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第四章 三角形
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下面几何体中，是圆锥的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案．
【详解】解：A选项为圆柱，不合题意；
B选项为圆锥，符合题意；
C选项为三棱锥，不合题意；
D选项为球，不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平
面，组成的空间几何图形叫圆锥．
2．下列图形是正方体展开图的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据正方体的展开图的特征，11种不同情况进行判断即可．
【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第2个图不是正方体的展开图，故四个图中有3个图是正
方体的展开图．
故选：C．
【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之”应用比较广泛简洁．
3．如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，则∠BOC的大小为（ ）
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A．36° B．44° C．54° D．63°
【答案】C
【分析】由∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，可求出∠COD的度数，再根据角与角之间的关系
求解．
【详解】∵∠AOC=90°，∠AOD=126°，
∴∠COD=∠AOD−∠AOC=36°，
∵∠BOD=90°，
∴∠BOC=∠BOD−∠COD=90°−36°=54°．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和∠AOD相比，多加了
∠BOC．
4．如图，在△ABC中，D、E分别在AB边和AC边上，DE//BC，M为BC边上一点（不与B、C重
合），连结AM交DE于点N，则（ ）
AD AN BD MN DN NE DN NE
A． = B． = C． = D． =
AN AE MN CE BM MC MC BM
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得 ADN∽△ABM， ANE∽ AMC，再根据相似三角
形的性质即可得到答案. △ △ △
DN AN AN NE DN NE
【详解】∵DE//BC，∴△ADN∽△ABM， ANE∽△AMC，∴ = , = ⇒ = ，
BM AM AM MC BM MC
△
故选C.
【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似
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三角形的判定和性质.
【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题
5．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平
行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1=40°10'，则∠6的度数为（ ）
A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'
【答案】C
【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由l//m可得
∠6=∠5
【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，
∵∠1=40°10'
∴∠2=40°10'
∴∠5=180°−∠1−∠2=180°−40°10'−40°10'=99°40'
∵l//m
∴∠6=∠5=99°40'
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．
【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题
6．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大面小，需将∠O转化为与它相等
的角，则图中与∠O相等的角是（ ）
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A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同角的余角相
等可得结论．
【详解】由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，
∴∠O+∠ADO=90°，∠DEB+∠ADO=90°，
∴∠DEB=∠O，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
7．【易错题】若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
【答案】D
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还
要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情
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况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【几何模型】 三角形折叠模型
8．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在
边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
13 5 7 6
A． B． C． D．
6 6 6 5
【答案】A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继
而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
13
解得x=
6
13
即AE=
6
故选A
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【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
【几何模型】 一线三垂直模型
9．如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐
