2006年四川高考文科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_1990-2007年各地高考历年真题_四川

2006 年四川高考文科数学真题及答案 第Ⅰ卷 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 P(AB)  P(A)P(B) S  4R2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式 P(AB)  P(A)P(B) 4 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V  R3 3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P (k) CkPk(1P)nk n n 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分； （1）已知集合A  x x2 5x60  ，集合B  x 2x1 3 ，则集合A B   （A） x 2 x3  （B） x 2 x3  （C） x 2 x3  （D） x 1 x3  （2）函数 f xlnx1,x1的反函数是 （A） f 1xex 1xR （B） f 1x10x 1xR （C） f 1x10x 1x1 （D） f 1xex 1x1 （3）曲线 y 4xx3 在点1,3处的切线方程是 （A） （B） y 7x4 y 7x2 （C） （D） y  x4 y  x2 （4）如图，已知正六边形 ，下列向量的数量积中最大的是 PPPPPP 1 2 3 4 5 6 （A）  （B）  PP PP PP PP 1 2 1 3 1 2 1 4 （C）  （D）  PP PP PP PP 1 2 1 5 1 2 1 6 （5）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某 方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生 （A）30人，30人，30人 （B）30人，45人，15人 （C）20人，30人，10人 （D）30人，50人，10人 （6）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （A）   （B）   y sin x y sin 2x      6   6  （C）   （D）   y cos 4x y cos 2x      3  6  (7) 已知二面角 的大小为 ， 为异面直线，且 ，则 所 l 600 m,n m,n m,n 成的角为 （A） （B） （C） （D） 300 600 900 1200 (8) 已知两定点 A2,0,B1,0，如果动点 P 满足 PA 2 PB ，则点 P的轨迹所包围的图形的面积等于 （A）9 （B）8 （C）4 （D） (9) 如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同 PABCD A,B,C,D O 一 16 个大圆上，点P在球面上，如果V  ，则球O的表面积是 PABCD 3 （A）4 （B）8 （C）12 （D）16 (10) 直线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线， y  x3 y2 4x A,B A,B 垂足分别为 ，则梯形 的面积为 P,Q APQB （A）36 （B）48 （C）56 （D）64 （11）设 a,b,c 分别是 ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，则 a2 bbc是 A2B 的 （A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 （12）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能 被3整除的概率为 41 38 35 19 （A） （B） （C） （D） 60 54 54 54 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。 （13）12x10展开式中的 x3 系数为 （用数字作答） x1  （14）设 满足约束条件： 1 ，则 的最 x,y  y x z 2x y 2  2x y10  小值为 ; （15）如图，把椭圆 x2 y2 的长轴 分成 等份，过每  1 AB 8 25 16 个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七 x P,P,P,P,P,P,P 1 2 3 4 5 6 7 个点，F 是椭圆的一个焦点，则 ; PF  PF  PF  PF  PF  PF  PF  1 2 3 4 5 6 7 （16） 是空间两条不同直线， 是两个不同平面，下面有四个命题： m,n , ① ② m,n//,//mn mn,//,mn// ③ ④ mn,//,m//n m,m//n,//n 其中真命题的编号是 ;（写出所有真命题的编号） 三．