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专题36 最值模型之逆等线模型
最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各
类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试
题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..............................................................................1
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）......................................................................................6
模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）......................................................................................9
模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）....................................................................11
模型5.最值模型-加权逆等线模型................................................................................................................14
..................................................................................................................................................19
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）
逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。
逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。
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条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝ ，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，
求CD+BE的最小值。
证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出
EF=CD；
④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线；
⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。
例1．（23-24九年级上·广东广州·期中）在等边三角形 中，边 上的点 从顶点 出发，向顶点
运动，同时，边 上的点 从顶点 出发，向顶点 运动， 两点运动速度的大小相等，设 ，
，y与x的函数图象如图，图象过点 ，则图象最低点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是
AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．
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例3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， ，
分别是边 ， 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
例4．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在 中， ， ， ，点E
与点D分别在射线 与射线 上，且 ，则 的最小值为 ， 的最小值为
．
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）
条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。
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证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG；
④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。
例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE
＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形 中， ， ， 于D，M，
N分别是线段 ， 上的动点， ，当 最小时， ．
例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰 中， ， 平分 ，点N为 上一点，
点M为 上一点，且 ，若当 的最小值为4时， 的长度是 ．
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模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）
条件：已知在 中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE，
求CD+CE的最小值。
证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD；
④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线；
⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。
例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图， 中， ， ，D，E为 边上
的两个动点，且 ，连接 ， ，若 ，则 的最小值为 ．
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例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形 中，对角线 上有两动点E和F，连
接 和 ，若 ， ， ，则 的最小值是 ．
模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）
特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。
条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF，
求AF+AE的最小值。
证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG；
④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两
条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。
例1．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形 中， ， ， ， 分别是边
和对角线 上的动点，且 ，则 的最小值为______．
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例2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形 中， ， ，点 、 分别是边 和对角
线 上的例2．动点，且 ，则 的最小值是 ．
例3．（2024·福建南平·一模）如图，在菱形 中， ， ，点E，F分别在 ，
上，且 ，连接 ， ，则 的最小值为 ．
模型5.最值模型-加权逆等线模型
条件：已知在 中，∠ACB= ，AB=a，AC=b，点E、D是线段AB、BC上的动点，且满足BE=k
AD，
求AE+k CD的最小值。
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证明思路：①AD在△ADC中，以BE为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似；
②即过点B作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=k AC=kb。（构造一边一角，得相似）；
③构造出△EBF≌△DAC ( SAS)；证出EF=k DC；
④AE+k CD=AE+EF，根据两点之间，线段最短，连接AF，则AF即为所求，此时，A、F、E三点共线；
⑤求AF。先确定∠GBF=∠ACB= ，再利用三角函数求出BG和FG，最后利用勾股定理求出AF即可。
例1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边 中， ，E，F分别是边 、
上的动点，且满足 ，则 的最小值为 ；
例2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ， 、 分别为
、 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
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例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，平行四边形ABCD， ， ， ，点E、F
为对角线BD上的动点， ，连接AE、CF，则 的最小值为 ．
例4．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点E，F分别是 ，
上的点，若 ，则 的最小值是 ．
1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形 中，对角线 上有两动点 和 ，连接
和 ，若 ， ，则 的最小值是（ ）
A．4 B．10 C．6 D．20
2．（2024·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，
且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
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A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°
3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形 的边长为4，点 ， 分别是 ， 边上的
动点，且 ．（1）若 ，则 ；（2） 的最小值为 ．
4．（2024·四川绵阳·三模）在 中， ， ，点D，E分别为 ， 上的动点，
且 ， ．当 的值最小时， 的长为 ．
5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形 中， ，E，F分别是 ，
上的动点， ，连 ， ，则 的最小值为 ．
6．（23-24八年级上·四川成都·期末）在 中， ， ， ， ， 分别为射线
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与射线 上的两动点，且 ，连接 ， ，则 最小值为 ； 的最大
值为 ．
7．（2024·陕西西安·二模）如图，正方形 的边长为2，E、F分别是对角线 和边 上的动点，
满足 ．当 时，线段 的长度为 ．
8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形 中， ，E、F分别是边
上的动点，且 ．当 的值最小时，则 ．
9．（2024·湖北武汉·二模）如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE
＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为 ．
10．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
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点 ， 分别在边 ， 上运动，且满足 ，连接 ， ，则 的最小值是
．
11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图：等边三角形ABC中， ，E、F分别是边 上的动点，
且 ，则 的最小值为 ．
12．（2024·山东济南·二模）如图，在正方形 中， 、 分别是 、 边上的动点，且
，若 ，则 的最小值是 ．
13．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， ， ，以点 为直角顶点、
为直角边向下作直角 ，且 ，连接 ，则 的最大值是 ．
14．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图所示，在矩形 中， ， ，E，F分别是
上的动点，且 ，连接 ，当E为 中点时，则 ；在整个运动过程
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中， 的最小值为 ．
15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点E和点F分别在边
和边 上运动，且满足 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
16．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，在矩形 中， ， ，P，O分别为
对角线 边 上的两点，且 ， 的最小值为 ．
17．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面
积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的
__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
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【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关
系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩
形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将 绕点 逆时针旋转，他发现旋转过程
中 存在最大值．若 ， ，当 最大时，求AD的长；
（4）如图6，在 中， ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若
， ，求 的最小值．
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18．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴
交于点 ．点 为第一象限抛物线上的点，连接 ， ， ， ．
(1)直接写出结果： ； ；点 的坐标为 ； ；
(2)如图1，当 时，求点 的坐标；
(3)如图2，点 在 轴负半轴上， ，点 为抛物线上一点， ．点 ， 分别为
的边 ， 上的动点，且 ，求 的最小值．
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