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专题36 最值模型之逆等线模型
最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各
类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试
题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..............................................................................1
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）......................................................................................6
模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）......................................................................................9
模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）....................................................................11
模型5.最值模型-加权逆等线模型................................................................................................................14
..................................................................................................................................................19
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）
逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。
逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。
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条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝ ，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，
求CD+BE的最小值。
证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出
EF=CD；
④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线；
⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。
例1．（23-24九年级上·广东广州·期中）在等边三角形 中，边 上的点 从顶点 出发，向顶点
运动，同时，边 上的点 从顶点 出发，向顶点 运动， 两点运动速度的大小相等，设 ，
，y与x的函数图象如图，图象过点 ，则图象最低点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合函数图像，当 时， ，求得等边三角形的边长，证明 ，得出
，当 时， 最小，勾股定理即可求解．
【详解】当 时， ，∵三角形 是等边三角形，∴ ,
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∵ ，∴ ，
∴ ，当 时， 最小，最小值为 ，
∴ 的最小值为 ，即图象最低点的纵坐标是 ，故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，求得等边三角形的边长是解题的关键．
例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是
AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．
【答案】
【分析】过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，由题意易得∠HAD=∠BCE，进而可证
△HAD≌△BCE，则有CD+BE=CD+HD，当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小，当点C、D、H三点共
线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作AF⊥BC于点F，如图所
示，即CH的长度为CD+BE的最小值，然后可得 ，则有
， ，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可得如图所示：
过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，如图所示，∴∠HAD=∠ABC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠HAD=∠BCE，
∵AD=CE，∴△HAD≌△BCE（SAS），∴HD=BE，∴CD+BE=CD+HD，
∴当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小，
∴当点C、D、H三点共线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作
AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值，
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∵AB=AC=5，BC=6，∴BF=CF=3，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ （AAS），∴ ， ，
∵AF∥MN，点M是AB的中点，∴ ，
∴ ，∴在Rt MNC中， ，
△
∴ ，∴CD+BE的最小值为 ；故答案为 ．
【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之
间线段最短进行求解即可．
例3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， ，
分别是边 ， 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形和矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，过 作 ，
使 ，连接 ， ，作 交 延长线于点 ，证明四边形 是正方形，由勾
股定理得 ，然后证明 ，当 ， ， 三点共线时，
有最小值 ，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】过 作 ，使 ，连接 ， ，作 交 延长线于点 ，
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∴ ，∴四边形 是矩形，∴ ，
∴四边形 是正方形，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
当 ， ， 三点共线时， 有最小值 ，故答案为： ．
例4．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在 中， ， ， ，点E
与点D分别在射线 与射线 上，且 ，则 的最小值为 ， 的最小值为
．
【答案】
【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当 在 上时，
取得最小值，如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，进而勾股定理即可求解；对
