文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 37 最值模型之瓜豆模型（原理）直线
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）.......................................................................................................1
..................................................................................................................................................11
模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的
轨迹相同。
只要满足：
则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度
1、两“动”，一“定”
的比和它们到定点的距离比相同。
2、两动点与定点的连线夹角是定角
3、两动点到定点的距离比值是定值
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在
直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上
运动时，则Q点轨迹也是一条直线。
A A
Q Q
B P C B P N M C
证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，
因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ= 为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一
条直线。
证明：在BC上任取一点P，作三角形△APQ，且满足∠PAQ= ，AQ=AP，连结QQ交BC于点N，
1 1 1 1 1 1 1 1
∵AP=AQ，AQ=AP，∠PAQ=∠PAQ= ， ，∴∠APP=∠AQQ ，
1 1 1 1 1 1
∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ= ，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线．
当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；
②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
为其他已知轨迹的线段求最值。
例1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形 的边 ，E为 上一点，且 ，F
为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
例2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图， 是边长为2的等边三角形，点E为中线BD上的动点．连
接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接 ，则 ，连接 ，则 周长的
最小值是 ．
例3．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形 为矩形，对角线 与 相交于点 ，点 在边
上，连接 ，过 做 ，垂足为 ，连接 ，若 ， ，则 的最小值
为 ．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例4．（2023·安徽·合肥三模）如图，在Rt ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在
BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻△折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱
形，则AF的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形 中， ， ，点P在线段 上运动（含
B，C两点），连接 ，以点A为中心，将线段 逆时针旋转 到 ，连接 ，则线段 的最小
值为 .
例6．（2024·重庆模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 是直线 上的一个动点，将 绕点
逆时针旋转 ，得到点 ，连接 ，则 最小值为______．
例7．（2024·广东·九年级校考期中）如图， 中， ， ， ，点E是边
上一点，将 绕点B顺时针旋转 到 ，连接 ，则 长的最小值是（ ）
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．2 B．2.5 C． D．
1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形 中， ， ， ， 是边 上一
点，且 ， 是边 上的一个动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 、 ，
则 的最小值是（ ）.
A．4 B． C． D．
2．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形 中， ，F是 上一点，E为 上一点，且
，连接 ，将 绕着点E顺时针旋转 到 的位置，则 的最小值为 ．
3．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形 中， ， ，点 为矩形对角线 上一动点，
连接 ，以 为边向上作正方形 ，对角线 交于点 ，连接 ，则线段 的最小值为
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知 ，B为 上一点， 于A，
四边形 为正方形，P为射线 上一动点，连接 ，将 绕点C顺时针方向旋转 得 ，连接
，若 ，则 的最小值为 ．
5．（2023上·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在矩形 中， ，点 为边 的中点，连接
．点 是边 上一动点，点 为边 的中点，连接 ．当 时， 的最小值是 ．
6．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点C是y轴
上一动点，设其坐标为 ，线段 绕点C逆时针旋转 至线段 ，则点B的坐标为 ，连
接 ，则 的最小值是 ．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
7．（2024·山东校考一模）如图，正方形 中， ，点E为边 上一动点，将点A绕点E顺时
针旋转 得到点F，则 的最小值为__________．
8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，在矩形 中， ， ，点 为边 上的动点，连
接 ，过点 作 ，且 ，连接 ，则线段 长度的最小值为______．
9．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点 在直线 上， 于点 ， ，点 在直线 上运
动，以 为边作等边 ，连接 ，则 的最小值为 ．
10．（2024·四川达州·三模）如图，在等腰 中， ， ，点 是 边上
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
一动点，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ，则 的最小值是
．
11．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形 中， ，点 ， 为直线 上的两个动点，且
，将线段 关于 翻折得线段 ，连接 ．当线段 的长度最小时， 的度
数为 度．
12．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图， 中， ， ， ，D是
线段 上一个动点，以 为边在 外作等边 ．若F是 的中点，连接 ，则 的最小
值为 ．
13．（2024九年级下·江苏·专题练习）等边 边长为6，D是 中点，E在 上运动，连接 ，在
下方作等边 ，则 周长的最小值为 ．
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
14．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）在等腰 ABC中，AC＝AB，D是BC延长线上一点，E是线段
AB上一点，连接DE交AC于点F． △
(1)如图1，求证： ；(2)如图2，若∠A＝90°，DF＝EF，DF：AE＝5：3，DF＝2，求CD的长；
(3)如图3，若∠1＝60°，BC＝2CD＝6，E在直线AB上运动，以DE为斜边向上构造直角 DTE，且∠E＝
30°，请直接写出CT的最小值是 ． △
15．（2023·山东临沂·二模）如图，矩形 中， ， ，点E在线段 上运动，将 绕
点A顺时针旋转得到 ，旋转角等于 ，连接 ．
(1)当点E在 上时，作 ，垂足为M，求证： ；(2)连接 ，点E从点B运动到点C的
过程中，试探究 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
16．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点 依次在直线 上，点 固定不动，且 ，
分别以 为边在直线 同侧作正方形 、正方形 ， ，直角边 恒过点 ，直
角边 恒过点 ．(1)如图 ，若 ， ，求点 与点 之间的距离；(2)如图 ，若 ，
当点 在点 之间运动时，求 的最大值；(3)如图 ，若 ，当点 在点 之间运动时，
点 随之运动，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则 的最小值为_______．
17．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】数学课上张老师在讲完正方形的性质之后提出了一个
问题：四边形 是边长为3的正方形，点E是边 上的一动点，连接 ，以 为一边作正方形
（点C，E，F，G按顺时针方向排列），连接 ， ．
(1)如图1，求点G到 的距离，请写出解答过程；
【类比分析】爱动脑的数学兴趣小组在研讨的过程中，也提出了一个问题：
(2)如图2，当 经过点D时，求 的长，请写出解答过程；
【学以致用】看到同学们兴致勃勃的样子，张老师说：“角相等可以是三角形全等的条件，也能推导出相
似”，于是给同学们留了一道思考题：
(3)求代数式 的最小值．经过小组研讨，组长小明进行了整理，给出了部分解题思路；
解题思路：如图3，作等腰直角 ，使 ，连接 ， ， ，则点C，D， 三点共线，
由 ， ，可得 ，
由 ， ，可得 ，……请完成“……”部分的解答过程．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
18．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形 是正方形，点 是 边上的一
个动点，以 为边在 的右侧作正方形 ，连接 ，则 与 的数量关系是______．
【类比探究】：（2）如图2，四边形 是矩形， ，点 是 边上的一个动点，以
为边在 的右侧作矩形 ，且 ，连接 ．判断线段 与 有怎样的数量关系：
______，并说明理由：
【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，求 的最小值．
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
12
