2006年四川高考理科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_1990-2007年各地高考历年真题_四川

2006 年四川高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3
到8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式
P(AB)  P(A)P(B) S  4R2
如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径
P(AB)  P(A)P(B)球的体积公式
4
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V  R3
3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
P (k) CkPk(1P)nk
n n
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=  x|x25x60  ,Bx| 2x1 3,则集合A B＝

（A） x|2 x3 （B）x|2x3 （C）x|2x3 （D）x|1x3
2.复数13i3
的虚部为
（A）3 （B）－3 （C）2 （D）－2.
2x3,x1
3.已知 f(x) ,下面结论正确的是
2, x1
lim f(x)2 lim f(x)5
（A）f(x)在x=1处连续 （B）f(1)＝5 （C） （D）
x1－ x1
4.已知二面角l的大小为 600， m、n为异面直线，且m，n，则m、n
所成的角为
（A）300 （B）600 （C）900 （D）1200
5.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是
 
（A）ysin(x ) （B）ysin(2x )
6 6
 
（C）ycos(4x ) （D）ycos(2x )
3 6
6.已知两定点 A(2,0), B(1,0),如果动点 P 满足条件
PA 2 PB,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于

（A） （B）4 （C）8 （D）9
7.如图,已知正六边形PPPPPP ，下列向量的数量积中最大的是
1 2 3 4 5 6
     
（A） PP PP （B） PP PP （C） PP PP （D）
1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 5
 
PP PP
1 2 1 6
8.某厂生产甲产品每千克需用原料 A和原料B分别为a、b 千克，生产乙产品每千克需用
1 1原料A和原料B分别为a、b 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为d、d 元。月初一
2 2 1 2
次性购进本月用原料A、B各c、c 千克。要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能
1 2
使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为ｘ千克、ｙ千
克，月利润总额为ｚ元，那么，用于求使总利润z d xd y最大的数学模型中，约束条
1 2
件为
a xa yc , a xb yc, a xa yc ,
1 2 1 1 1 1 1 2 1
  
bxb yc , a xb yc , bxb yc ,
（A）  1 2 2 （B）  2 2 2 （C）  1 2 2 （D）
x0, x0, x0,
  
 y0  y0  y0
axa yc,
1 2 1

bxb yc ,
1 2 2

x0,

 y0
9.直线ｙ＝ｘ－3与抛物线y2  4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，
垂足分别为P、Q ，则梯形APQB的面积为
（A）48 （B）56 （C）64 （D）72.

10.已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是 ，
4

B、C两点的球面距离是 ，则二面角BOAC的大小是
3
   2
（A） （B） （C） （D）
4 3 2 3
11.设a、b、c分别为ABC的三内角A、B、C 所对的边，则a2 b(bc)是A=2B的
（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条
件12.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能
被３整除的概率为
19 35 38 41
（A） （B） （C） （D）
54 54 54 60
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13.在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC,M是AB的中点，
则OM与平面ABC所成角的大小是______________（用反三角函数表示）。
14.设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ
的数学期望Eξ＝3，则ａ＋ｂ＝______________。
x2 y2
15.如图把椭圆  1的长轴AB分成8分，过每个分点
25 16
作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于P,P ,……P 七个点，F
1 2 7
是椭圆的一个焦点，则 PF  PF ...... PF 
1 2 7
____________．
16.非空集合G关于运算满足：（1）对任意的a,bG,都有abG,(2)存在eG,
都有abbaa,则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：
①G＝｛非负整数｝，为整数的加法。
②G＝｛偶数｝，为整数的乘法。
③G＝｛平面向量｝，为平面向量的加法。
④G＝｛二次三项式｝，为多项式的加法。
⑤G＝｛虚数｝，为复数的乘法。其中G关于运算为“融洽集”的是________。（写出所有“融洽集”的序号）
三.解答题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知A、B、C是 三内角，向量
ABC m(1, 3), n(cosA,sin A),
且mn1.
（Ⅰ）求角A
1sin2B
（Ⅱ）若 3,求tanC。
cos2Bsin2B
18．（本小题满分12分）
某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部
分考核都“合格”则该课程考核“合格”。甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别
为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格相
互之间没有影响。
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）。
19．（本小题满分12分）
如图,长方体ABCD-A B C D 中，E、P分别是BC、A D 的中点,
1 1 1 1 1 1
M、N分别是AE、CD 的中点,AD=A A a, Ab=2a,
1 1 1
（Ⅰ）求证：MN//平面ADD A;；
1 1
（Ⅱ）求二面角PAED的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。
20．（本小题满分12分）
已知数列
a 
，其中
a 1,a 3, 2a  a a ,(n  2)
记数列
a 
的
n 1 2 n n1 n1 n
前n项和为S ,数列
lnS 
的前n项和为U .
n n n
(Ⅰ)求U ；
n
eU N n
(Ⅱ)设F (x) x2n, T (x)F1(x),（其中F1(x)为F (x)的导函数），
n 2n(n!)2 n k k k
i1
T (x)
lim n
计算
nT (x)
n1
21．（本小题满分12分）
 
