
【详解】∵ 为正三角形，∴ ， ∴
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∵BD是正方形ABCD的对角线，∴ ∴ ．
在 和 中 ，∴ （SAS）∴
在 中， 又∵ ，∴ 为等边三角形，∴ ．
∵AM+BM+CM最小值为 ．∴EN+MN+CM的最小值为 即CE= ．
过点E作 交CB的延长线于F，可得 ．
设正方形的边长为x，则BF= ， ．
在 ，∵ ，∴
解得 （负值舍去）．∴正方形的边长为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角
三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键．
3.（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）法国数学家费马提出：在 ABC内存在一点P，使它到三角形顶
点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值△为费马距离．经研究发现：在锐角
ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角 ABC的费马点，且PA＝3，
△PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为 ． △
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【答案】7+2
【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解．
【详解】解：如图：∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，
∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB
∴ 即PB2＝12∴ ∴ 故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质．
4．（2023·四川成都·二模）如图，矩形 中， ，点E是 的中点，点F是 边上一
动点．将 沿着 翻折，使得点B落在点 处，若点P是矩形内一动点，连接 ，则
的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了图形的折叠与旋转，两点之间线段最短的应用，勾股定理等知识点，将 绕点C
顺时针旋转 得到 ，连接 ，连接 ，由等腰三角形 得出 ，再由折叠得出
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点 的轨迹在以点E为圆心， 为半径的圆周上，所以 的最小值为 ，即
的最小值为 ，经计算得出答案即可，熟练掌握图形的旋转及图形的折叠对称的
性质是解决此题的关键．
【详解】将 绕点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，连接 ，
则 三点共线， ，∴ ，∴ ，
∵点E是 的中点，∴ ，∵ ，
∴ ，由 折叠成 ，∴ ，
∴点 在以点E为圆心， 为半径的圆上，∴ ，
∵两点间线段最短，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
则 的最小值为 ，故答案为： ．
5．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在 中，P为平面内的一点，连接 ，若
，则 的最小值是（ ）
A． B．36 C． D．
【答案】A
【分析】分别以 、 为边在下方构造等边三角形 、 ，分别取 、 中点 ，连
接 ，先证得 ，可得 ，由中位线可得 ，由等边三角
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形性质可得 ，当 三点共线时即可求得 的最小
值，最终求出 的最小值．
【详解】分别以 、 为边在下方构造等边三角形 、 ，分别取 、 中点 ，连
接 ，如图所示，
∵取 、 中点 ，∴ ，∵等边三角形 ，∴ ，
∵等边三角形 ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴当 三点共线时 最小，
∵ ∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ，故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、中位线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是利用手拉手模型
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构造辅助线．
6．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E是边长为8的正方形 的边 上的动点，
于点F，G在 上，且 ，P是平面内一动点，H是 上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接 ，以 为斜边构造等腰直角三角形 ，则以O为圆心，以 为半径的圆中的一个
锐角圆周角为 ，过点O作 于点Q，过点O作 交 的延长线于点P，
，利用旋转解答即可．
【详解】解：连接 ，根据题意，得
，
∵ ， ，∴ ∴ ，
以 为斜边构造等腰直角三角形 ，则以O为圆心，以 为半径的圆中的一个锐角圆周角为 ，
根据 ，得对角互补，∴G的运动轨迹为以O为圆心，以 为半径的圆的红色圆弧，
过点O作 于点Q，过点O作 交 的延长线于点P，
则四边形 是正方形，且 ，
∴ ， ，取 ，连接 ，
∵ ， ，∴ ，且 ，∴ ，
∴ ，∴ ，将四边形 绕点A顺时针旋转 ，
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则 ，如图作 ，∴ ，∴ ，
∴
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形不等式的应用，
熟练掌握旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形不等式的应用是解题的关键．
7．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题
材料一：数形结合是一种重要的数学思想如 可看做是图一中 的长， 可看做是
的长．
材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在 中有一点 使得 的值最小．
著名法学家费马给出的证明方法如下：