于 ，构造等边三角形，进而即可求解．
【详解】如图所示，过 作 交 的于 ，
∵ ， ， ∴ ∴ ， ，
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∵ ，∴ ， ∴
如图所示，作 且 ，连接 ， ，∵
∴ ∴ ∴ ，
当 在 上时， 取得最小值，如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，
∵ ， ∴ ， ∵ ∴
∵ 在 中， ，∴
∴ ，即 的最小值为 ；
如图所示，作 关于 的对称点 ，连接 ,则
∵ 则 ∴ ，
∵对称，∴ ∴ 都是等边三角形，连接 ，
∵ ，∴ ，则 ，
又∵ ∴ ∴ ，
∴ ∴ 是等边三角形，∴
∴当 在 上时， ， 如图所示
此时 取得最小值，最小值 故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段
最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）
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条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。
证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG；
④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。
例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE
＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
【答案】B
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF
在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值
最小，求出此时∠AFB＝105°．
【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
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∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选B．
【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当
BF+CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．
例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形 中， ， ， 于D，M，
N分别是线段 ， 上的动点， ，当 最小时， ．
【答案】
【分析】在 下方作 ，使 ，连接 ，则 最小值为 ，此时A、N、 三
点在同一直线上，推出 ，所以 ，即可得到
．
【详解】解：在 下方作 ，使 ，连接 ．
则 ， ．∴ ，
即 最小值为 ，此时A、N、 三点在同一直线上．
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
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∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑
线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰 中， ， 平分 ，点N为 上一点，
点M为 上一点，且 ，若当 的最小值为4时， 的长度是 ．
【答案】4
【分析】由等腰 中， ，可得 ，由 平分 ，
可得 ，如图，作 ，使 ，连接 ，则
，证明 ，则 ， ， ，
可知当 三点共线时， 最小，即 ，证明 是等边三角形，则 ，
进而可求 ．
【详解】解：∵等腰 中， ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，如图，作 ，使 ，连接 ，
∴ ，∵ ， ， ，
∴ ，∴ ， ，∴ ，
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∴当 三点共线时， 最小，即 ，
∵ ， ，∴ 是等边三角形，∴ ，∴ ，故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是
解题的关键．
模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）
条件：已知在 中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE，
求CD+CE的最小值。
证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD；
④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线；
⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。
例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图， 中， ， ，D，E为 边上
的两个动点，且 ，连接 ， ，若 ，则 的最小值为 ．
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【答案】
【分析】过点 ， 分别作 的垂线和 的垂线交于点 ，连接 ， ，先证 ，得
，再证 ，得 ，进而得出 ，当 ， ， 三点不共线
时， ；当 ， ， 三点共线时， ，然后根据直角三角形中， 的角所对
的直角边等于斜边的一半求出 的值，从而得出结果．
【详解】过点 ， 分别作 的垂线和 的垂线交于点 ，连接 ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
当 ， ， 三点不共线时， ；当 ， ， 三点共线时， ．
的最小值是 的长， ， ， ，
， ， ， 的最小值是 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助
线找出恰当的全等三角形是解本题的关键．
例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形 中，对角线 上有两动点E和F，连
接 和 ，若 ， ， ，则 的最小值是 ．
【答案】17
【分析】如图，连接 ， ，由全等三角形判定（ ）可以证得 ，得到 ，进
而得到 ，再根据题意及勾股定理求出 的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ， ，
四边形 是矩形， ， ， ， ，
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， ， ， ， ，
又 ， 为矩形的对角线， ，
是直角三角形， ， ， ，
移项得 ，
配方得 ， ，解得 ，或
， ， ，故答案为：17．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一
元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键．
模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）
特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。
条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF，
求AF+AE的最小值。
证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG；
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④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两