已知两定点F( 2,0), F ( 2,0),满足条件 PF
2
 PF
1
2的点P的轨迹是曲线E，直
1 2

线ｙ＝kx－1 与曲线 E交于 A、B 两点。如果 AB 6 3,且曲线 E上存在点 C，使  
OAOB mOC,求m的值和ABC的面积S。
22．（本小题满分14分）
2
已知函数f(x)  x2+ +alnx(x 0),f(x)的导函数是 f(x) 。对任意两个不相等的正
x
数x、x ，证明：
1 2
f(x ) f(x ) x x
（Ⅰ）当a0时， 1 2  f( 1 2)；
2 2
（Ⅱ）当a4时， f(x ) f(x )  x x 。
1 2 1 2
2006年四川高考理科数学真题参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D D B D B A C A C A B
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。
1
（13）arctan 2 ；（14） ；（15）35；（16）①，③
10
三．解答题：本大题共6小题，共74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公
式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。
解：（Ⅰ）∵ m  n  1 ∴  1, 3  cosA,sin A1即 3sin AcosA1
 3 1 ,   1
2

sinA cosA 

1 sinA 
 2 2   6 2
  5   
∵0 A,  A  ∴A  ∴A
6 6 6 6 6 3
12sinBcosB
（Ⅱ）由题知 3，整理得sin2 BsinBcosB2cos2 B 0
cos2 Bsin2 B
∴ ∴
cosB0 tan2 BtanB20
∴tanB2或tanB1
而 使 ，舍去∴
tanB1 cos2 Bsin2 B 0 tanB2
∴ tanC tan  AB  tanAB  tanAtanB  2 3  85 3
1tan AtanB 12 3 11
（18）（本大题满分12分）
本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知
识解决实际问题的能力。满分12分。解：记“甲理论考核合格”为事件 ；“乙理论考核合格”为事件 ；“丙理论考核合
A A
1 2
格”为事件 ；记 为 的对立事件， ；记“甲实验考核合格”为事件 ；
A A A i 1,2,3 B
3 i i 1
“乙实验考核合格”为事件 ；“丙实验考核合格”为事件 ；
B B
2 3
（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件 ，记 为 的对立事件
C C C
解法1：PC P  AA A  A A A  AA A AA A 
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
 P  AA A  P  A A A  P  AA A  PAA A 
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7
0.902
解法2：PC1P  C  1P  A A A  A A A  AA A  A A A 
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1P  A A A  P  A A A  P  AA A  P  A A A 
 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 
10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7
10.098 0.902
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902
（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件D
PD PA B A B A B 
 1 1 2 2 3 3 
 PA B PA B PA B 
1 1 2 2 3 3
 PA PB PA PB PA PB 
1 1 2 2 3 3
0.90.80.80.80.70.9
0.254016
0.254
所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254
（19）（本大题满分12分）
本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想
象能力和推理能力。满分12分
解法一：（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连结
CD K MK,NK
∵ 分别为 的中点
M,N,K AK,CD,CD
1
∵
MK // AD,NK //DD
1
∴ 面 ， 面
MK // ADD A NK // ADD A
1 1 1 1∴面 面 ∴ 面
MNK // ADD A MN // ADD A
1 1 1 1
（Ⅱ）设F 为AD的中点
∵ 为 的中点∴ ∴ 面
P AD PF //DD PF  ABCD
1 1 1
作FH  AE，交AE于H ，连结PH ，则由三垂线定理得AE  PH
从而PHF 为二面角PAED的平面角。
a
2a
在 中， a 17 ，从而 AFEF 2 2a
RtAEF AF  ,EF 2a,AE  a FH   
2 2 AE 17 17
a
2
PF DD 17
在RtPFH 中，tanPFH   1 
FH FH 2
17
故：二面角PAED的大小为arctan
2
（Ⅲ） 1 1 1 5
S  S  BCCD  a a2 4a2  a2
NEP 2 矩形ECD 1 P 4 1 4 4
作 ，交 于 ，由 面 得
DQCD CD Q AD  CDDC AC  DQ
1 1 1 1 1 1 1 1
∴ 面
DQ BCD A
1 1
CDDD 2aa 2
∴在 RtCDD 中， DQ 1   a
1 CD 5a 5
1
1 1 5 2 1
∴ V V  S DQ  a2 a  a3
PDEN DENP 3 NEP 3 4 5 6
方法二：以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立直角坐标系，
D DA,DC,DD x y z
1
则
Aa,0,0,Ba,2a,0,C0,2a,0,A a,0,a,D 0,0,a
1 1
∵ 分别是 的中点
E,P,M,N BC,AD,AE,CD
1 1 1
∴ a  a  3a   a
E ,2a,0 ,P ,0,a ,M ,a,0 ,N 0,a, ,
       