将 绕 点向外旋转 得到 ，并连接 易得 是等边三角形、 ，则 ，
则 ，所以 的值最小为 ．
请结合以上两材料求出 的最小值
【答案】
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【分析】本题考查坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，将原式转
化为 ，构造直角三角形 ， ， ，
以 为坐标原点构造直角坐标系，设 为 ，进而得到 ， ，
，将 绕点 点逆时针旋转 得到 ，并做 ，根据旋转的性质，
含30度角的性质，求出 的长，根据 ，进行求解即可．
【详解】解：原式
可看做下图中的 ，其中 为 ，
则 ， ，
将 绕点 点逆时针旋转 得到 ，并做
， ， ， ， ，
， 为等边三角形， ， ， ，
又 ，
∵ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ； 的最小值为 ．
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8．（2023上·广东珠海·八年级校考期中）综合与实践：
【问题情境】学完等边三角形后，老师在课堂上提出了一个问题并证明了：如图1，等边 与等边
共一个顶点时，无论怎么摆放可通过 恒有 ．于是提出了如下问题．
【问题证明】（1）如图2，M是等腰 内一点，N是等边 内一点，且满足 ．
求证： 是等边三角形．
【迁移应用】（2）在（1）的基础上，知点M是等腰 内一点，当点M到三角形3个顶点的距离
之和，即 最小时，我们把M点称为等腰 的“紫荆点”．若M是等腰 的紫
荆点，求 ．
完成以下推导过程：（①填理由；②填线段；③与④填关系式）
解：如图3，令 ， 分别是等腰 ，等边 内一点，且满足 ∴
∵ 是等边三角形 ∴ ，
由 ① 可知：∴ 的最小值 的最小值= ②
∴如图4，当D、N、M、C在一条直线上时．M是等腰 的紫荆点
∴ ③ ； ④ ∴
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【拓展提升】（3）甲同学发现等腰 “紫荆点”的作法：如图5，已知 ，在AB的左侧作等
边 ．连接 ，与 的角平分线 交于点M，点M就是“紫荆点”，甲同学发现是否正确？
请说明理由．
【答案】（1）见详解（2）①两点之间，线段最短，② ③ ④
（3）正确，理由见详解
【分析】（1）因为 ，所以 ， ，因为 是等边三角形，则
，故 ，即可证明 是等边三角形；（2）依题意，由 的最小值
的最小值，知道①填写的内容是两点之间，线段最短，即②填写的是 ；根据
，又因为 以及邻补角性质，故
，因为三角形外角性质，知 ，结合
推导前后内容，即可作答；（3）连接 ，在 上取点N，使 ，根据 是等腰 的角平
分线，得 ，结合 ，所以 ，证明 ，
得 ， ，证明 是等边三角形， ，
，即可作答．
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ， ，
∵ 是等边三角形，则 ，∴
∵ ，∴ 是等边三角形；
（2）解：如图3，令 ， 分别是等腰 ，等边 内一点，且满足 ∴
∵ 是等边三角形∴ ，
由两点之间，线段最短可知：∴ 的最小值 的最小值
∴如图4，当D、N、M、C在一条直线上时．M是等腰 的紫荆点
∴ ；
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∴
（3）正确，证明如下：如图：连接 ，在 上取点N，使 ，连接 ，
∵ 是等腰三角形∴ ∵ 是等腰 的角平分线，∴
∵ ， ∴ ∴ ，
∵ 是等边三角形， 是等腰三角形∴ ∴
∵ ∴ ∴ ， ，
∴ ，∴ 是等边三角形，
则 ，即 ，
结合“紫荆点”的定义，则甲同学发现是正确的．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、以及等腰三角形的性质和等边三角形的性质与判定，综合
性较强，熟练掌握作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
9．（2024·陕西西安·二模）问题提出
(1)如图1，在等边 内部有一点P， ， ， ，则 ______．
问题解决(2)如图2，五边形ABCDE是某公园局部平面图， ， ， ，
， ， ．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观
赏桥梁PQ和三条观光路AP，CQ，DQ，且 ， ．已知观赏桥梁修建费用每米2a元和观
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光路修建费用每米a元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a的代数
式表示出总费用最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)150°；(2)最小的总费用为 元
【分析】（1）、将 绕点B顺时针旋转60°得 ，则可得 为等边三角形，由勾股定理逆
定理可得： ，即可求解；（2）、连接BE，BP，EP，将 绕点B顺时针旋转60°得到
，连接 由（1）方法可得 最小，即需 最小，所以当A，P， ，
四点共线时，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图3，将 绕点B顺时针旋转60°得 ，
则 ， ， 为等边三角形，∴ ，
，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）如图4，连接BE，BP，EP，修桥梁费用为100a，修观光路费用为 ．
∵ ， ，∴四边形BCQP是平行四边形，四边形PQDE是平行四边形，
∴ ， ，∴要使 最小，则需 最小．
将 绕点B顺时针旋转60°得到 ，连接 ．∴ 是等边三角形，
∴ ， ，∴ ，
当A，P， ， 四点共线时， 最小，∴ 的最小值为 ，
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如图5，延长 ，过点A作 ，垂足为点H，
∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
∴最小的总费用为 元．
【点睛】本题考查了三角形旋转，等边三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，
利用三角形旋转性质作出辅助三角形是解题的关键．
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在 中， ， ，P为 内
一点，求 的最小值．为了求 的最小值，小明是这样做的：将 绕点A顺时
针旋转60°得到 ，则 ，连接 ．此时小明发现 ，且 ，则 为等