标是（ ）
A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)
【答案】D
【分析】先过点C做出x轴垂线段CE，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D
点的坐标．
【详解】
如图过点C作x轴垂线，垂足为点E，
∵∠ABC=90°
∴∠ABO+∠CBE=90°
∵∠CBE+BCE=90°
∴∠ABO=∠BCE
在ΔABO和ΔBCE中，
∠ABO=∠BCE
{ ，
∠AOB=∠BEC=90°
∴ΔABO∽ΔBCE，
AB AO OB 1
∴ = = = ，
BC BE EC 2
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则BE=2AO=6 ,EC=2OB=2
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，
故答案选D
【点睛】本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、
上下平移的距离是解题的关键．
10．如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M从点A出发沿折线AH−HC−CB运动到点B
停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设
运动时间为t(s)，△AMN的面积为S(cm2)，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是
（ ）
①当0<t≤6时，△AMN是等边三角形．
②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．
√3
③当0<t≤6时，S= t2 ．
4
④当t=9+√3时，△ADH∽△ABM．
⑤当9<t<9+3√3时，S=−3t+9+3√3．
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤
【答案】A
【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B
处并停止不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利用四边形ABCD是矩形可
知CD=AB=6cm；当6≤t≤9时，S=9√3且保持不变，说明点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动
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时间为（9-6）秒，可得HC=3cm，即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出
结论．
【详解】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止
不动，如图，
①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，
∴AH=AB=6cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6cm．
∵当t=6s时，S=9√3cm2，
1
∴ ×AB×BC=9√3．
2
∴BC=3√3．
∵当6≤t≤9时，S=9√3且保持不变，
∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，
∴HC=3cm，即点H为CD的中点．
∴BH=√CH2+BC2=6．
∴AB=AH=BH=6，
∴△ABM为等边三角形．
∴∠HAB=60°．
∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，
∴AM=AN，
∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．
故①正确；
②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：
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此时有两个符合条件的点；
当AD=AM时，△ADM为等腰三角形，如图：
当DA=DM时，△ADM为等腰三角形，如图：
综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．
∴②不正确；
③过点M作ME⊥AB于点E，如图，
由题意：AM=AN=t，
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由①知：∠HAB=60°．
在Rt△AME中，
ME
∵sin∠MAE= ，
AM
√3
∴ME=AM•sin60°= t，
2
1 1 √3 √3
∴S= AN×ME= × t×t= t2．
2 2 2 4
∴③正确；
④当t=9+√3时，CM=√3，如图，
由①知：BC=3√3，
∴MB=BC-CM=2√3．
∵AB=6，
BM 2√3 √3
∴tan∠MAB= = = ，
AB 6 3
∴∠MAB=30°．
∵∠HAB=60°，
∴∠DAH=90°-60°=30°．
∴∠DAH=∠BAM．
∵∠D=∠B=90°，
∴△ADH∽△ABM．
∴④正确；
⑤当9＜t＜9+3√3时，此时点M在边BC上，如图，
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此时MB=9+3√3-t，
1 1
∴S= ×AB×MB= ×6×(9+3√3−t)=27+9√3−3t．
2 2
∴⑤不正确；
综上，结论正确的有：①③④．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，
等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据
已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，已知△ABC≌△≝¿，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC=8，CE=5，则CF的长
为 ．
【答案】3
【分析】利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：由全等三角形的性质得：EF=BC=8，
∴CF=EF−CE=8−5=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
12．一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可）
【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得