条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。
例1．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形 中， ， ， ， 分别是边
和对角线 上的动点，且 ，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】在 的下方作 ，截取 ，使得 ，连接 ， ．证明 ，
推出 ， ，根据 求解即可．
【详解】解：如图， 的下方作 ，截取 ，使得 ，连接 ， ．
四边形 是菱形， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ，
， ，
， ， 的最小值为 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
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例2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形 中， ， ，点 、 分别是边 和对角
线 上的例2．动点，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】设点D关于 的对称点为G，在 上截取 ，连接 ，可证 ，从而
，那么 ，A、H都是固定点，过点H作 于点M，结合相似三
角形和勾股定理即可求得，
【详解】如图，设点D关于 的对称点为G，在 上截取 ，连接 ，过点H作 于
点M，
∵四边形 是矩形，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
在 中， ，∵ ，∴ ∴
，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ 的最小值是 ．
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故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质．这里根据 把 的最小值转
化为 是关键．
例3．（2024·福建南平·一模）如图，在菱形 中， ， ，点E，F分别在 ，
上，且 ，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】如图，连接 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ， ，可得 ，
， ，证明四边形 为平行四边形，可得 ，则 ，
当 三点共线时，此时取等于号， 最小，证明当 三点共线时， 重合，从而可得
答案．
【详解】解：如图，连接 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ， ，
∴ ， ， ，∵菱形 ， ∴ ， ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，∴ ，
当 三点共线时，此时取等于号， 最小，
∵菱形 ， ，∴ ， ，∴ 为等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，∵ ，∴ ，
∴ 三点共线，∴当 三点共线时， 重合，
∵ ，∴ ，即 最小值为4．故答案为4
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【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，
作出合适的辅助线是解本题的关键．
模型5.最值模型-加权逆等线模型
条件：已知在 中，∠ACB= ，AB=a，AC=b，点E、D是线段AB、BC上的动点，且满足BE=k
AD，
求AE+k CD的最小值。
证明思路：①AD在△ADC中，以BE为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似；
②即过点B作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=k AC=kb。（构造一边一角，得相似）；
③构造出△EBF≌△DAC ( SAS)；证出EF=k DC；
④AE+k CD=AE+EF，根据两点之间，线段最短，连接AF，则AF即为所求，此时，A、F、E三点共线；
⑤求AF。先确定∠GBF=∠ACB= ，再利用三角函数求出BG和FG，最后利用勾股定理求出AF即可。
例1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边 中， ，E，F分别是边 、
上的动点，且满足 ，则 的最小值为 ；
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【答案】
【分析】取 、 的中点 、 ，连接 、 ，则可得 ，
，因此转而求 的最小值；过 作 ，且 ，
连接 、 ，可证明 ，则有 ，进而转化为求 的最小值，当点 在线
段 上时，取得最小值，在 中由勾股定理即可求得最小值，从而求得 的最小值．
【详解】解：如图，取 、 的中点 、 ，连接 、 ，
∵ 是等边三角形， ， ，
根据三角形中位线可得 ，∴ ，
的最小值转化为求 的最小值，
在等边三角形 中， ，∴ ， ， ， ，
， ， ；过 作 ，且 ，连接 、 ，
则 ， ， ，
， 当点 在线段 上时， 取得最小值，
且最小值为线段 的长， ，
在 中，由勾股定理得： ，
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的最小值 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，
三角形中位线定理，把求 的最小值转化为求 的最小值，进而转化为求 的最小值，
是本题的难点与关键所在．
例2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ， 、 分别为
、 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，延长 到H，使得
，连接 ，证明 ，得到 ，则 ，故当
三点共线时， 最小，即此时 最小，最小值即为 的长，据此利用勾股定理
求出 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长 到H，使得 ，连接 ，
∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴当 三点共线时， 最小，即此时 最小，最小值即为 的长，
在 中， ，
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∴ ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ．
例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，平行四边形ABCD， ， ， ，点E、F
为对角线BD上的动点， ，连接AE、CF，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，在直线DB的上方作 ，且使得 ．过点T作 交AD的延长线
于H．首先利用相似三角形的性质证明 ，解直角三角形求出AT，根据 ，推
出 ，即可解决问题．
【详解】解：如图，在直线DB的上方作 ，且使得 ．
过点T作 交AD的延长线于H，连接ET、AT．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ∽ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ 的最小值为 ．故答案为：
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．
【点睛】本题属四边形综合题目，考查平行四边形的性质，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的
判定与性质，解直角三角形，作辅助线构造直角 三角形和相似三角形是解题的关键．
例4．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点E，F分别是 ，
上的点，若 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾
股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意构造相似三角形，作 ，取 ，连接 ， ，得到 ，
进而得出 ，当 三点共线时， 的值最小，即 的值最小，最
后利用勾股定理即可解出．
【详解】作 ，取 ，连接 ， ，如图所示，
在菱形 中， ，
， ， ， ，
当 三点共线时， 的值最小，即 的值最小，在菱形 中， ，
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， 是等腰三角形， ， ， ，
在 中， ， ，故答案为： ．
1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形 中，对角线 上有两动点 和 ，连接
和 ，若 ， ，则 的最小值是（ ）
A．4 B．10 C．6 D．20
【答案】B
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【分析】如图，连接 ， ，由全等三角形判定 可以证得 ，得到 ，进而
得到 ，再根据题意及勾股定理求出 的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ， ，
四边形 是矩形， ， ， ， ，
， ， ，
， ，又 ， 为矩形的对角线，
，
是直角三角形， ， ，
移项得 ，解得 ，或
，则 不符合题意， ， ，故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一
元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程的方法是解题关键．
2．（2024·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，
且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°
【答案】C
【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM
＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问
题．
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【详解】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝
HN，
∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故选：C．
【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角
形解决问题．
3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形 的边长为4，点 ， 分别是 ， 边上的
动点，且 ．（1）若 ，则 ；（2） 的最小值为 ．
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【答案】 /
【分析】（1）由正方形的性质可得 ，从而得到 ，由勾股定
理计算出 的长，即可得到答案；（2）连接 ，通过证明 可得 ，作点
关于 的对称点 ，连接 ，则 ，从而得到 ，当 在同一
直线时， 最小，利用勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1） 四边形 是正方形，且边长为4， ，
， ， ，
， ，故答案为： ；
（2）连接 ，
，
四边形 是正方形，且边长为4， ，
， ， ，
在 和 中， ， ， ，
作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 ，
， 当 在同一直线时， 最小，
， 在 中， ，
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的最小值为： ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、最短距离问题、勾股定理，熟练掌握
正方形的性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
4．（2024·四川绵阳·三模）在 中， ， ，点D，E分别为 ， 上的动点，
且 ， ．当 的值最小时， 的长为 ．
【答案】
【分析】过点B作 ，且 ，连接 ，交 于点 ，过点A作 ，交 的延长
线于点H，证明 ，得出 ，则 ，即 的最小值
即为 的长，此时点E与点 重合，由勾股定理及相似三角形的性质可得出答案．
【详解】过点B作 ，且 ，连接 ，交BC于点 ，过点A作 ，交 的延长
线于点H，如图所示：则 ，在等腰直角 中， ， ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 的最小值即为 的长，此时点E与点 重合，
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∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
根据勾股定理得 ，∴ ，∴ 或 （舍去），
∴ ，∴ ，∵ ， ，
∴ ，∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，∴ 取得最小值时， 的长度为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形三条边的
关系，相似三角形的判定与性质；熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形 中， ，E，F分别是 ，
上的动点， ，连 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点 作 ，使 ，连接 ， ，得到 ， ．根据
菱形的边长为2，得到 ．证明 ．得到 ．得到
．推出 ．得到 ．得到 ．即得
的最小值为 ．
【详解】解：如图，过点 作 ，使 ，连接 ， ，则 ，
．
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∵菱形 的边长为2，∴ ． ，
∴ ．∴ ．∴ ．
在 和 中， ，∴ ．
∴ ．∴ ．即 ．
∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形，全等三角形．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，两点之间，
线段最短，是解决问题的关键．
6．（23-24八年级上·四川成都·期末）在 中， ， ， ， ， 分别为射线
与射线 上的两动点，且 ，连接 ， ，则 最小值为 ； 的最大
值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点 作 ，使得 ，过点
作 于点 ，连接 ，证明 得出 ，则当 在
线段 上时， 取的最小值，最小值为 的长，延长 至 使得 ，连接 ，则
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进而勾股定理，即可求解；
【详解】解：如图，过点 作 ，使得 ，过点 作 于点 ，连接 ，
在 中， ，∴ ，∴ ，
∴ ，则当 在线段 上时， 取的最小值，最小值为 的长，
∵ ， ， ，∴
∵ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，如图所示，延长 至 使得 ，连接 ，则
， ，
∴ ，故答案为： ， ．
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7．（2024·陕西西安·二模）如图，正方形 的边长为2，E、F分别是对角线 和边 上的动点，
满足 ．当 时，线段 的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考点是正方形的性质，难点是构建三角形全等转化线段和最小值的计算，特别需要注意的知
识点是两点之间直线最短，同时需要熟练运用相似比求线段的长度．连接 ，作 ，且 ，
连接 ， ， 与 交于点 ，作 交 于点 ，首先证明 得到 ，
再计算出 的长度，推导出当 ， ， 三点共线时满足 ，然后证明 ，利