边三角形，于是 ．试着根据小明的思路，求出 的最小值．
（2）如图②，某牧场有一块矩形空地 ，其中 米， 米，点E在 边上且
米，F为 边上任意一点，点A关于 的对称点为 ．牧场主欲在四边形 的四条边上装
上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形 内一点P处打一口井，
并修建地下管道 ， ， ．请问：是否存在一点P，使 的值最小？如果存在，请求出
的最小值及此时 的长；如果不存在，请说明理由．
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【答案】（1） ；（2）存在， 的最小值为300， 的长为 米
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的性质，
特殊角三角函数，相似三角形的判定及性质．（1）连接 ，由旋转的性质得到 ， ，
，再由勾股定理得 即可解答．（2）连接 ，
作点A关于 的对称点 ，则点 的轨迹为弧 ，将 绕点B顺时针旋转60°得到 ，连接
， ， ， ．由旋转的性质得 ， ， ，
，当E， ，P， ，C五点共线时， 取得最小值，过
点 作 于点H，交 于点M，证得 为等边三角形，再由特殊角的三角函数得到
， 米，则 ，再根据勾股定理得 的值，设 交 于点N，过点B
作 于点Q，易证 ，即可解答．
【详解】解：（1）如图①，连接 ．
根据小明的思路可知， ， ，则 ．
∵ ， ，
在 中， ，
当C，P， ，E四点共线时取得最小值， 的最小值为 ．
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（2）存在．∵点A， 关于 对称， 米， 点 在以点E为圆心，50米为半径的圆弧
上．
如图②，连接 ，作点A关于 的对称点 ，则点 的轨迹为弧 ．
由（1）同理可得，将 绕点B顺时针旋转60°得到 ，连接 ， ， ， ．由旋转的
性质得 ， ， ， 为等边三角形，
，
∵ ， 米．
当E， ，P， ，C五点共线时， 取得最小值，最小值为 ，此时点 为 与弧
的交点． 过点 作 于点H，交 于点M．
∵ ， 为等边三角形， 米．
∵ ， ， ， （米），
在 中， （米）．
易得 米， 米，
则 （米）， （米），
在 中， （米），
（米）， 的最小值为300．
设 交 于点N，过点B作 于点Q． ， ，
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，即 ， 米， 米，
米， ， ，
， ， 米，易知当 取得最小值时， ，
在 中， （米）．
答： 的最小值为300，此时 的长为 米．
11．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）课本再现：
（1）把两个全等的矩形 和矩形 拼成如图1的图案，则 的度数为________；
图1 图2 图3
迁移应用：（2）如图2，在正方形 中，E是 边上一点（不与点C、D重合），连接 ，将
绕点E顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点G，求证： ；
拓展延伸：（3）如图3，在菱形 中， ，E是 边上一点（不与点C、D重合），连接 ，
将 绕点E顺时针旋转 至 ，作射线 交 的延长线于点G．
①线段 与 的数量关系是________②连接 ，点P为 内一点，连接 ．若 ，
则 的最小值为________．
【答案】（1）90；（2）见解析；（3）① ；②
【分析】（1）先证明 ，可得 ，从而得到 ，由此
可得答案；（2）过点F作 交 延长线于点H，结合正方形的性质和旋转的性质证明
，可得 ，从而得到 ，进而得到 是等腰直角三角形，即
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可证明结论；
（3）①过点F作 ，与 的延长线交于点H，可证得 ，从而得到 ，
， ，进而得到 ， ，继而得到 ；
②把 绕点B逆时针旋转 ，点P的对应点为点N，点A的对应点为点M，过点M作 的垂线交
的延长线于点H，得 为等边三角形，求出 ,当点 四点共线时，
的值最小，即 的长，可得 的最小值为 的长，根据勾股定理可求解
【详解】解：（1）∵矩形 和矩形 是全等矩形，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ；故答案为：90；
（2）如图，过点F作 交 延长线于点H，
∵四边形 是正方形，∴ ，∴ ，
由旋转的性质得： ，∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ；
（3）①过点F作 ，与 的延长线交于点H，
∵四边形 是菱形，∴ ，由旋转得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
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∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是直角三角形，
∵ ，∴ ，故答案为： ；
②如图，把 绕点B逆时针旋转 ，点P的对应点为点N，点A的对应点为点M，过点M作 的垂
线交 的延长线于点H，则 ，
∴ 是等边三角形，∴ ∴ ，
当点 四点共线时， 的值最小，最小值为线段 的长，
∵四边形 是菱形，且 ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、
等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含 角的直角三角形的性质以及勾股定理等
知识，本题综合性强，熟练掌握正方形、矩形、菱形的性质以及旋转的性质，证明三角形全等是解题的关
键
12．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在 中， ， ，
于点D．点G是射线AD上一点，过G作 分别交AB、AC于点E、F：
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(1)如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证： ；
(2)如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并
说明理由；(3)当点G在线段AD上时，请直接写出 的最小值．
参考公式：
【答案】(1)证明见详解(2) ，理由如下(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质即可求证；
（2）过点 作 上 交 延长线于点 ，由等腰直角三角形可得 ， ，