解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本大题满分12分） 数列a 的前 n 项和记为 S ,a 1,a 2S 1n1 n n 1 n1 n （Ⅰ）求a 的通项公式； n （ Ⅱ ） 等 差 数 列 b 的 各 项 为 正 ， 其 前 n 项 和 为 T ， 且 T 15 ， 又 n n 3 成等比数列，求 a b,a b ,a b T 1 1 2 2 3 3 n （18）（本大题满分12分）     已知 A,B,C是三角形 ABC三内角，向量 m 1, 3 ,ncosA,sinA，且   mn1 （Ⅰ）求角A； 1sin2B （Ⅱ）若 3，求tanB cos2 Bsin2 B（19）（本大题满分12分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”， 两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概 率分别为 ；在实验考核中合格的概率分别为 ，所有考核是否合格 0.9,0.8,0.7 0.8,0.7,0.9 相互之间没有影响 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） （20）（本大题满分12分） 如图，在长方体 中， 分别是 ABCDABC D E,P 1 1 1 1 的 中 点 ， 分 别 是 的 中 点 ， BC,AD M,N AE,CD 1 1 1 AD AA a,AB 2a 1 （Ⅰ）求证： 面 ； MN // ADD A 1 1 （Ⅱ）求二面角PAED的大小。 （21）（本大题满分12分） 已知函数 f x x33ax1,gx f xax5 ，其中 f 'x是的导函数 （Ⅰ）对满足 1a1 的一切 a 的值，都有 gx0 ，求实数 x 的取值范围； （Ⅱ）设 a m2 ，当实数 m 在什么范围内变化时，函数 y  f x的图象与直线 y 3 只有一个公共点 （22）（本大题满分14分）       已知两定点F  2,0 ,F 2,0 ，满足条件 PF  PF 2的点 P 的轨迹是曲 1 2 2 1 线 ，直线 与曲线 交于 两点 E y kx1 E A,B （Ⅰ）求k的取值范围； （Ⅱ）如果 AB 6 3 ，且曲线 E 上存在点 C ，使 O  A  O  B  mO  C ，求m的值和 ABC的面积S 2006年四川高考文科数学真题参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分； 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 C A D A B D B C D B A C 案 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。 （13）12x10展开式中的 x3 系数为 960 （用数字作答）  x1  （14）设 满足约束条件： 1 ，则 的最 x,y  y x z 2x y 2  2x y10  小值为6 ; （15）如图，把椭圆 x2 y2 的长轴 分成 等份，过每  1 AB 8 25 16 个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七 x P,P,P,P,P,P,P 1 2 3 4 5 6 7 个点，F 是椭圆的一个焦点，则 ; PF  PF  PF  PF  PF  PF  PF  35 1 2 3 4 5 6 7 （16） 是空间两条不同直线， 是两个不同平面，下面有四个命题： m,n , ① ② m,n//,//mn mn,//,mn// ③ ④ mn,//,m//n m,m//n,//n 其中真命题的编号是①，② ;（写出所有真命题的编号） 三．解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本大题满分12分） 数列a 的前 n 项和记为 S ,a 1,a 2S 1n1 n n 1 n1 n （Ⅰ）求a 的通项公式； n （ Ⅱ ） 等 差 数 列 b 的 各 项 为 正 ， 其 前 n 项 和 为 T ， 且 T 15 ， 又 n n 3 成等比数列，求 a b,a b ,a b T 1 1 2 2 3 3 n 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12 分。解：（Ⅰ）由 a 2S 1 可得 a 2S 1n2，两式相减得 n1 n n n1 a a 2a ,a 3a n2 n1 n n n1 n 又 ∴ a 2S 13 a 3a 2 1 2 1 故a 是首项为 1 ，公比为 3 得等比数列 n ∴ a 3n1 n （Ⅱ）设b 的公比为 d n 由 得，可得 ，可得 T 15 b b b 15 b 5 3 1 2 3 2 故可设 b 5d,b 5d 1 3 又 a 1,a 3,a 9 1 2 3 由题意可得5d 15d 9532 解得 d 2,d 10 1 2 ∵等差数列b 的各项为正，∴ d 0 n ∴d 2 ∴ nn1 T 3n 2n2 2n n 2 （18）（本大题满分12分）     已知 A,B,C是三角形 ABC三内角，向量 m 1, 3 ,ncosA,sinA，且   mn1 （Ⅰ）求角A； 1sin2B （Ⅱ）若 3，求tanB cos2 Bsin2 B 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的 公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。 