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5−3<x<5+3，再解即可．
【详解】解：设第三边长为x，由题意得：
5−3<x<5+3，
则2<x<8，
故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
13．【原创题】若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表
面积为 ．
【答案】36+2√3/2√3+36
【分析】根据题意得出正三角形的边长为2，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可
求解．
【详解】解：∵侧面展开图是边长为6的正方形，
∴底面周长为6，
∵底面为正三角形，
∴正三角形的边长为2
作CD⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2，
∴AD=1，
∴在直角ΔADC中，
CD=√AC2−AD2=√3，
1
∴S = ×2×√3=√3；
△ABC 2
∴该直三棱柱的表面积为6×6+2√3=36+2√3，
故答案为：36+2√3．
【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识
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是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将
△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'．若点B'刚好落在边AC上，∠CB'E=30°，CE=3，则BC的
长为 ．
【答案】9
【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出B'E=BE=2CE=6，即可求解．
【详解】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'．点B'刚好落在边AC上，在Rt△ABC中，
∠C=90°，BC<AC，∠CB'E=30°，CE=3，
∴B'E=BE=2CE=6，
∴BC=CE+BE=3+6=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【新考法】 数学与规律探究——图形类规律
15．在平面直角坐标系中，点A 、A 、A 、A ⋯在x轴的正半轴上，点B 、B 、B ⋯在直线
1 2 3 4 1 2 3
√3
y= x(x≥0)上，若点A 的坐标为(2,0)，且△A B A 、△A B A 、△A B A ⋯均为等边三角形．
3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4
则点B 的纵坐标为 ．
2023
【答案】22022√3
√3
【分析】过点A 作A M⊥x轴，交直线y= x(x≥0)于点M，过点B 作B C⊥x轴于点C，先求出
1 1 3 1 1
∠A OM=30°，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得A B =OA =2，然后解直角三角形
1 1 1 1
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可得B C的长，即可得点B 的纵坐标，同样的方法分别求出点B ,B ,B 的纵坐标，最后归纳类推出一般
1 1 2 3 4
规律，由此即可得．
√3
【详解】解：如图，过点A 作A M⊥x轴，交直线y= x(x≥0)于点M，过点B 作B C⊥x轴于点C，
1 1 3 1 1
∵A (2,0)，
1
∴OA =2，
1
2√3 ( 2√3) 2√3
当x=2时，y= ，即M 2, ,A M= ，
3 3 1 3
A M √3
∴tan∠A OM= 1 = ，
1 A O 3
1
∴∠A OM=30°，
1
∵△A B A 是等边三角形，
1 1 2
∴∠A A B =60°,A A =A B ，
2 1 1 1 2 1 1
∴∠OB A =30°=∠A OM，
1 1 1
∴A B =OA =2，
1 1 1
√3 √3
∴B C=A B ⋅sin60°=2× ，即点B 的纵坐标为2× ，
1 1 1 2 1 2
√3
同理可得：点B 的纵坐标为22× ，
2 2
√3
点B 的纵坐标为23× ，
3 2
√3
点B 的纵坐标为24× ，
4 2
√3
归纳类推得：点B 的纵坐标为2n× =2n−1√3（n为正整数），
n 2
则点B 的纵坐标为22023−1√3=22022√3，
2023
故答案为：22022√3．
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【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点，
正确归纳类推出一般规律是解题关键．
16．【创新题】如图，在△ABC中，AB=AC,∠A<90°，点D,E,F分别在边AB，BC,CA上，连接
BC CF
DE,EF,FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设 =k，若AD=DF，则 = （结果用
AB FA
含k的代数式表示）．
k2
【答案】
2−k2
1
【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC= k⋅AB，
2
1 CF
通过证明△ABC ∽△ECF，推出CF= k2 ⋅AB，即可求出 的值．
2 FA
【详解】解： ∵点B和点F关于直线DE对称，
∴ DB=DF，
∵ AD=DF，
∴ AD=DB．
∵ AD=DF，
∴ ∠A=∠DFA，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴ ∠BDE=∠FDE，
又∵ ∠BDE+∠FDE=∠BDF=∠A+∠DFA，
∴ ∠FDE=∠DFA，
∴ DE∥AC，
∴ ∠C=∠DEB，∠≝=∠EFC，
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∵点B和点F关于直线DE对称，
∴ ∠DEB=∠≝¿，
∴ ∠C=∠EFC，
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠B，
在△ABC和△ECF中，
¿，
∴ △ABC ∽△ECF．
∵在△ABC中，DE∥AC，
∴ ∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴ △BDE∽△BAC，
BE BD 1
∴ = = ，
BC BA 2
1
∴ EC= BC，
2
BC
∵ =k，
AB
1
∴ BC=k⋅AB，EC= k⋅AB，
2
∵ △ABC ∽△ECF．
AB BC
∴ = ，
EC CF
AB k⋅AB
=