用相似比计算出 的长度最后计算出 和 的长度．
【详解】解：连接 ，作 ，且 ，连接 ， ， 与 交于点 ，作
交 于点 ，如图： 正方形 的边长为2， ， ，
， ，
， ， ；
在 与 中， ， ， ，
， ，又 ，即 ，且 ，
当 ， ， 三点共线时最短，即 ， 重合时满足 ，设 ，
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， ， ， ， ，
， ， ， ，即 ，
，故答案为： ．
8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形 中， ，E、F分别是边
上的动点，且 ．当 的值最小时，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长
，截取 ，连接 ， ，证明 ，得出 ，说明当 最小时，
最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时， 最小，即 最小，
再证明 ，根据相似三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长 ，截取 ，连接 ， ，如图所示：
∵四边形 为平行四边形，∴ ， ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴当 最小时， 最小，
∵两点之间线段最短，∴当A、E、G三点共线时， 最小，即 最小，且最小值为 的长，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，解得 ．故答案为： ．
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9．（2024·湖北武汉·二模）如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE
＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，过点 作 于 ．设 ，则 ．由勾股定理得到
，欲求 的最小值，相当于在 轴上找
一点 ，使得点 到 ，和 的距离之和最小（如下图），作点 关于 轴的对称点 ，连接
交 轴于 ，连接 ，此时 的值最小，最小值 ．
【详解】解：如图，过点 作 于 ．设 ，则 ．
四边形 是矩形， ， ， ， 四边形 是矩形，
， ， ，
，
欲求 的最小值，相当于在 轴上找一点 ，使得点 到 ，和 的距离之和最小（如
下图），作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，连接 ，此时 的值最小，最小值
，
， ， ， 的最小值为 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思
想解决问题．
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10．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
点 ， 分别在边 ， 上运动，且满足 ，连接 ， ，则 的最小值是
．
【答案】
【分析】连接 ，可得 且∠ ，证明△ ，得出结论 ，
从而可得求 的最小值，即求 的最小值 ，求出 的最小值 即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，且∠
∴∠ ， 连接 ，如图，
∵ ∴ ∴ 且∠
∴△ ∴ ∴
∴ ∴求 的最小值，即求 的最小值，
∴作B关于AD的对称点 ，连接 ， 交AD于M，此时 与 的交点为点E，这时 最
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小
∴ 的最小值 ∵∠ ∴∠ ，∠
∴ ∴ ∴ ∴
∴ 的最小值 即 的最小值 故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称把问
题转化为垂线段最短．
11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图：等边三角形ABC中， ，E、F分别是边 上的动点，
且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求线段和最小值问题，勾股定理解三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和
性质，三角形中位线， 角的直角三角形，解题的关键是通过构造中位线和全等三角形，将 进
行转化．取 中点G， 中点H， ，在 的外侧作 ， 的长度即为所求．
【详解】取 中点G， 中点H，作 ，使 ，作 ，交 延长线于点J，连接
， 是 的中位线 ，
是等边三角形
又
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当I，E，C三点共线时， 取得最小值 ，即 取得最小值
在 中，
取得最小值为 故答案为：
12．（2024·山东济南·二模）如图，在正方形 中， 、 分别是 、 边上的动点，且
，若 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】延长 到点 ，使得 ，继续延长到点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 、 、
，判定 是 的中位线，根据正方形的性质、勾股定理，推出 ，结合三角形中位线的
性质，推出 ，根据“两点之间线段最短”、勾股定理，得出 的最小值
计算出答案即可．
【详解】解：如图，延长 到点 ，使得 ，继续延长到点 ，使得 ，取 的中点 ，连接
、 、 ，
∵ ，点 是 的中点，∴ ，∵四边形 是正方形， ，
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∴ ， ，
∴点 是 的中点， ， ， ，
∴ 是 的中位线， ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值 的最小值，∵当 、 、 在同一直线上时， 取得最小值
，
∴ 的最小值 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质、两点之间线段最短，熟
练掌握知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键．
13．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， ， ，以点 为直角顶点、
为直角边向下作直角 ，且 ，连接 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系．作 ，使 ，证
明 ，由相似三角形的性质得出 ，得出 ，由三角形的三边关系可得
的最大值．
【详解】解：如图，作 ，使 ，连接 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
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∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴当点C，点A，点E共线时， 有最大值 ，
∴ 的最大值为 ．故答案为： ．
14．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图所示，在矩形 中， ， ，E，F分别是
上的动点，且 ，连接 ，当E为 中点时，则 ；在整个运动过程
中， 的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理可得 的长，从而得到 ，再由 ，可得
，然后根据勾股定理可求出 ，即可；在 右侧构造 ，并截取 ，使 ，
连接 ，可证明 ，可得∴ ，从而得到
，当且仅当B、F、G三点共线时， 取得最小值，
最小值为 ，过点 G 作 交 延长线于点H，可证明 ，可得 ，
从而得到 ，再由勾股定理可得 ，即可求解．
【详解】解：在矩形 中， ， ，∴ ，∴ ，
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∵E为 中点，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