2  2   4   2
（Ⅰ）  3 a
MN   a,0,
 
 4 2
取
n
 0,1,0，显然
n


面
ADD A
1 1  ，∴ 
MNn0 MN n
又 面 ∴ 面
MN  ADD A MN // ADD A
1 1 1 1
（Ⅱ）过 作 ，交 于 ，取 的中点 ，则 a ∵
P PH  AE AE H AD F F  ,0,0 
2 
 a   a 
设Hx,y,0 ，则HP x,y,a,HF  x,y,0
2  2 
又  a 
AE  ,2a,0 
 2 
 a2 a
    x2ay0
由APAE 0，及H 在直线AE上，可得: 4 2

 4x y4a
33 2
解得x a,y  a
34 17
∴  8a 2a    8a 2a ∴  即 
HP , ,a  ,HF  , ,0  HFAE 0 HF  AE
 17 17   17 17 
∴与所夹的角等于二面角 的大小
HP HF PAED
 
  HPHF 2
cos HP,HF  
 
HP  HF 21
故：二面角 的大小为 2 21
PAED arccos
21
（Ⅲ）设 n  x ,y ,z 为平面 DEN 的法向量，则 n    D  E  ,n    D  N 
1 1 1 1 1 1
又 a    a  a 
DE  ,2a,0 ,DN  0,a, ,DP ,0,a
     
2   2 2 
a
x 2ay 0
∴    2 1 1 即   x 1 4y 1∴可取 n  4,1,2
 2y  a z 0  z 1 2y 1 1
 1 2 1
 
DPn 2a2a 4a
1
∴P点到平面DEN 的距离为d   

n 1614 21
1
 
  DEDN 8   21
∵cos DE,DN     ，sin DE,DN 
DE  DN 85 85∴ 1     21
S  DE  DN sin DE,DN  a2
DEN 2 8
1 1 21 4a a3
∴
V  S d   a2 
PDEN 3 DEN 3 8 21 6
（20）（本大题满分12分）
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的
能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分。
解：（Ⅰ）由题意，a 是首项为
1
，公差为
2
的等差数列
n
112n1
前n项和S  nn2，lnS lnn2 2lnn
n 2 n
U 2ln1ln2 lnn2lnn!
n 
（Ⅱ） F x
eUn
x2n 
n!2
x2n 
x2n
F 'x x2n1
n 2nn!2 2nn!2 2n n
x  1x2n
 0x1
 1x2
n n 
T xF'xx2k1 n x1
n k
k1 k1 
x
 1x2n
 x1
  1x2




1x2n
lim 1 0 x1
 n1x2n2

T x  n
lim n lim 1 x1
nT
n1
x nn1
  1 
1
  
 x2n 
lim x1
n 1 
x2
    x2n  
（21）（本大题满分14分）
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解
析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。
解：由双曲线的定义可知，曲线 是以    为焦点的双曲线的左支，
E F  2,0 ,F 2,0
1 2
且 ，易知
c 2,a1 b1
故曲线 E 的方程为 x2  y2 1x0 y kx1
设 Ax ,y ,Bx ,y ，由题意建立方程组 
1 1 2 2 x2  y2 1
消去y，得 1k2 x2 2kx20
又已知直线与双曲线左支交于两点 ，有
A,B
 1k2 0