∴ 1 CF ，
k⋅AB
2
1
解得CF= k2 ⋅AB，
2
1
k2 ⋅AB
CF CF CF 2 k2
∴ = = = = ．
FA AC−CF AB−CF
AB−
1
k2 ⋅AB
2−k2
2
k2
故答案为： ．
2−k2
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，
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三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC ∽△ECF．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．如图，AB∥CD，直线MN与AB,CD分别交于点E，F，CD上有一点G且¿=GF，∠1=122°．求
∠2的度数．
【答案】64°
【分析】根据AB∥CD，可得∠DFE=∠1=122°，从而得到∠EFG=58°，再由¿=GF，可得
∠FEG=∠EFG=58°，然后根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=122°
∴∠DFE=∠1=122°，
∴∠EFG=180°−∠DFE=58°，
∵¿=GF，
∴∠FEG=∠EFG=58°，
∴∠2=180°−∠FEG−∠EFG=64°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，
等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
【几何模型】 射影定理（相似）
18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．
(1)证明：△ABD∽△CBA；
(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．
【答案】(1)见解析
18
(2)BD=
5
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【分析】（1）根据三角形高的定义得出∠ADB=90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD=∠C，结合
公共角∠B=∠B，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．
∴∠ADB=90°，∠B+∠C=90°
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠C
又∵∠B=∠B
∴△ABD∽△CBA，
（2）∵△ABD∽△CBA
AB BD
∴ = ，
CB AB
又AB=6，BC=10
AB2 36 18
∴BD= = = ．
CB 10 5
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
19．△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△AB C，使其位似比为1：2．且△AB C位于点C的异侧，
1 1 1 1
并表示出A 的坐标．
1
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△AB C．
2 2
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
√17
【答案】①作图见解析，点A 的坐标为（3，﹣3）；②作图见解析；③ π
1 2
【分析】①延长AC到A 使AC＝2AC，延长BC到B 使B C＝2BC，则△AB C满足条件；
1 1 1 1 1 1
②利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A、B ，从而得到△AB C．
2 2 2 2
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③先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长．
【详解】解：①如图，△AB C为所作，点A 的坐标为（3，﹣3）；
1 1 1
②如图，△AB C为所作；
2 2
③OB=√12+42=√17，
90⋅π⋅√17 √17
点B经过的路径长= = π．
180 2
【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中
心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得
到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
20．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC=∠ADE，AC=AD
(1)求证：DE=AF
(2)若∠ABC=∠CDE，求证：AF2=BF⋅CE
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据平行线的性质可得∠DAE=∠ACF，再根据三角形的全等的判定可得
△DAE≅△ACF，然后根据全等的三角形的性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得∠AFC=∠DEA，从而可得∠AFB=∠CED，再根据相似三角形的
判定可得△ABF∼△CDE，然后根据相似三角形的性质即可得证．
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【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠ACF，
在△DAE和△ACF中，¿，
∴△DAE≅△ACF(ASA)，
∴DE=AF．
（2）证明：∵△DAE≅△ACF，
∴∠AFC=∠DEA，
∴180°−∠AFC=180°−∠DEA，即∠AFB=∠CED，
在△ABF和△CDE中，¿，
∴△ABF∼△CDE，
AF BF
∴ = ，
CE DE
由（1）已证：DE=AF，
AF BF
∴ = ，
CE AF
∴AF2=BF⋅CE．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与
性质是解题关键．
21．综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A B C 的大小关系；
1 1 1
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(2)证明（1）中你发现的结论．
【答案】(1)∠ABC=∠A B C
1 1 1
(2)证明见解析.
【分析】（1）△ABC和ΔA B C 均是等腰直角三角形，∠ABC=∠A B C =45°；
1 1 1 1 1 1
（2）证明△ABC是等腰直角三角形即可.