在 右侧构造 ，并截取 ，使 ，连接 ，如图，
在矩形 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当B、F、G三点共线时， 取得最小值，最小值为 ，
如图，过点 G 作 交 延长线于点H，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，解得： ，∴ ，
∴ ，∴ 的最小值为 ．故答案为： ；
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理直角三角形的性质，熟练掌握
矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理直角三角形的性质是解题的关键．
15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点E和点F分别在边
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和边 上运动，且满足 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】A
【分析】连接 ，作点A关于 的对称点H，连接 ，交 于N，连接 ，根据题意证明出
，得出 ，得到当点F，点D，点H三点共线时， 的最小值为 的
长，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接 ，作点A关于 的对称点H，连接 ，交 于N，连接 ，如图所示：
∵四边形 为菱形，∴ ， ，∴ ，
∵ ， ∴ ∴ ，∴ 是等边三角形，
∵点A，点H关于 对称，∴ ， ，∴ ，
又∵ 是等边三角形，∴ ， ， ∴ ，
∵ ， ，∴ ，又∵ ∴ ，
∴ ，∴ ，
∴当点F，点D，点H三点共线时， 的最小值为 的长，
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∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，即 的最小值为4．故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，证明三角形
全等是解题的关键．
16．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，在矩形 中， ， ，P，O分别为
对角线 边 上的两点，且 ， 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形中 角所对的直角边是斜边的一半，全等三角形的判
定与性质，构造 是解题的关键．在 上截取 ，延长 至 ，使得 ，
连接 ，过点 作 于 ，先证明 ，得到 ，
结合勾股定理即可得到答案．
【详解】解：在 上截取 ，延长 至 ，使得 ，连接 ，过点 作
于 ，在矩形 中， ， ，
在 与 中， ， ， ，
， 垂直平分 ， ， ，
， ， ，
， ，
，故 的最小值为 ，故答案为： ．
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17．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面
积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的
__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关
系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩
形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将 绕点 逆时针旋转，他发现旋转过程
中 存在最大值．若 ， ，当 最大时，求AD的长；
（4）如图6，在 中， ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若
， ，求 的最小值．
【答案】（1）2（2） （3） （4）
【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）如图，由 ，证明 ，再结合图形变换可得答案；
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（3）如图，将 绕点 逆时针旋转，可得 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，可得当 与
相切时， 最大，再进一步解答即可；
（4）如图，将 沿 对折， 的对应点为 ，将 沿 对折， 的对应点为 ，连接 ，
再将 沿 方向平移，使 与 重合，如图，得 ，由（2）可得： ，
当 三点共线时， 最短，再进一步解答即可.
【详解】解：如图，∵正方形 ， 及圆为正方形 的内切圆，为正方形 的外接正方
形，∴设 ， ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．
（2）如图，∵ ，∴ ， ， ， ，
∴ ，如图，结合图形变换可得： ；
（3）如图，∵将 绕点 逆时针旋转，∴ 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
∵ 为圆外一个定点，∴当 与 相切时， 最大，∴ ，
∴ ，由（2）可得： ，∵ ， ，
∴ ，∴ ；
（4）如图，将 沿 对折， 的对应点为 ，将 沿 对折， 的对应点为 ，连接 ，
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∴ ， ，再将 沿 方向平移，使 与 重合，如图，得 ，
由（2）可得： ，∴当 三点共线时， 最短，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ；
∴ 的最小值为 ；
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，
切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
18．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴
交于点 ．点 为第一象限抛物线上的点，连接 ， ， ， ．
(1)直接写出结果： ； ；点 的坐标为 ； ；
(2)如图1，当 时，求点 的坐标；
(3)如图2，点 在 轴负半轴上， ，点 为抛物线上一点， ．点 ， 分别为
的边 ， 上的动点，且 ，求 的最小值．
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【答案】(1) ，2， ， ；(2)点P坐标为 (3)
【分析】（1）利用待定系数法求出 、 的值，得到抛物线解析式为 ，由 可得
，根据正切定义可求出 ；（2）过点 作 轴，交 于点 ，过点 作 轴，
由 可得 ，证明 ，得到 ，设点 坐标为
，可得 ，解之即可求解；（3）作 ，且使 ，连接 ，
证明 得到 ， ， ， 共线时， 的值最小，作
于点 ，设 ，则 ，得到 ，求出 ，再利用勾
股定理即可求解．
【详解】（1） 抛物线 经过点 ， ，
，解得 ， 抛物线解析式为 ，
抛物线 与 轴交于 、 两点，
时， ，解得 ， ， ， ， ，
在 中， ，故答案为： ，2， ， ；
（2）如图1，过点 作 轴，交 于点 ，过点 作 轴，交 轴于点 ，
， ， ， ，
由（1）可得， ，即 ， ，
， ， 轴， 轴，
， ， ，
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又 ， ， ，
设点 坐标为 ，则 ， ，
，解得 （舍去）或 ， 点 坐标为
（3）如图2，作 ，且使 ，连接 ，
， ， ，
， ， ， ，
， ， ， 共线时， 的值最小，作 于点 ，
， ， ， ， ， ，
设 ，则 ， ，解得 或 （舍去）， ，
， ， ， ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与 轴的交点、全等三
角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，
熟练掌握相关知识是解题的关键．
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