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1991 年四川高考文科数学真题及答案
考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分．
一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有
一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内
王新奎新疆屯敞
(1) 已知sinα= ，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( )
(A) y2=8(x＋1) (B) y2=－8(x＋1)
(C) y2=8(x－1) (D) y2=－8(x－1)
(3) 函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 ( )
(A) (B) π (C) 2π (D) 4π
(4) P(2，5)关于直线x＋y=0的对称点的坐标是 ( )
(A) (5，2) (B) (2，－5) (C) (－5，－ (D) (－2，－
2) 5)
(5) 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直
线共有 ( )
(A) 12对 (B) 24对 (C) 36对 (D) 48对
(6) 函数y=sin(2x＋ )的图像的一条对称轴的方程是 ( )
(A) x=－ (B) x=－
(C) x= (D) x=
(7) 如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且
顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 ( )
(A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心
(8) 已知{a}是等比数列，且a>0，aa＋2aa＋aa=25，那么a＋a的值等于( )
n n 2 4 3 5 4 6 3 5
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20(9) 已知函数y= (x∈R，且x≠1)，那么它的反函数为 ( )
(A) y= (x∈R，且x≠1)
(B) y= (x∈R，且x≠6)
(C) y= (x∈R，且x≠－ )
(D) y= (x∈R，且x≠－5)
(10) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各
1台，则不同的取法共有 ( )
(A) 140种 (B) 84种 (C) 70种 （D）35种
(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是
乙的必要条件，那么 ( )
(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
(B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
(C) 丙是甲的充要条件
(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
(12) …(1－ )]的值等于 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(13) 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C=0不通过 ( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
(14) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，
－3]上是 ( )
(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5
(C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5
(15) 圆x2＋2x＋y2＋4y－3=0上到直线x＋y＋1=0的距离为 的点共有 ( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．
(16) 双曲线以直线x=－1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是__________________．
(17) 已知sinx= ，则sin2(x－ )=____________
王新奎新疆屯敞
(18) 不等式lg(x2＋2x＋2)<1的解集是_____________
王新奎新疆屯敞
(19) 在(ax＋1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数
a>1，那么a=_____________
王新奎新疆屯敞
(20) 在长方体ABCD－ABCD中，已知顶点A上三条棱长分别是 、2．如果对
1 1 1 1
角线AC与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos2α＋cos2β＋
1
cos2γ=_________
王新奎新疆屯敞
三、解答题：本大题共6小题；共60分．
(21) (本小题满分8分)
求函数y=sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值．
(22) (本小题满分8分)
已知复数z=1＋i, 求复数 的模和辐角的主值．
(23) (本小题满分10分)
如图，在三棱台ABC－ABC中，已知AA⊥底面
1 1 1 1
ABC，AA= AB= BC=a，BB⊥BC，且BB和底面ABC所
1 1 1 1 1 1 1
成的角45º，求这个棱台的体积．
(24) (本小题满分10分)
设{a}是等差数列，b=( )a．已知b＋b＋b= , bbb= ．求等差数列的通项
n n n 1 2 3 1 2 3
a．
n
(25) (本小题满分12分)
设a>0，a≠1，解关于x的不等式
(26) (本小题满分12分)
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x＋1与该椭圆相交于P和
Q，且OP⊥OQ，|PQ|= ．求椭圆的方程．
参考答案及评分标准说明：
一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的
解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应
评分细则．
二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考
生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内
容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；
如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．