【详解】（1）解：∠ABC=∠A B C
1 1 1
（2）证明：连接AC，
设小正方形边长为1，则AC=BC=√12+22=√5，AB=√12+32=√10，
∵AC2+BC2=5+5=AB2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵A C =B C =1，A C ⊥B C ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴△A B C 为等腰直角三角形，
1 1 1
∴∠ABC=∠A B C =45°，
1 1 1
故∠ABC=∠A B C
1 1 1
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．
9 m
22．如图，一次函数y=kx+ （k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y= (m为常数，m≠0)的图象在
4 x
第一象限交于点A(1,n)，与x轴交于点B(−3,0)．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
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(2)点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
3 9 3
【答案】(1)一次函数的解析式为y= x+ ，反比例函数的解析式为y=
4 4 x
(2)(−8,0)或(2,0)或(5,0)
【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得AB的长，再分两种情形讨论即可．
9
【详解】（1）解：把点B(−3,0)代入一次函数y=kx+ 得，
4
9
−3k+ =0,
4
3
解得：k= ，
4
3 9
故一次函数的解析式为y= x+ ，
4 4
3 9 3 9
把点A(1,n)代入y= x+ ，得n= + =3，
4 4 4 4
∴A(1,3)，
m
把点A(1,3)代入y= ，得m=3，
x
3
故反比例函数的解析式为y= ；
x
（2）解：B(−3,0)，A(1,3)，AB=√32+[1−(−3)] 2=5，
当AB=PB=5时，P(−8,0)或(2,0)，
当PA=AB时，点P,B关于直线x=1对称，
∴P(5,0)，
综上所述：点P的坐标为(−8,0)或(2,0)或(5,0)．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识，
运用分类思想是解题的关键．
23．【原创题】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满
足AD=BE=CF．
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(1)求证：△ADF≌△BED；
(2)设AD的长为x，△≝¿的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得的函数，描述△≝¿的面积随AD的增大如何变化．
【答案】(1)见详解
3√3
(2)y= x2−3√3x+4√3
4
(3)当2<x<4时，△≝¿的面积随AD的增大而增大，当0<x<2时，△≝¿的面积随AD的增大而减小
【分析】（1）由题意易得AF=BD，∠A=∠B=60°，然后根据“SAS”可进行求证；
（2）分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G，根据题意可得S =4√3，
△ABC
√3
AF=4−x，然后可得FG= (4−x)，由（1）易得△ADF≌△BED≌△CFE，则有
2
√3
S =S =S = x(4−x)，进而问题可求解；
△ADF △BED △CFE 4
（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，
∵AD=BE=CF，
∴AF=BD=CE，
在△ADF和△BED中，
¿，
∴△ADF≌△BED(SAS)；
（2）解：分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G，如图所示：
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在等边△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC=4，
∴CH=AC⋅sin60°=2√3，
1
∴S = AB⋅CH=4√3，
△ABC 2
设AD的长为x，则AD=BE=CF=x，AF=4−x，
√3
∴FG=AF⋅sin60°= (4−x)，
2
1 √3
∴S = AD⋅FG= x(4−x)，
△ADF 2 4
同理（1）可知△ADF≌△BED≌△CFE，
√3
∴S =S =S = x(4−x)，
△ADF △BED △CFE 4
∵△≝¿的面积为y，
3√3 3√3
∴y=S −3S =4√3− x(4−x)= x2−3√3x+4√3；
△ABC △ADF 4 4
3√3
（3）解：由（2）可知：y= x2−3√3x+4√3，
4
−3√3
3√3 x=− =2
∴a= >0，对称轴为直线 3√3 ，
4 2×
4
∴当x>2时，y随x的增大而增大，当x<2时，y随x的增大而减小；
即当2<x<4时，△≝¿的面积随AD的增大而增大，当0<x<2时，△≝¿的面积随AD的增大而减小．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二
次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．
【几何模型】 手拉手模型
24．如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转
60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
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(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
(2)延长ED交直线BC于点F．
①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；
②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
【答案】(1)BD=CE，理由见解析
(2)①BE=AE+CE；②∠BAD=45°，理由见解析
【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到△ABD≌△ACE(SAS)，再由全等三角形的性
质求解；
（2）①根据线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE得到△ADE是等边三角形，
由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，根据等边三角形的