由“ “可证 ，可得 ，可得结论；
（3）将 绕点 顺时针旋转 得到△ ，连接 ， ，过点 作 ，交 的延长线
于点 ，由旋转的性质可得 ，则当点 ，点 ，点 ，点 共线时，
的值最小，最小值为 的长，由 角所对直角边是斜边一半和勾股定理可求解．
【详解】（1）解：由题：在 中， ， ， 于点 ， ,
则 也是 上的中点，即 是 的垂直平分线，
， ， ， ，
， ， ．
（2） ，理由如下：如图1，过点 作 交 延长线于点 ，
， ，
， ， ， ，
， ， ， ， ，
又 ， ， ， ．
（3）如图2，将 绕点 顺时针旋转 得到△ ，连接 ，
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，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
， ， ， ， ， 是等边三角形，
， ， 当点 ，点 ，点 ，点 共线时，
的值最小，最小值为 的长，
， ， ， ，
， ， 的最小值为： ．
【点睛】考查综合运用旋转的知识作辅助线证明的能力，用旋转的知识解决几何最值问题，对于与等腰直
角三角形有关的证明题往往要进行图形的 旋转，把要证明的要素集中到一个熟悉的图形中进行，最值
问题常常要通过轴对称和旋转 把要求的线段之和或差转化为俱有固定端点的折线，然后据两点之间线
段最短来解决．
13．（2023.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王
的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的
私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一
条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了
费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为 ABC的费
马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 BPC绕点B顺时针
旋转60°得到 BDE，连接PD，可得 BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因
PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若
AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，
在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在 ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE
最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）两点之间，线段最短；AE；（2）2 ；（3）存在，2 -2
【分析】（1）连接AE，由两点之间线段最短即可求解；
（2）在Rt ABC中先求出AC，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，由两点之间
线段最短可△知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等，根据勾股定理即可求解；
（3）在△ADE内部取一点P，连接PA、PD、PE，把△PAD饶点D顺时针旋转60°得到△FGD，根据旋转
的性质和两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等，再根据圆的特点、菱形与
勾股定理即可求出GE，故可求解．
【详解】（1）连接AE，如图，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值为线段AE的长
故答案为：两点之间线段最短；AE；
（2）∵在Rt ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2
△
∴BC=2AB=4由勾股定理可得AC=
如图2，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，可得△CPD为等边三角形，
∠BCE=60°
∴PD=PC 由旋转可得DE=PB，CE=BC=4 ∴PA+PB+PC=PA+DE+PD
由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=30°+60°=90° ∴在Rt ACE中，AE=
△
即PA+PB+PC的最小值为2 ；
（3）存在在 ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，
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如图3，在△ADE内部取一点P，连接PA、PD、PE，把△PAD饶点D顺时针旋转60°得到△FGD，连接
PF、GE、AG，可得△PDF、△ADG均为等边三角形
∴PD=PF 由旋转可得PA=GF
∴PA+PD+PE=GF+PF+PE，两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等
∵∠BEC=90°∴点E在以BC为直径的 O上，如图3 则OB=OC= =2
如图3，连接OG交 O于点H，连接CG交AD于点K，连接AC，则当点E与点H重合时，GE取最小值，
即PA+PD+PE的最小值为线段GH的长
∵菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°∴AB=BC=CD=AD=4
∴△ABC、△ACD均为等边三角形∴AC=CD=AD=DG=AG=4，∠ACB=∠ACD=60°
∴四边形ACDG是菱形，∠ACG= ∠ACD=30° ∴CG、AD互相垂直平分
∴DK= AD=2∴根据勾股定理得CK= ∴CG=2CK=
∵∠OCG=∠ACB+∠ACG=60°+30°=90°∴在Rt OCG中，OG=
△
∵OH=OC=2∴GH=OG-OH=2 -2即PA+PD+PE的最小值为2 -2．
【点睛】此题主要考查四边形与圆综合的最短距离，解题的关键是熟知旋转的性质、圆周角定理及两点之
间的距离特点．
14.（23-24九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在 内部有一点 ， 是正三角形，连接
、 、 ，将线段 绕 顺时针反向旋转 至 ，①求证： ；②调整P点的位
置，使 最小，求此时 和 的大小.（2）如图在直角三角形 中， ，
，在其内部任取一点 ，求 的最小值.