2k2 8  1k2 0

2k 解得
  2 k 1
x x  0
 1 2 1k2

2
 xx  0
 1 2 1k2
又∵ AB  1k2  x x  1k2  x x 2 4x x
1 2 1 2 1 2
 2k  2 2
 1k2 2k2
 1k2   1k2   4 1k2 2  1k22
 1k2 2k2
依题意得2 6 3整理后得28k4 55k2 250
 1k22
∴ 5 或 5 但 ∴ 5
k2  k2   2 k 1 k 
7 4 2
故直线 的方程为 5
AB x y10
2
设 Cx ,y ，由已知 O  A  O  B  mO  C ，得x ,y x ,y mx ,my 
c c 1 1 2 2 c c
∴
mx ,my 
 x
1
x
2 ,
y
1
 y
2
，m0
 
c c  m m 
又 2k ， 2k2 2
x x  4 5 y  y kx x 2 2 8
1 2 k2 1 1 2 1 2 k2 1 k2 1
∴点 4 5 8 
C , 
 
m m
 
80 64
将点C的坐标代入曲线E的方程，得  1
m2 m2
得m4，但当m4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
 
∴m4，C点的坐标为  5,25  
  5 21
2 1
C到AB的距离为 
2 3
 5
  12
2
 
1 1
∴ABC的面积S  6 3  3
2 3
（22）（本大题满分14分）
本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、
推理论证的能力，满分14分。
2
证明：（Ⅰ）由 f x x2  alnx
x
f x  f x  1  1 1  a
得 1 2   x2 x 2    lnx lnx 
2 2 1 2 x x  2 1 2
1 2
1 x x
  x2 x 2  1 2 aln x x
2 1 2 x x 1 2
1 2
2
x x  x x  4 x x
f 1 2  1 2  aln 1 2
   
 2   2  x x 2
1 2
而1 2  x 1 2x 2 2  1 4    x 1 2x 2 2 2x 1 x 2   2     x 1  2 x 2    2①
又x x 2   x2 x 2 2x x 4x x
1 2 1 2 1 2 1 2
x x 4
∴ 1 2  ②
x x x x
1 2 1 2
x x x x
∵ x x  1 2 ∴ln x x ln 1 2
1 2 2 1 2 2
x x
∵a0∴aln xx aln 1 2 ③
1 2 2
由①、②、③得
2
1  x2x 2  x 1 x 2 aln x x  x 1 x 2   4 aln x x
 
2 1 2 x x 1 2  2  x x 1 2
1 2 1 2
即 f x  f x  x x 
1 2  f 1 2
 
2  2 
2 2 a
（Ⅱ）证法一：由 f x x2  alnx，得 f'x2x 
x x2 x
∴ f'x  f'x    2x  2  a    2x  2  a    x x  2 2x 1 x 2   a
1 2  1 x2 x   2 x 2 x  1 2 x2x 2 xx
1 1 2 2 1 2 1 22x x  a
f'x  f'x   x x  2 1 2  1
1 2 1 2 x2x 2 x x
1 2 1 2
2x x  a
下面证明对任意两个不相等的正数 x ,x ,有 2 1 2  1 恒成立
1 2 x2x 2 x x
1 2 1 2
2x x 
即证 a x x  1 2 成立
1 2 x x
1 2
2x x  4
∵x x  1 2  x x 
1 2 x x 1 2 x x
1 2 1 2
4 4
设t  x x ,uxt2  t 0 ，则u'x2t
1 2 t t2
令 u'x0 得
t  3 2
，列表如下：
   
t 0,3 2 3 2 3 2,
_
u't 0 
ut
极小值33 4
 
2x x 
ut33 4  3108 4a ∴ x x  1 2 a
1 2 x x
1 2
∴对任意两个不相等的正数x ,x ，恒有 f 'x  f 'x   x x
1 2 1 2 1 2
2 2 a
证法二：由 f x x2  alnx，得 f 'x2x 
x x2 x
 2 a   2 a  2x x  a
∴ f'x  f'x   2x   2x     x x  2 1 2 
1 2  1 x2 x   2 x 2 x  1 2 x2x 2 x x
1 1 2 2 1 2 1 2
∵ 是两个不相等的正数
x ,x
1 2
2x x  a 4 a 4 4
∴2 1 2  2  2 
x2x 2 xx  3 xx  3 x x
1 2 1 2 xx 1 2 x x 1 2
1 2 1 2
1
设 t  ， ut24t34t2t 0
x x
1 2
则 u't4t3t2，列表：
 2 2 2 
t 0, ,
   
 3 3 3 
_
u't 0 38
ut
极小值
 
27
38 2x x  a
∴ u  1 即 2 1 2  1
27 x2x 2 x x
1 2 1 2
∴ f'x  f'x   x x  2 2x 1 x 2   a  x x
1 2 1 2 x2x 2 x x 1 2
1 2 1 2
即对任意两个不相等的正数x ,x ，恒有 f 'x  f 'x   x x
1 2 1 2 1 2