解：（Ⅰ）∵ m  n  1 ∴  1, 3  cosA,sin A1 即 3sin AcosA1 3 1 2sinA cosA 1   2 2     1 sinA   6 2   5 ∵0 A,  A  6 6 6   ∴A  6 6  ∴A 3 12sinBcosB （Ⅱ）由题知 3，整理得 cos2 Bsin2 B sin2 BsinBcosB2cos2 B 0 ∴ ∴ cosB0 tan2 BtanB20 ∴tanB2或tanB1 而 使 ，舍去 tanB1 cos2 Bsin2 B 0 ∴tanB2 （19）（本大题满分12分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”， 两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概 率分别为 ；在实验考核中合格的概率分别为 ，所有考核是否合格 0.9,0.8,0.7 0.8,0.7,0.9 相互之间没有影响 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应 用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。 解：记“甲理论考核合格”为事件 ，“乙理论考核合格”为事件 ，“丙理论考核合 A A 1 2 格”为事件 ， 记 为 的对立事件， ；记“甲实验考核合格”为事件 ， A A A i 1,2,3 B 3 i i 1 “乙实验考核合格”为事件 ，“丙实验考核合格”为事件 ， B B 2 3 （Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件 ，记 为 的对立事件 C C C 解法1：PC P  AA A  A A A  AA A  AA A  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3  P  AA A  P  A A A  P  AA A  PAA A  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.70.902 解法2：PC1P  C    1P A A A  A A A  AA A  A A A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1P  A A A  P  A A A  P  AA A  P  A A A   1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3  10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7 10.098 0.902 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902 （Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D PD PA B A B A B   1 1 2 2 3 3   PA B PA B PA B  1 1 2 2 3 3  PA PB PA PB PA PB  1 1 2 2 3 3 0.90.80.80.80.70.9 0.254016 0.254 所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254 （20）（本大题满分12分） 如图，在长方体 中， 分别是 ABCDABC D E,P 1 1 1 1 的 中 点 ， 分 别 是 的 中 点 ， BC,AD M,N AE,CD 1 1 1 AD AA a,AB 2a 1 （Ⅰ）求证： 面 ； MN // ADD A 1 1 （Ⅱ）求二面角PAED的大小。 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以 及空间想象能力和推理能力。满分12分 解法一： （Ⅰ）证明：取 的中点 ，连结 CD K MK,NK ∵ 分别为 的中点 M,N,K AK,CD,CD 1 ∵ MK // AD,NK //DD 1 ∴ 面 ， 面 MK // ADD A NK // ADD A 1 1 1 1∴面 面 MNK // ADD A 1 1 ∴ 面 MN // ADD A 1 1 （Ⅱ）设F 为AD的中点 ∵ 为 的中点 ∴ P AD PF //DD 1 1 1 ∴PF 面ABCD 作FH  AE，交AE于H ，连结PH ，则由三垂线定理得AE  PH 从而PHF 为二面角PAED的平面角。 