【答案】（1）①证明见解析部分② ， （2）
【分析】（1）①证明 ，可得结论；②利用两点之间线段最短以及全等三角形的性质解决
问题即可；（2）如图（2）中，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ， ，过点
作 交 的延长线于点 ．求出 的值，可得结论．
【详解】（1）①证明： ， ， 是等边三角形， ，
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，
， ，
， ， ， ， ；
②解： ， 当 ， ， ， 共线时， 的值最小，
此时 ， ， ；
（2）解：如图（2）中，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ， ，过点 作
交 的延长线于点 ．
， ， 是等边三角形， ， ，
， 当 ， ， ， 三点共线时， 的值最小，最小值为线段 的
长，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
． 的最小值为 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间
线段最短，勾股定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同
一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学
家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡
营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
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当 的三个内角均小于 时，
如图1，将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由 ，可知 为 ① 三角形，故 ，又 ，故
，
由 ② 可知，当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小值为 ，此时
的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 ，
则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点P为 的
“费马点”，求 的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知 ．现欲
建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a
元/ ，a元/ ， 元/ ，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结
果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③ ；④A．(2) (3)
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，即可得出可知当B，P， ，A在
同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ，在根据 可证明
，由勾股定理求 即可，
（3）由总的铺设成本 ，通过将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，得到等
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腰直角 ，得到 ，即可得出当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小
值，即 取最小值为 ，然后根据已知和旋转性质求出 即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 为等边三角形；∴ ， ，
又 ，故 ，
由两点之间线段最短可知，当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，
最小值为 ，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴ ， ，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
∵ ，∴ ， ，∴ ， ，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③ ；④ ．
（2）将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由（1）可知当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ，
∵ ，∴ ，
又∵ ∴ ，
由旋转性质可知： ，∴ ，∴ 最小值为 ，
（3）∵总的铺设成本
∴当 最小时，总的铺设成本最低，
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将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由旋转性质可知： ， ， ， ，
∴ ，∴ ，
当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，即 取最小值为 ，
过点 作 ，垂足为 ，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴
的最小值为
总的铺设成本 （元）故答案为：
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股
定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
16．（2024·广东·一模）如图， 和 均为等腰直角三角形，
．现将 绕点C旋转．
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（1）如图1，若 三点共线， ，求点B到直线 的距离；
（2）如图2，连接 ，点F为线段 的中点，连接 ，求证： ；
（3）如图3，若点G在线段 上，且 ，在 内部有一点O，请直接写出
的最小值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】（1）由旋转性质易证 ，从而可得 ， ，再求
的CE边高即可；（2）通过倍长中线构造 ，得 ，由 即可
证明 ；（3）利用费马点模型构造图形，过点G作 ，且 ，过点G作
，且 ，可得 ， ，将问题由
转化为两点之间距离最短即可解答．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，∴ ，
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又∵ ， ，∴ （SAS），∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，∵若 三点共线，∴ ，
如图，过B点作BH⊥CE交CE延长线于点H，
∴ ，∴ ，即：点B到直线 的距离为 ；
（2）延长CF到N，使FN=CF，连接BN，
∵FD=FB， ，∴ （SAS）∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ （SAS），∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
（3） 的最小值为 ；过程如下：如解图3，过点G作 ，且
，过点G作 ，且 ，连接OC、 、 ，
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∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴
，
∵ ，仅当C、O、 、 在同一条直线上等号成立；
如解图4，过点 作 ，垂足为H，过点 作 ，垂足为P，
∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ， ∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为： ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题是三角形综合题，涉及了三角形旋转全等和旋转相似的综合、解三角形等知识点，解（2）
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关键是倍长中线构造三角形全等证明 ；解（3）关键是掌握费马点求最值模型，利用旋转转
化线段关系．
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