三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中
合理省略非关键性的推导步骤．
四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
五．只给整数分数．
一．选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．
(1)A (2)D (3)B (4)C (5)B (6)A (7)D (8)A (9)B (10)C (11)A (12)C
(13)C (14)B (15)C
二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分．
(16) (－2，2) (17) 2－ (18) {x|－4<x<2} (19) 1+ (20)
2
三．解答题
(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．
解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x＋cos2x)+2sinxcosx+2cos2x ——2
分
=1+sin2x+(1＋cos2x) ——4分
=2+sin2x+cos2x
=2+ sin(2x+ )． ——6分当sin(2x+ )=1时，函数y有最大值，这时y的最大值等于2+ ． ——8分
注：没有说明“当sin(2x+ )=1时，函数y有最大值”而得出正确答案，不扣分．
(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．
解： =
= ——2分
=1－i． ——4分
1－i的模r= = ．因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切
tgθ=－1，所以辐角的主值θ= π． ——8分
(23)本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．
满分10分．
解：因为AA⊥底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有AA⊥BC．又BC⊥BB，且棱AA
1 1 1 1
和BB的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面AABB，
1 1 1
从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB．
∴ △ABC是直角三角形，∠ABC=90º．并且∠ABB就是BB和底面ABC所成的角，
1 1
∠ABB=45º． ——3分
1
作BD⊥AB交AB于D，则BD∥AA，故BD⊥底面ABC．
1 1 1 1
∵ Rt△BDB中∠DBB=45º，
1 1
∴ DB=DB=AA=a，
1 1
∴AB=2a． ——6分
由于棱台的两个底面相似，故
Rt△ABC∽Rt△ABC．
1 1 1
∵ BC=AB=a，AB=2a，
1 1 1 1
∴ BC=2a．
∴ S= AB×BC= ．
上 1 1 1 1
S= AB×BC=2a2． ——8分
下V棱台= ·AA·
1
= ·a· ——10分
(24)本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力．满分10
分．
解 设等差数列{a}的公差为d，则a=a+(n－1)d．
n n 1
∴
bb= · = = ．
1 3
由 bbb= ，得 = ，
1 2 3
解得 b= ． ——3分
2
代入已知条件
整理得
解这个方程组得b=2，b= 或b= ，b=2 ——6分
1 3 1 3
∴ a=－1，d=2或a=3，d=－2． ——8分
1 1
所以，当a=－1，d=2时
1
a=a+(n－1)d=2n－3．
n 1
当a=3，d=－2时
1
a=a+(n－1)d=5－2n． ——10分
n 1
(25)本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分．
解法一 原不等式可写成 ． ① ——1分根据指数函数性质，分为两种情形讨论：
(Ⅰ)当0<a<1时，由①式得
x4－2x2+a2<0， ② ——3分
由于0<a<1时，判别式
△=4－4a2>0,
所以②式等价于
③
④
——5分
解③式得 x<－ 或x> ，
解④式得 － <x< ． ——7分
所以，0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－ <x<－ }∪{x| <x< }．
——8分
(Ⅱ) 当a>1时，由①式得
x4－2x2＋a2>0， ⑤ ——9分
由于a>1，判别式△<0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为
{x|－∞<x<＋∞}． ——12分
综合得
当0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－ <x<－ }∪{x| <x< }；
当a>1时，原不等式的解集为
{x|－∞<x<＋∞}．
解法二 原不等式可写成 ． ① ——1分
(Ⅰ) 当0<a<1时，由①式得
x4－2x2＋a2<0， ② ——3分
分解因式得 (x2－1＋ )(x2－1－ )<0． ③即
④
⑤
或 ⑥ ——5
⑦
分
解由④、⑤组成的不等式组得
－ <x<－ ．
或 <x< ． ——7分
由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－ <x<－ }∪{x| <x< }；
——8分
(Ⅱ) 当a>1时，由①式得
x4－2x2＋a2>0， ⑧ ——9分
配方得 (x2－1)2＋a2－1>0， ⑨
对任意实数x，不等式⑨都成立，即a>1时，原不等式的解集为
{x|－∞<x<＋∞}． ——12分
综合得
当0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－ <x<－ }∪{x| <x< }；
当a>1时，原不等式的解集为 {x|－∞<x<＋∞}．
(26) 本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与
系数的关系及分析问题的能力．满分12分．
解法一 设所求椭圆方程为
依题意知，点P、Q的坐标满足方程组
①
②
将②式代入①式，整理得(a2＋b2)x2＋2a2x＋a2(1－b2)=0, ③ ——2
分
设方程③的两个根分别为x，x，那么直线y=x＋1与椭圆的交点为
1 2
P(x，x＋1)，Q(x，x＋1)． ——3
1 1 2 2
分
由题设OP⊥OQ,|PQ|= ，可得
整理得
④ ——6
⑤
分
解这个方程组，得
或
根据根与系数的关系，由③式得
(Ⅰ) 或 (Ⅱ) ——
10分
解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得
或
故所求椭圆的方程为
， 或 ——12分
解法二 同解法一得
(a2+b2)x2+2a2x+a2(1－b2)=0， ③ ——2分
解方程③得． ④ ——4分
则直线y=x+1与椭圆的交点为
P (x，x+1)，Q (x，x+1)．
1 1 2 2
由题设OP⊥OQ，得