a 17 在RtAEF 中，AF  ,EF 2a,AE  a，从而 2 2 a 2a AFEF 2 2a FH    AE 17 17 a 2 PF DD 17 在RtPFH 中，tanPFH   1  FH FH 2 17 故：二面角PAED的大小为arctan 2 方法二：以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立直角坐标 D DA,DC,DD x y z 1 系，则 Aa,0,0,Ba,2a,0,C0,2a,0,A a,0,a,D 0,0,a 1 1 ∵ 分别是 的中点 E,P,M,N BC,AD,AE,CD 1 1 1 ∴ a  a  3a   a E ,2a,0 ,P ,0,a ,M ,a,0 ,N 0,a, ,         2  2   4   2 （Ⅰ）  3 a MN   a,0,    4 2 取 n  0,1,0，显然 n   面 ADD A M  N  n  0 ，∴ M  N  n  1 1 又 面 ∴ 面 MN  ADD A MN // ADD A 1 1 1 1 ∴过 作 ，交 于 ，取 的中点 ，则 a  P PH  AE AE H AD F F  ,0,0  2   a   a  设Hx,y,0 ，则HP x,y,a,HF  x,y,0 2  2 又  a  AE  ,2a,0   2   a2 a     x2ay0 由APAE 0，及H 在直线AE上，可得: 4 2   4x y4a 33 2 解得x a,y  a 34 17 ∴  8a 2a    8a 2a  HP , ,a  ,HP , ,0   17 17   17 17  ∴  即  HFAE 0 HF  AE ∴与所夹的角等于二面角 的大小 HP HF PAED     HPHF 2 cos HP,HF     HP  HF 21 故：二面角 的大小为 2 21 PAED arccos 21 （21）（本大题满分12分） 已知函数 f x x33ax1,gx f xax5 ，其中 f 'x是的导函数 （Ⅰ）对满足 1a1 的一切 a 的值，都有 gx0 ，求实数 x 的取值范围； （Ⅱ）设 a m2 ，当实数 m 在什么范围内变化时，函数 y  f x的图象与直线 y 3 只有一个公共点 本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力 运输能力和综合应用数学知识的能力。满分12分。 解：（Ⅰ）由题意 gx3x2 ax3a5 令 x3xa3x2 5 ， 1a1 对 1a1 ，恒有 gx0 ，即 a0 10 3x2 x20 2 ∴  即  解得  x1  10 3x2 x80 3 故 x    2 ,1   时，对满足 1a1 的一切 a 的值，都有 gx0  3 （Ⅱ） f 'x3x2 3m2 ①当 m0 时， f x x31 的图象与直线 y 3 只有一个公共点 ②当m0时，列表： x  , m   m   m , m  m  m ,  f 'x  0  0  f x 极大 极小    ∴ f x  f  x  2m2 m 11 极小 又∵ f x的值域是 R ，且在 m , 上单调递增 ∴当 x m 时函数 y  f x的图象与直线 y 3 只有一个公共点。 当x m 时，恒有 f x f   m  由题意得 f   m  3 即 2m2 m 12 m 3 13     解得m 3 2,0 0,3 2    综上，m的取值范围是 3 2,3 2 （22）（本大题满分14分）       已知两定点F  2,0 ,F 2,0 ，满足条件 PF  PF 2的点 P 的轨迹是曲 1 2 2 1 线 ，直线 与曲线 交于 两点 E y kx1 E A,B （Ⅰ）求k的取值范围； （Ⅱ）如果 AB 6 3 ，且曲线 E 上存在点 C ，使 O  A  O  B  mO  C ，求m的值和 ABC的面积S 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知 识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。     解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线 E 是以F  2,0 ,F 2,0 为焦点的双曲线的 1 2 左支，且 c 2,a1 ，易知 b1 故曲线 E 的方程为 x2  y2 1x0  y kx1 设 Ax ,y ,Bx ,y ，由题意建立方程组  1 1 2 2 x2  y2 1消去y，得 1k2 x2 2kx20 又已知直线与双曲线左支交于两点 ，有 A,B  1k2 0  2k2 8  1k2 0  2k 解得   2 k 1 x x  0  1 2 1k2  2  xx  0  1 2 1k2 （Ⅱ）∵ AB  1k2  x x  1k2  x x 4x x 1 2 1 2 1 2  2k  2 2  1k2    4 1k2  1k2  1k2 2k2 2  1k22  1k2 2k2 依题意得 2 6 3  1k22 整理后得 28k4 55k2 250 5 5 ∴k2  或k2  7 4 但 ∴ 5  2 k 1 k  2 故直线 的方程为 5 AB x y10 2 设 Cx ,y ，由已知 O  A  O  B  mO  C ，得x ,y x ,y mx ,my  0 0 1 1 2 2 0 0 ∴x ,y   x 1 x 2 , y 1  y 2 ，m0   0 0  m m  又 2 ， 2k2 2 x x  4 5 y  y kx x 2 2 8 1 2 k2 1 1 2 1 2 k2 1 k2 1 ∴点 4 5 8  C ,    m m  80 64 将点C的坐标代入曲线E的方程，得  1得m4， m2 m2 但当m4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意   ∴m4，点C的坐标为  5,2 5     5 21 2 1 C到AB的距离为  2 3  5   12 2   1 1 ∴ABC的面积S  6 3  3 2 3