AG AF
性质和锐角三角函数求值得到∠BAF=∠DAG， = ，进而得到△BAD∽△FAG，进而求出
AD AB
∠ADB=90°，结合BD=CE，ED＝EC得到BD=AD，再用等腰直角三角形的性质求解．
【详解】（1）解：BD=CE．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中
¿，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
（2）解：①BE=AE+CE
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理由：∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°得到AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，
由（1）得BD=CE，
∴BE=DE+BD=AE+CE；
②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，如下图．
∵△ADE是等边三角形，AG⊥DE，
1
∴∠DAG= ∠DAE=30°，
2
AG √3
∴ =cos∠DAG= ．
AD 2
∵△ABC是等边三角形，点F为线段BC中点，
1
∴BF=CF，AF⊥BC，∠BAF= ∠BAC=30°，
2
AF √3
∴ =cos∠BAF= ，
AB 2
AG AF
∴∠BAF=∠DAG， = ，
AD AB
∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF，
即∠BAD=∠FAG，
∴△BAD∽△FAG，
∴∠ADB=∠AGF=90°．
∵BD=CE，ED＝EC，
∴BD=AD，
即△ABD是等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相
似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．
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25．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．
（1）求抛物线的表达式；
PM PM
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当 最大时，求点P的坐标及 的最
AM AM
大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，
请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
1 15 9 3√5 3
【答案】（1）y= x2−x−3；（2）P(3,− )， ；（3）(3,6)或(3,−9)或(3,− − )或
4 4 16 2 2
3√5 3
(3, − )
2 2
【分析】（1）将A(−2,0)、B(6,0)、C(0,−3)代入y=ax2+bx+c即可求解析式；
（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF//AE，可得
MP PF PF
= ，则求 的最大值即可；
AM AE AE
（3）分三种情况讨论：当∠CBD=90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于
点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明ΔDBG∽ΔBCH，求出D(3,6)；当
∠BCD=90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明ΔOBC∽ΔKCD，求出D(3,−9)；当
3 1 3√5 3
∠BDC=90°时，线段BC的中点T(3,− )，设D(3,m)，由DT= BC，可求D(3, − )或
2 2 2 2
3√5 3
D(3,− − )．
2 2
【详解】解：（1）将点A(−2,0)、B(6,0)、C(0,−3)代入y=ax2+bx+c，
得¿，
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解得¿，
1
∴y= x2−x−3；
4
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF//AE，
MP PF
∴ = ，
AM AE
设直线BC的解析式为y=kx+d，
∴ ¿，
∴ ¿，
1
∴y= x−3，
2
1 1
设P(t, t2−t−3)，则F(t, t−3)，
4 2
1 1 1 3
∴PF= t−3− t2+t+3=− t2+ t，
2 4 4 2
∵A(−2,0)，
∴E(−2,−4)，
∴AE=4，
1 3
− t2+ t
∴ MP PF 4 2 1 3 1 9 ，
= = =− t2+ t=− (t−3) 2+
AM AE 4 16 8 16 16
MP 9
∴当t=3时， 有最大值 ，
AM 16
15
∴P(3,− )；
4
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15
（3）∵P(3,− )，D点在l上，
4
如图2，当∠CBD=90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点
H，
∴∠DBG+∠GDB=90°，∠DBG+∠CBH=90°，
∴∠GDB=∠CBH，
∴ΔDBG∽ΔBCH，
DG BG 3 BG
∴ = ，即 = ，
BH CH 3 6
∴BG=6，
∴D(3,6)；
如图3，当∠BCD=90°时，
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过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB=90°，∠KCD+∠CDK=90°，
∴∠CDK=∠OCB，
∴ΔOBC∽ΔKCD，
OB OC 6 3
∴ = ，即 = ，
KC KD KC 3
∴KC=6，
∴D(3,−9)；
如图4，当∠BDC=90°时，
3
线段BC的中点T(3,− )，BC=3√5，
2
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设D(3,m)，
1
∵DT= BC，
2
3 3√5
∴|m+ |= ，
2 2
3√5 3 3√5 3
∴m= − 或m=− − ，
2 2 2 2
3√5 3 3√5 3
∴D(3, − )或D(3,− − )；
2 2 2 2
3√5 3 3√5 3
综上所述：ΔBCD是直角三角形时，D点坐标为(3,6)或(3,−9)或(3,− − )或(3, − )．
2 2 2 2
MP
【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将 的最大值问
AM
PF
题转化为求 的最大值问题是解题的关键．
AE
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